2023年高考数学真题与模拟训练专题13 数列的综合应用试题含解析

2023年高考数学真题与模拟训练专题13数列的综合应用

第一部分真题分类

1.如图，将钢琴上的12个键依次记为"。2，…，C112.S1<i<j<k<12.^k-j=3Ky-i=4,

则为,%,以为原位大三和弦；若上-/=4且j-i=3,则称%,的为原位小三和弦.用这12个

键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()

A.5B.8C.10D.15

2.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解

数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,

4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,...»其中第一项是2。，接下来的两项是2。，21,再接下来的三项

是2。，21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数MN>100且该数列的前N项和为2的整数

鼎，那么该款软件的激活码是()

A.440B.330C.220D.110

3.设｛%｝是公差为d的等差数列，｛4｝是公比为夕的等比数列.已知数列｛Q“+%｝的前〃项和%=九2一

n+2n-l(nG/V*),则d+q的值是.

4.记外为等差数列｛册)的前〃项和，已知Sg=-a5.

(1)若=4,求｛%｝的通项公式；

(2)若4>0,求使得Sn>%,的〃的取值范围.

5.已知｛%｝为等差数列，前八项和为S,5WN*),仍工是首项为2的等比数列，且公比大于0,b2+

力3=12,坛=。4-2%,Su=11瓦.

(I)求Sn｝和｛匕｝的通项公式；

(H)求数列(%A｝的前〃项和(nGN*).

6.设等差数列但“｝的前〃项和为Sn,。3=4,。4=53.数列｛b｝满足：对每个nwN*,Sn+bn,Sn+i+

bn,Sn+2+匕成等比数列•

(I)求数列｛%»｝，｛%｝的通项公式;

(II)记勿=/景，nWN",证明：C1+C2+…+O<2代，nEN\

7.已知数列｛斯｝是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列｛5｝是公北大于0的等比数列，瓦=4,

63-。2=48.

(1)求数列｛%｝和｛%｝的通项公式；

(2)记。=b+—,nWN*.

2nDn

(i)证明:｛。-。2九｝是等比数列;

(ii)证明：£匕［卷*2师€4).

8.定义%数列｛%J：对PER，满足：

①的4-p>0,g+P=0：@VnWN*，a4n-i<。4n；@Vm,nWN*,am+ne｛am+an+

P>Qm+%+P+1｝。

(1)对前4项2,-2,0,1的数列，可以是&数列吗？说明理由；

(2)若｛%｝是品数列，求劭的值；

(3)是否存在pER,使得存在勺数列(在卜对任意/EN*，满足%NS］。？若存在，求出所有这样的

P；若不存在，说明理由.

9.9知等比数列｛an｝的公比q>1,且出+图+=28,。4+2是。3，的的等差中项.数列｛%｝满足

瓦=1,数列｛(%+1-夙)即｝的前〃项和为2彦+n.

(I)求夕的值；

(H)求数列初“｝的通项公式.

10.已知｛aj为等差数列，前〃项和为Sn(riWN・)，｛九｝是首项为2的等比数列，旦公比大于0,b2+

力3=12,力3=。4—2aJ,S】i=11■瓦.

(I)求｛得｝和｛以｝的通项公式；

(II)求数列｛a2nb2时1｝的前〃项和(nEN)

第二部分模拟训练

1.某企业年初在一个项目上投资2千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%,为了企业长远

发展，每年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目.设经过

年后，该项目的资金为％万元.

(1)求证：数列｛4-1000｝为等比数列；

(2)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？(lg3k0.5,lg2«0.3)

2.已知数列｛4｝的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等匕数歹U.数列｛4｝前〃项和为

Sn,且满足S3=。4，。3+%=2+%

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛qj前2k项和S2ki

(3)在数列｛q｝中，是否存在连续的三项向,40+2,按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有

满足条件的正整数次的值；若不存在，说明理由.

3.设数列｛4｝的前n项和为S“，5”二电胃2(4国£凡4工0均。1)

(1)求证：数列｛%｝是等比数列；

⑵若qeN’,是否存在q的某些取值，使数列｛为｝中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的

全部取值集合，若不能说明理由.

(3)若qwR,是否存在qe[3,+8),使数列｛4｝中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q

的一个取值，若不存在，说明理由.

