2023高考文科数学一轮复习(配北师版)第11章-概率-第1节-随机事件的概率VIP

高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第一节随机事件的概率第十二章2023内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.结合具体实例,理解事件的相关概念.2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.3.通过实例理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.4.结合实例,会用频率估计概率.1.随机事件的关系2.随机事件的频率与概率3.互斥事件、对立事件的概率1.数据分析2.逻辑推理3.数学运算强基础增分策略1.事件的分类

确定事件必然事件在条件S下,一定会发生的事件,叫作相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下,一定不会发生的事件,叫作相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下

的事件,叫作相对于条件S的随机事件

可能发生也可能不发生

2.频率与概率

从数量上反映了随机事件发生的可能性大小(1)频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的

,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的

.

(2)随机事件概率的定义:在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A),有0≤P(A)≤1.(3)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用

来估计概率P(A).

频数

频率

频率fn(A)微点拨频率是随机的,试验次数不同,得到的频率可能不同;概率是频率的稳定值,反映了随机事件发生的可能性的大小.3.事件的关系与运算(1)互斥事件:在一个随机试验中,把一次试验下

发生的两个事件A与B称作互斥事件.

(2)和事件:给定事件A,B,我们规定A+B为一个事件,事件A+B发生是指事件A和事件B

.

(3)和事件的概率:在一个随机试验中,如果随机事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A+B)=

;如果随机事件A1,A2,…,An中任意两个是互斥事件,那么有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

不能同时

至少有一个发生

P(A)+P(B)不会

有一个发生1-P(A)微点拨1.对立事件一定是互斥事件,而互斥事件未必是对立事件.2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件:(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件

所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.4.概率的几个基本性质性质1:对任意的事件A,都有0≤P(A)≤1.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(∅)=0.性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).常用结论概率加法公式的推广(1)当一个事件包含多个结果时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).注意(1)(2)中涉及的各事件要彼此互斥.

增素能精准突破考点一随机事件的关系典例突破例1.(1)(2021吉林三模)口袋中装有3个红球和4个黑球,每个球编有不同的号码,现从中取出3个球,则互斥而不对立的事件是(

)A.至少有1个红球与至少有1个黑球B.至少有1个红球与都是黑球C.至少有1个红球与至多有1个黑球D.恰有1个红球与恰有2个红球(2)在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是(

)A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件答案:(1)D

(2)D

解析:(1)对于A,至少有1个红球与至少有1个黑球不是互斥事件,故A错;对于B,至少有1个红球与都是黑球不能同时发生,为互斥事件,且其中必有一个发生,为对立事件,故B错误;对于C,不是互斥事件,例如,取出2个红球和1个黑球,故C错误;对于D,恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生,为互斥事件,但不是对立事件,故D正确.故选D.(2)由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的Venn图表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.反思感悟判断互斥、对立事件的两种方法

定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;②事件A的对立事件

所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集对点训练1(1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学,每人一本,则事件A表示“甲分得语文书”,事件B表示“乙分得数学书”,事件C表示“丙分得英语书”,则下列说法正确的是(

)A.A与B是不可能事件B.A+B+C是必然事件C.A与B不是互斥事件D.B与C既是互斥事件也是对立事件(2)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示“向上的一面出现奇数点”,事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”,事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”,则(

)A.A与B是互斥而不对立事件B.A与B是对立事件C.B与C是互斥而不对立事件D.B与C是对立事件答案:(1)C

(2)D

解析:(1)“A,B,C”都是随机事件,可能发生,也可能不发生,故A选项错误;B选项显然错误;“A,B”可能同时发生,故“A”与“B”不互斥,故C选项正确;“B”与“C”既不互斥,也不对立,故D选项错误.故选C.(2)因为A∩B={出现点数1或3},事件A,B不互斥更不对立;B∩C=∅,B∪C=Ω(Ω为必然事件),故事件B,C是对立事件.考点二随机事件的频率与概率典例突破例2.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解:(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192

5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192

5a(元).保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05反思感悟1.概率与频率的关系频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法(1)可用频率来估计概率.(2)利用随机事件A包含的基本事件数除以基本事件总数.对点训练2(2020全国Ⅰ,文17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:甲分厂产品等级的频数分布表

乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?解:(1)由试加工产品等级的频数分布表知,(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润6525-5-75频数40202020由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为

利润70300-70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为

比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.考点三互斥事件、对立事件的概率(多考向探究)考向1.互斥事件的概率典例突破例3.某保险公司利用简单随机抽样的方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下.赔付金额/元01

0002

0003

0004

000车辆数/辆500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.解:(1)设A表示事件“赔付金额为3

000元”,B表示事件“赔付金额为4

000元”,由于投保金额为2

800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3

000元和4

000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“在已投保车辆中,新司机获赔4

000元”.由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1

000=100(辆),而赔付金额为4

000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4

000元的频率为

=0.24.由频率估计概率,得P(C)=0.24.反思感悟求互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)对点训练3经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下.排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求:(1)至多2人排队等候的概率是多少?(2)至少3人排队等候的概率是多少?解:记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F两两互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法1)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法2)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.考向2.对立事件的概率典例突破例4.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这100