2024高考数学一轮复习统考第8章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图学案含解析北师大版

PAGE1-第八章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图基础学问整合1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面相互eq\x(\s\up1(01))平行且eq\x(\s\up1(02))全等多边形相互eq\x(\s\up1(03))平行且eq\x(\s\up1(04))相像侧棱eq\x(\s\up1(05))平行且相等相交于eq\x(\s\up1(06))一点，但不肯定相等延长线交于eq\x(\s\up1(07))一点侧面形态eq\x(\s\up1(08))平行四边形eq\x(\s\up1(09))三角形eq\x(\s\up1(10))梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线相互平行且相等，eq\x(\s\up1(11))垂直于底面相交于eq\x(\s\up1(12))一点延长线交于eq\x(\s\up1(13))一点—轴截面全等的eq\x(\s\up1(14))矩形全等的eq\x(\s\up1(15))等腰三角形全等的eq\x(\s\up1(16))等腰梯形eq\x(\s\up1(17))圆侧面绽开图eq\x(\s\up1(18))矩形eq\x(\s\up1(19))扇形eq\x(\s\up1(20))扇环—(3)特殊的四棱柱2．直观图(1)画法：常用eq\x(\s\up1(21))斜二测画法．(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为eq\x(\s\up1(22))45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面eq\x(\s\up1(23))垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍eq\x(\s\up1(24))平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度eq\x(\s\up1(25))不变，平行于y轴的线段长度在直观图中eq\x(\s\up1(26))变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的eq\x(\s\up1(27))正前方、eq\x(\s\up1(28))正左方、eq\x(\s\up1(29))正上方视察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)三视图的画法①基本要求：eq\x(\s\up1(30))长对正，eq\x(\s\up1(31))高平齐，eq\x(\s\up1(32))宽相等．②画法规则：eq\x(\s\up1(33))正侧一样高，eq\x(\s\up1(34))正俯一样长，eq\x(\s\up1(35))侧俯一样宽；重叠的线只画一条，看不到的线画eq\x(\s\up1(36))虚线．1．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．2．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的推断与识别中要特殊留意其中的虚线．3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角变更，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形变更.))“三不变”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不变更，,与x，z轴平行的线段的长度不变更，,相对位置不变更.))4．直观图与原图形面积的关系S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形(或S原图形＝2eq\r(2)S直观图)．1．下列结论正确的是()A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台答案B解析底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误．2．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①② B．②③C．②④ D．③④答案C解析由几何体的结构可知，如图放置的圆锥、正四棱锥各自的正视图和侧视图相同，且其不与俯视图相同；正方体的三个视图都相同；正三棱台的三个视图都不相同，故选C.3．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．4eq\r(3) D．8eq\r(2)答案D解析由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，∠B′O′A′＝45°且O′B′＝2eq\r(2)，那么在原图形中，∠BOA＝90°且OB＝4eq\r(2)，因此，原平面图形的面积为2×4eq\r(2)＝8eq\r(2)，故选D.4．(2024·广州期末)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()答案B解析俯视图中明显应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案D解析由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D.6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析依据三视图，还原四棱锥，如图．在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC.AB＝1，AD＝DC＝SD＝2.明显△SDA，△SDC是直角三角形．另外SD⊥AB，AB⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.又SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB是直角三角形．又计算△SBC的三边长并由勾股定理知其不是直角三角形．故选C.

核心考向突破考向一空间几何体的结构特征例1下列说法正确的是()A．有两个平面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不肯定交于一点答案B解析A错误，如图1；B正确，如图2，其中PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的状况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，依据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．[即时训练]1.下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上随意一点的连线都是母线答案D解析如图1知，A不正确；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B不正确；若六棱锥的全部棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必定要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确．考向二平面图形与其直观图的关系例2(1)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为()A．24eq\r(2) B．12eq\r(2)C．48eq\r(2) D．20eq\r(2)答案A解析由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S▱OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).故选A.(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．答案eq\f(\r(2),2)解析因为OE＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4)，所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).画几何体的直观图一般采纳斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来驾驭．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．[即时训练]2.(2024·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析如图①、②所示的平面图形和直观图．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq\r(2)答案8cm2解析解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面图形的面积为8cm2.解法二：依题意可知，S直观图＝2eq\r(2)故S原图形＝2eq\r(2)S直观图＝8cm2.精准设计考向，多角度探究突破考向三空间几何体的三视图角度1由空间几何体的直观图识别三视图例3(1)(2024·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析视察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.(2)(2024·南昌联考)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()答案C解析由题意，得该四棱锥的直观图如图1所示，则其三视图如图2.角度2由空间几何体的三视图还原直观图例4(1)(2024·广州二模)如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()答案D解析先视察俯视图，由俯视图可知B和D中的一个正确，由正视图和侧视图，可知D正确．(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的全部面中直角三角形的个数是()A．2 B．3C．4 D．5

答案C解析由三视图知，可将此几何体还原在正方体中，为如图所示的四棱锥P－ABCD.易知四棱锥P－ABCD的四个侧面都是直角三角形，所以此几何体的全部面中直角三角形的个数是4，故选C.角度3由两个视图补画第三个视图例5(1)(2024·天津模拟)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案B解析由几何体的正(主)视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．从左侧视察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选B.(2)(2024·沈阳模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不行能是该锥体的俯视图的是()答案C解析若俯视图为C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高eq\f(\r(3),2)，所以俯视图不行能是C.故选C.三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先依据俯视图确定几何体的底面，然后依据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形态，即可得到结果．(2)在由三视图还原空间几何体的实际形态时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．(3)常见的三视图对应的几何体①三视图为三个三角形，对应三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；⑤三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．[即时训练]4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()答案A解析该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为A中的图．故选A.5．(2024·广州市综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等