4.已知数列｛4｝为正项等比数列，满足叼=4,且构成等差数列，数列｛〃｝满足

a二1。82凡+1。82凡…

(1)求数列｛q｝，也｝的通项公式;

2

(2)若数列出｝的前〃项和为S”，数列若“｝满足G,求数列｛。”｝的前〃项和7；.

5.已知函数，g(x)=(a-x)cosx.

⑴当xNO时，/(x)之g(x)恒成立，试求实数。的取值范围；

(2)若数列｛4｝满足：%=等，%泻机口忑(n=0,12.)，证明："券.

6.已知等差数列｛所｝和等比数列｛悦｝均不是常数列，若ai=b1=L且山，2a2,4a4成等比数列,4b2,

2b3,b4成等差数列.

(1)求｛an｝和｛bn｝的通项公式；

(2)设m,n是正整数，若存在正整数I,j,k(iVjVk),使得ambj,amaM,anbk成等差数列，求m+

n的最小值；

(3)令孰=*"，记｛g｝的前n项和为Tn,｛—｝的前n项和为An.若数歹J｛pn｝满足pl=cl,且对

T-1

Vn>2,nGN*,都有pn=」----l-Ac.设｛pn｝的前n项和为Sn,求证：Sn<4+41nn.

nnn

7.已知数列｛4｝中，4=1,4=〃，且〃的=女(4+4田)对任意正整数〃都成立，数列｛4｝的前〃项

和为S”.

(1)若攵=；,且S[8=171,求。；

(2)是否存在实数%,使数列｛4｝是公比为1的等比数列，且任意相邻三项册,外”,册+2按某顺序排列

后成等差数列，若存在，求出所有女的值：若不存在，请说明理由：

(3)若Z=求S”.(用4〃表示).

8.己知数列｛(｝中，4=3,前〃项和S”满足〃向=25”+3(weN*).

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵记2=(〃_]),求数列出｝的前“项和小

⑶是否存在整数对(m〃)(其中mcZ,〃wN*)满足片一(m+2)4,+7m+5=。？若存在，求出所

有的满足题意的整数对(利,〃)；若不存在，请说明理由.

专题13数列的综合应用

第一部分真题分类

11.如图,将钢琴上的12个键依次记为由，&，••・，<i<i<k<12.^k-j=3K;-i=4,

Ma,,5,a〃为原位大三和弦；若k-/=4且j-i=3,则称3%,为原位小三和弦.用这12个

键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()

【答案】C

【解析】解：若k_j=3且J一i=4,则a”a”以为原位大三和弦，

即有i=l，;=5,k=8；i=2,j=6,k=9；i=3,j=7,k=10；i=4»/=8,k=11；i=5,

j=9,k=12,共5个；

若k-J=4且/一i=3,则%,%,Qk为原位小三和弦，

可得i=l,y=4,k=8；i=2,;=5,k=9；i=3,j=6,k=10；i=4,j=7,k=11：i=5,

;=8,k=12,共5个，

总计10个.

故选：C.

12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解

数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：己知数列1,1,2,1,2,

4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是2。，接下来的两项是2°,2、再接下来的三项

牯2。，21，22,依此类推.求满足如下条件的最小整数MN>100且该数列的前N项和为2的整数

慕，那么该款软件的激活码是()

A.440B.330C.220D.110

【答案】A

【解析】解：由题意可知，数列可看作：第一项2°,第二项：2°,2】，第三项：2°,2\22,第〃项：

2°,21,22,...,2时1,

根据等比数列前"项和公式，求得每项和分别为：21-1,22-1,23-1,...»2n-l,

每项含有的项数为：1,2,3,…，71,

总共的项数为N=1+2+3+•••+〃=剑署，

所有项数的和为&=21-1+22-1+23-1+•••+2n-1

=(21+22+234--+2n)-n=2n+1—2—n,

由题意可知：2"i为2的整数箱，只需将-2-n消去即可，

则(5)1+2+(—2—71)=0,解得：n=1,

总共有生詈+2=3,不满足N>100,

@l+2+4+(-2-n)=0,解得：n=5,

总共有空誉+3=18,不满足N>100,

③1+2+4+8+(-2—九)=0,解得：n=13,

总共芍(i+i；)xi3+4=95,不满足N>100,

④1+2+4+8+16+(—2—/)=0,解得：九=29,

总共有处等2+5=440,满足N>100,

该款软件的激活码是440.

