高考数学一轮复习考点规范练49椭圆（含解析）

考点规范练49椭圆

基础巩固

1.已知椭圆的焦点坐标为（T,0）和⑸0）,椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为

)

A•白喑可

99

D.—+—=\

C丽,翦=114425

答案:A

解析：由题意知a=13,。巧,则少二4-5=144.

又椭圆的焦点在片轴上,

・•・椭圆方程为急+£=1.

2.已知椭骑唱=1的离心率班则太的值为（）

A,.一19B.21

25

C渡或21D.麴21

答案:C

解析:若，=9,6』”,则

由£q即写q得T

a53525

若Ja+k,匕今,则c=\Jk~5,

由鸿即爆w，

解得F2L

3.若曲线ax%卬=1是焦点在x轴上的椭圆，则实数a,8满足（）

A.才少B.-<7C.0Q&D.0〈bQ

ab

答案:C

解析：由,得$+。=1,因为焦点在x轴上,所以L所以OQ<b.

11ab

ab

4.已知点P5,必)是椭圆4小q=1上的一点,£是焦点,若/片他取最大值时,则△明£的面积是

10

()

A.苧B.12

C.16(2^3)D.16(2-73)

答案:B

解析：•・•椭圆方程为

.*.a=5,b=4,c=V25-16=3,

因此椭圆的焦点坐标为£(-3,0)/(3,0).

根据椭圆的性质可知，当点P与短轴端点重合时，/邛/取最大值，则此时△死£的面积

53xgx3X4=12,故选B.

5.己知圆("2)2寸学6的圆心为M设力为圆上任一点,且点M2,0),线段/N的垂直平分线交MA于

点上则动点尸的轨迹是()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

答案:B

解析:点尸在线段4N的垂直平分线上,故/应/=/月0,又/材是圆的半径，

所以/网/〃呼/=/0〃”处/=/刃〃与)例V/,由椭圆定义知,动点。的轨迹是糊圆.

6.已知R,£是椭圆/唔可(a»刈的左、右两个焦点,若椭圆上存在点尸使得PRIPJ,则该椭圆的

离心率的取值范围是()

A・停，1)B.停,1)C.(0,目仄(0,由

答案:B

解析：•・•£,£是椭圆9吟=1Q如0)的左、右两个焦点，

・•・离心率OQ<1,£(-G0),8(。,0),。2二/一".

设点P(*,y),由PFdP%

得(*-c,y)•(x+c,y)=O,

化简得丁少天，

俨+/=/,

联立方程组//—

(7+7=h

整理，得x=(2c-a)•，20,

解得心当又00e<l,

・・・当We<l.故选B.

7.(2021全国〃,理15)己知凡£为椭圆,。=1的两个焦点,P,。为椭圆C上关于坐标原点对称

104

的两点，且/W'=/7诚/,则四边形步在的面积为.

答案：8

解析•：由题意得b=2,C-2V3,四边形用QR为平行四边形，

则/网/=//谯/="5,

・•・四边形mQR为矩形，

・・・Q£_L例.

•・•闻£/+/你/=2a-8,/仍/+/牝/=咻08,

.・・/Q£/・闻£/书(/Q£/+/你/)2_(例///°£/2)]4,即四边形MQ8的面积为8.

8.已知44分别为椭圆£:^Al(a>l)的左、右顶点，G为夕的上顶点，衣-彷4.2为直线产6上的

动点,PA与£的另一交点为&PB与£的另一交点为D.

⑴求椭圆〃的方程；

⑵证明：直线而过定点.

答案：(1)解由题设得A(-a,0),B(a,0),(7(0,1).

则祢3,1),赤=(a,T).

由而・GR=8得a~l-8,即

所以椭圆后的方程为《"=1.

⑵证明设。（X,必），。（芍必），尸（6"）.

若40,设直线切的方程为x=my+n,由题意可知-3S＜3.

由于直线PA的方程为y［（＞+3）,所以必［J13）.

直线阳的方程为六^（＞-3）,所以y2^U2-3）.

可得3%（及-3）=y2（乂+3）.

由于故外=上比产，

可得27ylM=-（*+3）（而+3）,

即（27痴）乂％加（〃+3）（%+%）+（"3）』.（J）

将户roy+〃代入/+炉=1得（方冉）寸粒mny+it-90.