故选A.

13.设｛%｝是公差为4的等差数列，｛%｝是公比为g的等比数列.已知数列｛%+%｝的前〃项和%=n2.

n+2n-l(ne/V*),则d+q的值是.

【答案】4

【解析】解：因为｛即+5｝的前〃项和Sn=n2—"+2n—l(neN*),

因为｛斯｝是公差为d的等差数列，设首项为由；｛%｝是公比为4的等比数列，设首项为瓦，

所以｛即｝的通项公式加=%+(九一1)乙所以其前〃项和：咽及产幽=疗+(的_凯,

｛4｝中，当公比q=l时，其前〃项和匕=九打，

所以｛即+匕｝的前〃项和Sn="2+(Q]一凯+曲=n2—n+271—l(n€N*),显然没有出现2n,所

以q于1,

则｛bn｝的前n项和为：~

所以S=-n2+(a--)n+—---—=n2-n4-2n—l(nGN*),

n2x2fl-1Q-1

吃

由两边对应项相等可得：1%-2=-1解得：d=2,cii=0,q=2,瓦=1,

q=2

且~=1

1q-l

所以d+q=4,

故答案为：4.

14.记％为等差数列｛斯｝的前〃项和，已知$9=-。5.

(1)若=4,求｛On｝的通项公式;

(2)若％〉。，求使得及之缺的〃的取值范围.

【答案】解：(1)根据题意，等差数列｛%｝中，设其公差为d,

若S9=-a5,则S9=，i+；9)x9_90s=-a5,

可得=0,即%+4d=0»

若。3=4,则4=%/=一2,

则0n=a3+(n-3)d=-2n4-10；

(2)若配>则九为+>ai+(n-l)d,

当n=l时，不等式成立，

当nN2时，有?Nd-%,变形可得(九一2)八一2%，

又由(1)得%+4d=0,即4=一半，

则有。-2)子之一2%,

又由的>0,则有nW10,

则有2<n<10,

综合可得：1工兀310且〃WN*.

15.已知｛%｝为等差数列，前〃项和为Sn("WN*),｛5｝是首项为2的等比数列，且公比大于0,b2+

&=12,Z)3=。4—2。］,Su=11•瓦.

(I)求(即｝和｛%｝的通项公式；

(II)求数歹式取门匕｝的前〃项和5WN)

【答案】解：(I)设等差数列｛an｝的公差为止等比数列出"的公比为q.

由已知82+63=12，得bi(q+q2)=12,

而瓦=2,所以q2+q-6=0.

又因为q>0,解得q=2.

所以砥=2n.

由匕3=04-2%,可得3d—%=8,

由Si二=llb4,可得%+5d=16,

联立解得%=1,d=3,

所以an=3n-2.

所以｛。力｝的通项公式为册=3n-2,｛%｝的通项公式为%=2n；

(H)设数歹(1｛。2八41｝的前〃项和为及，

由(1)可得。2注=6n—2,

所以兀=4X2+10X2?+16X23+…+(6n-2)x2n,27^=4X22+10X23+16X24+…+(6n-

8)x2n+(6n-2)x2n+1,

上述两式相减，得

23nn+1n+1

-7；=4x2+6x2+6x2+-4-6x2-(6n-2)x2=”'二,)_4_(6n-2)x2=

-(3n-4)2n+2-16,

所以”=(3?1—4)222+16.

所以数列｛©nb｝的前〃项和为(3九-4)2"2+16.

16.设等差数列｛即｝的前〃项和为Sn，a3=4,Q4=S3,数列｛九｝满足：对每个nWAT,Sn+bn,Sn+1+

bn,Sn+2+%成等比数列.

(I)求数列｛5｝,｛九｝的通项公式；

(H)记j=nwN*,证明：C]++…+Qv2低，neN*,

【答案】解：(1)设数列｛。n｝的公差为4

由题意得，煞荒明,

呵+3d=3al+3d

解得=0,d=2,

•••an=2n—2,nWN*.

2

5n=n—n>neN”,

・.数•列｛%｝满足:对每个neAT,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+匕成等比数列.

・••(Sn.i+bn)2=(Sn4-bn)(Sn+2+bn),

解得瓦=；(S工i-SnSn+2)，

解得bn=M+n,neN\

证明：===禹'ne-

用数学归纳法证明：

①当九=1时，q=0<2,不等式成立；

②假设〃=k,(kWN，)时不等式成立，即J++…+qV24，

则当n=k+1时,

…+…+Ck+CzV2④+卜事^<24+

V24+£+在=2瓜+2(A/FTT-4)=2vm;

即71=1+1时，不等式也成立.

由(1^②得q+。2+…+。V2y/n,tftEN”.

17.已知数列｛Qn｝是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列｛儿｝是公立大于o的等比数列，瓦=4,

b3—b2=48.

(1)求数列｛On｝和｛%｝的通项公式；

(2)记J=b2n+AnWN*.

⑴证明：｛以一C2n｝是等比数列；

(ii)证明：2£=i＜2注(nWN*).

【答案】证明；(1)由数列(aj是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64,

可得8。1+；x8x7d=64,解得%=1,

所以%=1+2(n-1)=2n-1：

由数列｛bn｝是公比4大于0的等比数列，瓦=4,b3-b2=48t

可得4q2-4q=48,解得q=4(-3舍去)，

所以限=4%

n

(2)(i)证明：因为％=2n-l,bn=4,

所以cn=b2n+^=4"+*，

则埒—c2n=(42"+*)2_(44〃+专)=42汽+2-4+9_4m一表=2-4%

又蓝一”=(424-;)2-(44+^)=8,

所以数列｛W—C2n｝是以8为首项，4为公比的等比数列；

(”)证明：设氏=糜=惮声=唇＜底=&脸,

考虑qn=/，则Pn＜V2(7n，

所以送=速="£+.•.+京，

则就hiq%=表+套+…+17，

两式相减可得，扛%仅=[+曰+…+.一肃=)：尸)一鼎=1一普，

2

所以比=1在=2-翳＜2,

则求iJSh鱼比=速＜2g

故求】后＜2互

18.定义时数列｛a”｝：对pWR,满足：

①4+pN0，劭+P=0；②VnWN*，a4n-iV«4n；③Vm，九6N*,am+nG｛am+an+

p,am+an+p+l}.

(1)对前4项2,-2,0,1的数列，可以是出数列吗？说明理由；

(2)若{%}是品数列，求的的值；

(3)是否存在pER,使得存在距数列{的}，对任意neN*,满足SnNSio?若存在，求出所有这样的

P；若不存在，说明理由.

【答案】解：(1)由性质③，结合题意可得0=。3€{。1+。2+2,4+。2+2+1}={2,3},矛盾，

故前4项2,-2,0,1的数列，不可能是取数列；

(2)性质①,%>0,a2=0；

由性质③0m+2W{Qm,am+l}，因此。3=或。3=+1，=0或=1，

若。4=0，由性质②可得。3<。4，即<0或%+1<O,矛盾；

若。4=1，。3=。1+1，由。3<。4，则Q1+1V1,矛盾，

因此只能是。4=1，。3=，

又因为图=%+a或。4=%+的+1，所以即=2或的=0.

若则a2=%+1W{%+%+0，%+%+0+1}={2%,2%+1}={1,2},不满足。2=。，舍去;

当的=。则{%}的前四项为O0,0,1,

下面用数学归纳法证明Q4n+i==12，3),a4n+4=n+l(ne/V),

当n=0时，经检验命题成立；

假设”<k(k>0)时命题成立.

当n=k+1时，

若i=1,则。4(火+1)+1=a4k+5=a/+(4k+5-»,

利用性质③：{Qj+a4fc+5-/l；eN*,1<j<4k+4]=[kfk+1],此时可得a4k+$=k+1,

否则a傥+s=k,取k=0可得的=0,而由性质②可得=%+。4W{1,2},与%=0矛盾.

同理可得，{a；+a4k+6_j\je/V*,1<;<4/c+5)=+1},此时可得a狄+6=2+1，

{a；+a4k+8-j\jG/V*,2</<4/c+6]={fc+1,/c4-2},此时可得a4k+8=k+2,

{ttj+a4k+7.j\jeN*,1<;<4fc+6}={fc4-1},又因为a狄+7<a4k+Qf此时可得a4k+7=k+1,

即当n=k+1时，命题成立.