所以必*於=瑞,必以案

代入旗得（27•）（6⑼-2加（〃⑶叱«"3）2・（病⑼a

解得n=-3（舍去）,〃等

故直线切的方程为x=my^,

即直线6P过定点（表0）.

若£力,则直线⑺的方程为尸Q过点0）.

综上,直线⑦过定点G，。）.

9.已知椭圆.嘘吗可心》刈的离心率为手,焦距为2V2.斜率为k的宣线1与椭圆M有两个不同的

交点A,B.

⑴求椭圆必的方程；

⑵若〃二1,求〃刃的最大值;

⑶设户（-2,0）,直线内与椭圆〃的另一个交点为C,直线即与椭圆时的另一个交点为D,若C,〃和

点/3共线,求〃.

(/=〃+/,

解：⑴由题意得=当

Ia3

(2c=275,

解得a^/3,b=1.

所以椭圆力的方程为《歹=1.

⑵设直线1的方程为y=x+m,A（xlt必），8（苞,必）.

（y=x+卬，

由［”］，

得4/冷卬*d3裾-34，

CJT|%|3加3常-3

所以X\+X2=LF为用「Q一

所以］AB0（彳2-&）2+（乃-力/

々2(为2-Xi"

3/21(4+热＞-4*1代］

_Jl2-3宗

当麻，即直线1过原点时，〃卸最大,最大值为遮.

⑶设4（马必）,8（均,必），由题意得彳+3片=3,考电名=3.

直线目的方程为夕*（户2）.

If!

1+3产=3,

得［(x42)2+3片］/+12%"12彳-3(小必2也

设。（心先）,

ruzT2/4^-12

所以.两焉+2//二小•

所以及会飞三翳,

所以及端（a2）等.

设D小4，同理得当二篙,

记直线C0,困的斜率分别为心心

则自1%一；『；；）-一吃：；户（必一%KG.

4町+74*1*2*74

因为C,D,0三点共线,所以kg-kQ

故y一切二乂一出

所以直线/的斜率43=1.

向一畋

能力提升

10.已知尸是椭圆（在/=1（0”⑸上除顶点外的一点，月是椭圆的左焦点，若研/4,则点尸到

该椭圆左焦点的距离为（）

A.6B.4C.2D.1

答案:C

解析:设椭圆右焦点为七取用的中点M,连接0和而十砾皿,则/QJ〃N,在△片仅中，曲/是中位线.

故班的长等于8,iPFj+lPEjeaAO,

解得/PFJ2故选C.

H.椭圆摄吟=i（&协0）的焦点为片,&若椭圆上存在满足所­M4的点P,则椭圆的离心率的范

围是.

答案榨,1）

解析：•・•椭圆的焦点为F\,E,椭圆上存在满足两­M=与的点P,

・•・丽/•阿/cos裾丽咛，

22

4c2海在丽一2,苗/・丽/cos阿，无，

，丽"网心

可得用2+明2+2而/■丽

2

・・・2府/・厢/考，一3°2在2(所了),

当且仅当/所片/丽/时,等号成立.

可得多制,解得众苧.

又0<e<l,'eW停，1).

12.已知椭圆C:《当口(0(加<5)的离心率为平,44分别为C的左、右顶点.

43ftr4

⑴求C的方程；

(2)若点尸在C上，点0在直线产6上,且/应BP1BQ,求△力々的面积.

解：⑴由题设可得牢二组得/与所以C的方程为最小嘉1.

311O43—

16

(2)设尸(即,公,0(6,匕)，根据对称性可设为用，由题意知

由已知可得8(5,0),直线筋的方程为y=、(xT),

yQ

所以加7=%J1+力为0/11+均

因为/BP/=/BQ/,所以4=1,将疗1代入C的方程,解得x&或-3.

由直线的的方程得为=2或8.

所以点P,。的坐标分别为2(3,1),Q(6,2);2(-3,1),0(6,8).

认Q/个国,直线PQ的方程为点4(60)到直线PQ的距离为手,故△4。阍的面积为;义

当总

EQ/R130,直线2a的方程为了］44,点力到直线2a的距离为噂故△/月口的面积为Jxx

y6Zb乙Zb

V130=1，

综上,△力内。的面积为|.

高考预测

13.椭圆£:摄唔=13月0）的左、右焦点分别为&&过£作垂直于x轴的直线1与椭圆£在第一

象限交于点P,若/你/=5,且3a=6.

⑴求椭圆£的方程