练上可得，。5=“4X1+1=1：

(3)令=每+P，由性质③可知，Vm,nWN*,bm+n=am+n4-pe{amp+an+p,am+p+an+

p+1}=[bm+bn,bm+bn+1)»

b

由于瓦=a1+p>Q,匕2=。2+P=0，4n-l=Q471-I+P<a4n+P=^4n»

因此数列{5}为Ro数列，

由(2)可知，若VnWN*,a4n+i=n-p(i=1,2,3),a4n+i=n+1-p；

S11—S10==014x2+3=2—p>0,

S9-$io=_aio=一。4乂2+2=—(2—p)>0,

因此p=2,此时%,。2，…，a10<0,aj>0(/>11),满足题意.

19.已知等比数列｛%｝的公比q>1，且。3+。4+。5=28,。4+2是。3,。5的等差中项.数列｛%｝满足

瓦=1，数列｛(bn+1-bn)Qn｝的前〃项和为21+九.

(I)求夕的值；

(II)求数列｛5｝的通项公式.

【答案】解：(1)等比数列｛册｝的公比q>l,

且。3+。4+=28,。4+2是。3，的等差中项，

可得2a4+4=03+的=28-。4，

解得。4=8,

由：+8+8q=28,可得q=2或q=式舍去)，

则4的值为2；

(2)由q=2及。3+。4+。5=28可得%(q2+q3+Q4)=28,

解得的=1,故=1x2n-1=2「T,

设cn=(%+]-%)%=(bn+1-32f

可得兀=1时，Ci=2+1=3,

n>2时，可得q=2n2+n—2(n—l)2-(n—1)=4n-1,

上式对n=1也成立，

则(%+i.4i)0n=4n-l,

即有力n+1-bn=(4n—l)•(：¥-】，

可得力n=瓦+(g-瓦)+(b3-b2)+…+(bn-bn_i)

=1+3xG)。+7x抖…+(4n-5).(*,

2n1

^n=1+3x1+7x(l)+...+(4n-5)(1)-,

相减可得?n=：+4g+GA+…+6)吁2]_(4n_5)•

=j+4-^p^-(4n-5).(1r-1,

化简可得%=15-(4n+3)•2

20.已知｛aj为等差数列，前〃项和为Sn(nWN*),｛夙｝是首项为2的等比数列，且公比大于0,b2+

63=12,=Q4-2d],S】i—11瓦.

(I)求｛<｝和｛bn｝的通项公式;

(n)求数列｛a2nb2n-】｝的前n项和5eN・).

【答案】解:(I)设等差数列｛每｝的公差为d，等比数列｛4｝的公比为“，

由已知匕2+坛=12，得bi(q+q2)=12,而瓦=2,所以q+q2-6=0,

又因为q>0,解得q=2,所以以=2%

由力3=。4-2%,可得3d-%=8①，

由a1=坨驾=11",可得a1+5d=16②，

联立①②，解得%=1,d=3,由此可得％,=3〃-2；

所以，数列｛册｝的通项公式为“=3n-2,数列｛bn｝的通项公式为以=2n.

(n)设数列｛a2nb2n.l｝的前〃项和为7；,

x4n

由Q2n=6几一2,b2n-i=1»有2n-1=(3n-1)4、

故7；=2x4+5x424-8x43+•­•4-(3n-l)4n,

47；=2x42+5x43+8x44+-+(3n-l)4n+1,

上述两式相减，得

23nn+1

-3Tn=2x4+3x4+3x4+•••+3x4-(3n-l)4

12x(1-4n)4

=——---4-(3n-l)4n+1

=-(3n-2)4n+1-8,

得"=等乂4*】+,

所以数列｛a2nb的前〃项和为1=^X4n+1+*

第二部分模拟训练

1.某企业年初在一个项目上投资2千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%,为了企业长远

发展，每年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目.设经过

年后，该项目的资金为勺万元.

(1)求证：数列｛与-1000｝为等比数列；

(2)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？(1g3Ho.5,lg2«0.3)

【答案】(1)证明见解析；(2)3年.

【解析】⑴证明：由题意知《,=(1+50%)4T—500(心2).

33

即4=2%—500,所以%-1000=-(aZJ_,-1000)(/1>2).

22

由题意知4=2000(1+50%)—500=2500,

所以数列｛4-1000｝的首项为q—1000=1500,

所以｛q-1000｝是首项为1500,公比为|■的等比数列.

(2)由(1)知数列｛《,—1000｝的首项为《—1000=1500,公比为

/3Y-'<3Y"，

所以与-1000=1504引，所以为二150011+1000.

当4之4000,得(?)>2.

/、3怆20.33

两边取常用对数得(〃-1)怆5之lg2,所以:所以〃N2.5,

乙J乙U・JU・J4

因为〃wN'，所以〃之3.

即至少经过3年，该项目的资金达到翻一番.

2.已知数列｛4｝的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等匕数列.数列｛/｝前〃项和为

S“，且满足S3=。4,4+。5=2+4

(1)求数列应｝的通项公式；

(2)求数列｛〃〃｝前踪项和$2小

(3)在数列｛4｝中，是否存在连续的三项。田2,按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有

满足条件的正整数加的值；若不存在，说明理由.

n,n=2k-l

【答案】⑴。〃=｛〜，2wN'；(2)5”=公一1+3人；(3)在数列｛《7｝中，仅存在连续的

2-32,n=2k

三项%,%，%，按原来的顺序成等差数列，此时正整数加的值为1.

【解析】(1)显然要分奇偶求解，用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求解；(2)同(1)

要按奇偶分别求和，即求的也就是分奇偶后的前n项和：(3)先假设存在这样的连续三项按原来的顺序

成等差数列，即假设册=生人，则品+%+2=26向，然后代入通项公式得4,3i=2K-l，显然不成

立；再假设4”=4口，则《”+勺.2=2。"，然后代入通项公式得上=3宣，解此方程要构造新的方程，

即令1=贪=1，罗一声=y<o,故…，只有工=1,则仅存在连续的三

项4M2,〃3合题意.

试题解析：(1)设等差数列的公差为4,等比数列的公比为9，

则4=1,%=2,%=1+乩。4=21,6=1+2d,

•/S3=a4,1+2(1+J)=2q,即4+d=2q,

又。3+“5=2+4，(1+d)(1+22)=2+%,即3。=24,解得d=2,q=3,

工对于k£N：有a2bl=1+(左一1).2=24-1,=2•3;"|,

n,n=2k-\

故〃“二{J,keN”.

2.32,n=2k

(1+201)32(1—力二/j卜3人

21-

(3)在数列｛4｝中，仅存在连续的三项4M2，/，按原来的顺序成等差数列，此时正整数阳的值为1,

下面说明理由.

若％=%k，则由4+4+2=2%1，得2・31+2・3太=2(22+1),

化简得4.3~】=24-1，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立.

若4，则由q”+册+2=2a,”+［，得(22—1)+(2左+l)=2・20i,

化简得左=3"T.

令『击，小川)，贝丹祟一击=崇<0・

因此，1=工>(>4>…，故只有工=1,此时左=l,m=2xl-l=l.

综上，在数列｛4｝中，仅存在连续的三项4M2,4,按原来的顺序成等差数列，此时正整数机的值为1

3.设数列｛4｝的前n项和为S,,S“=5m2(%国ER©。0过工1)

(1)求证：数列｛4｝是等比数列；

⑵若qwN”,是否存在q的某些取值，使数列｛《,｝中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的

全部取值集合，若不能说明理由.

(3)若qwR,是否存在夕£[3,+8),使数列｛4｝中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q

的一个取值，若不存在，说明理由.

【答案】解：(1)见详解；(2)不存在；(3)不存在

【解析】（l）n=l时，q=S[=。，

〃“山勺='-幻=舌"-尸）=时（n=l也符合）

:q=WnwN+）,..甘=q,即数列｛q｝是等比数歹人

(2)若+〃〃2+41则/〃=4"'+4小+q%(qeN,q22)

个一医一

可设拉4>%>%>小，两边同除以。“得：q，h~n'-qq"2f—j

因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在.

（3）若勺，=。小+〃叱+4“则=4%+4小+d'（qwN,q之八

n,y2n〃

可设%>%>公>%，'qi3,q%=q.q"4T>39")>3<?>q'+q"+q'，,qan„3+n“2+a„nl

不成立.

4.已知数列｛4｝为正项等比数列，满足%=4,且％3a"6构成等差数列，数列也｝满足

么=噫％+1吗3

（1）求数列｛《,｝,｛<｝的通项公式;

2

（2）若数列出｝的前“项和为S"，数列｛qj满足G=I-,求数列匕｝的前〃项和小

nl

【答案】（1）an=2；hn=2n-\（2）T”二"

n+i

【解析】解：（1）设等比数列｛%｝的公比为4（4>0）,由题意，得

+4=6%nq+/=6解得q=2或4=一3(舍)

又6=4nq=1所以q=〃/一=2”T

bn=log2an+log2an+l=n-\+n=2n-\

帅+包)_〃(1+(2〃-1)]_“2

⑵SL1-1-n・

22

22-L-J-

C"~n(n+l)\nn+\

.“=2」+」+.„2n

"I223nn+\n+\

5.已知函数=-af-cos/)Jz,^(x)=(a-x)cosx.

(1)当xNO时，/(x)Ng(M恒成立，试求实数。的取值范围；

(2)若数列｛q｝满足：a。4,a向泻=…),证明：、年.

【答案】(1)(-oo,0];(2)见解析

【解析】(1)依题意=-gor2-sinx,

f(x)>g(x)恒成立，即gd一;⑪?一5加之(。-x)cosx恒成立,

2

亦即;V-3加_sii1V一一x)cosxNO恒成立.

令F(x)=-x3-^ar2-sinx-(a-x)cosx,(x>0),

则F"(x)=x2-dx-cosx4-cosx+(tz-x)sinx=(x-6z)(x-sinr),

4,h(x)-x-sinx(x>0),则7ir(x)=l-cosx>0,

.,.〃(》)在R上单调递增，在［0,48)上也单调递增，

当xNO时，7z(x)=x-sinx>/z(0)=0,

F\x)>0(x>0),尸(x)在［0,+oo)上单调递增,

尸(x)之尸(0)=一恒成立,

当。>0时，/(x)在(0,以)上单调递减，在(。,十2)上单调递增，

而产(0)=一。<0,所以/(力之0在9+oo)不恒成立，

故实数。的取值范围是(YO,0］；

71

若见二sin壶，则.I.4

=sin尹

%=$而券(〃=0,1,2,)

由(1)知，//(x)=x-sinx在恨+oo)上单调递增，K/i(x)=x-sinr>/i(0)=0,

即当x>0时，x>sinx，

•••4，=$出券V券5=0,1,2,).

6.已知等差数列｛叫｝和等比数列｛bj均不是常数列，若即=也=1,且句,2a2,4a4成等比数列，4b2,

2b3,b4成等差数列.

(1)求｛an｝和｛bn｝的通项公式；

(2)设m,n是正整数，若存在正整数i,j,k(iVjVk),使得ambj,amaM,a』k成等差数列，求m+

n的最小值；

(3)令♦=，■,记｛品｝的前n项和为Tn,｛/｝的前n项和为An.若数歹J｛pn｝满足pl=cl,且对

T-1

Vn>2,nEN*,都有pn=」一+Ancn,设｛pj的前n项和为Sn,求证：Sn<4+41nn.

n

.(tn=4f/w=3

【答案】⑴4=〃也=2'I⑵｛c或《、(3)见解析

n=21〃=3

【解析】(1)设等差数列的公差为d(d#)),等比数列在公比为q(q/1),由题意得:

2

4a2=例%'=[(q+]J=q(q+3d),

2

4b3=4b2+b4[4b】q=4"q+

解得d=l,q=2,

所以a“=〃,2=2”，

(2)由ambj,amanbi,anbk成等差数列，

有2%。也=。也+《仇,

即力wr2'T=底2川+221，

由于且为正整数，所以/一，21,左一，22,

所以2/nn=m-2/_,+n-2k~'>2m+4〃，

21

可得加之加+2〃，即一+—VI,

mn

21

①当理n£2时，不等式一十—VI不成立;

mn

_〃z=4Izn=3

②当｛3或《)时2加九・2"=出NH+M"-成立;

n=2n=3

12

③当〃24时，一＞0,一＜1,即团＞2,则有m+〃＞6；

nm

所以僧+〃的最小值为6,

tn=4〃？=3

当且仅当/一》=1,攵-7=2且〃二2或C时取得.

n=3

⑶由题意得：=y+1+—

P2I2

c.+C,

(23尸

S〃=Pl+〃2+“3++凡

=(1+弱+…+：)亿+。2+。3+…+%)

(.111V

=1+彳+W++一北

123n)

7；,=c,+c2+c3+-+cn(1)

"=(2)

乙4L乙

(1)—(2)得一T=\-\—+—F-+,,+--：----

2“2482"T2"

求得Tn=4—(〃+2)［耳<4'

(111、

所以S”<4l+7+q+…+—；,

(23n)

设f(x)=lnx+，_l(X>1),则r(x)=!--y=^y!->0,

XXXX

所以在(L+oo)上单调递增,有/(x)>/(l)=0，

可得lnx>1--.

x

当上之2,且左£N*时，—^―>1,

k-\

有In---->1------=-9

k-\kk

所以,vln2,1v

2132nn-\

1111II2.3.n..

可得1+—+—F...+—<1+In—I-In—F...+In---=1+In/?,

23n12n-\

所以5“<41+］+5+4—"）<4（l+ln〃）.

7.已知数列｛4｝中，6=1,%=%且4向=%（4+%+］）对任意正整数〃都成立，数列｛%｝的前〃项

和为S”.

（1）若攵=；，且S|8=171,求。；

（2）是否存在实数女，使数列｛4｝是公比为1的等比数列，且任意相邻三项金，《用，4/2按某顺序排列

后成等差数列，若存在，求出所有女的值；若不存在，请说明理由；

（3）若左二-g,求S”.（用〃，"表示）.

1-早（4+1）,〃是奇数

2

【答案】（1）。=2；（2）k=~；（3）Sn=｛2

5名。+1）,〃是偶数

【解析】（1）%=］时，4川=］（%+3+2），（+2一%+1=%+1一%，

所以数列｛%｝是等差数列，

此时首项4=1,公差d=a2-a｛=a-\t

数列加”｝的前〃项和是S”=〃+^〃（〃一1）（。一1）；

故171=18+gxl8xl7（a-l）,得〃=2；

（2）设数列｛4｝是等比数列，则它的公比夕="=。，所以金+1=""，4+2=。'田，

a\

①〃"为等差中项，则2限=am+J，

即2d"=amX+/用，解得。=1，不合题意；

②4为等差中项，则24,=4+|+4/2，

即2"1=""+。”小，化简得：。2+〃一2=0,解得。=一2或。=1（舍去）；

③若%+2为等差中项，贝iJ2%+2=4向+勺，

即2"川=々'"+4:-|，化简得：2储一。一1=0,解得〃=-1；

2

k二4+1二罐二。二2

4+*产5x1+/5，

综上可得，满足要求的实数々有且仅有一个，A:=-1：

（3）k=--f则a“+i=一万,"+4+2），

4+2+4川=一（见+1+a〃）M-二一（〃42+4用）=4用+4.

当〃是偶数时，50=4+&+&+q+-+〃,1+4=（4+/）+（%+/）"一+（凡」+凡）

=女《+出）=女。+1），

当〃是奇数时'5a=4+%+4+/++4-1+/=4+（%+4）+（44+%）+'+（《1+凡）

=4+—3+4）=4+9"［_（4+七）］=1——（。+1），（"之2）,

n-1也适合上式，

1-一（a+1）,〃是奇数

综上可得，S„=\2^

］（。+1）,〃是偶数

8.己知数列｛/｝中，q=3,前几项和S”满足％=2S“+3"eN*）.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵记〃,=（〃_［）；：_］）,求数列出｝的前〃项和7；；

⑶是否存在整数对（根,〃）（其中AWWZ,〃eN*）满足。；一（m+2）%+7加+5=0?若存在，求出所

有的满足题意的整数对（根,〃）；若不存在，请说明理由.

I/11A

【答案】（1）q=3"；（2）7；=3匕一；^^；（3）（-2,1）,（34,2）,（