算法设计与分析 习题答案 田小霞

国家级实验教学示范中心计算机学科组规划教材算法设计与分析习题答案田小霞杨圣云陈炫锐邱维阳编著清华大学出版社北京

目录第一章算法基础 第一章算法基础1.渐进式(1)50n(2)2n2(3)5n2.上界和下界(1)n2(2)4n3(3)n23.T(n)=n(n+1)(2n+1)/6，O(n3)。提示：自然数平方和4.略。可布置分组任务。5.略。第二章递归与分治1.B2.C3.C4.A5.C6.一般分为3个子问题，比较第1个和第2个子问题的硬币是否相等，如果两个子问题相等，假币在第3个子问题中；否则假币在较轻的子问题中；继续分割子问题，直到找到假币。时间复杂度为。（此题也可以分解为两个子问题来求解，复杂度）7.略。8.参考代码如下：#include<iostream>#include<algorithm>usingnamespacestd;intres=1;voiddfs(intcnt,intn,intf[],boolst[],intans[]){ if(cnt==n+1) { cout<<"这是第"<<res<<"个排列："; for(intk=1;k<=n;k++) { cout<<ans[k]; if(k!=n)cout<<","; elsecout<<'\n'; } res++; return; } for(inti=1;i<=n;i++) { if(!st[i]) { st[i]=true; ans[cnt]=f[i]; dfs(cnt+1,n,f,st,ans); st[i]=false; } }}intmain(){ cout<<"请输入序列的数量："; intn; cin>>n; intf[n+10],ans[n+10]; boolst[n+10]; cout<<"请输入"<<n<<"个不重复的数（使用空格或回车隔开）：\n"; for(inti=1;i<=n;i++) cin>>f[i]; for(inti=1;i<=n;i++)st[i]=false; dfs(1,n,f,st,ans); return0;}9.此题与例题2.3.2相似。时间复杂度为O(n+m)。参考代码如下：#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>usingnamespacestd;constintN=1010,M=N*2;intn,m,k;intf[N][N];boolcheck(){ intl=n,r=1; while(l>=1&&r<=m) { if(f[l][r]==k)returntrue; if(f[l][r]>k)l--; elser++; } returnfalse;}intmain(){ cout<<"请输入矩阵大小和目标值k:";cin>>n>>m>>k;cout<<"\n请输入符合题目要求的矩阵：\n";for(inti=1;i<=n;i++) for(intj=1;j<=m;j++) cin>>f[i][j];if(check())cout<<"Yes\n";elsecout<<"No\n"; return0;}10.代码：f1=1f2=1for(i=3;i<n;i++)sum=f1+f2f1=f2f2=sum时间复杂度O(n)。11.此题与例题2.3.7相似。12.参考代码如下：//矩阵快速幂#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>usingnamespacestd;typedeflonglongLL;intn,mod=10000;voidqmi(inta[],intb[][2]){inttemp[2]={0,0};for(inti=0;i<2;i++)for(intj=0;j<2;j++)temp[i]=(temp[i]+(LL)a[j]*b[j][i])%mod;memcpy(a,temp,sizeoftemp);}voidqmi(inta[][2],intb[][2]){inttemp[2][2]={0};for(inti=0;i<2;i++)for(intj=0;j<2;j++)for(intk=0;k<2;k++)temp[i][j]=(temp[i][j]+(LL)a[i][k]*b[k][j])%mod;memcpy(a,temp,sizeoftemp);}intmain(){cin>>n;intf1[2]={1,1};inta[2][2]={{1,1},{1,0}};n--;while(n){if(n&1)qmi(f1,a);qmi(a,a);n>>=1;}cout<<f1[1]<<'\n';return0;}13.按分治策略，将所有的选手分为两半，n个选手的比赛日程表就可以通过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用对选手进行分割，直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这2个选手进行比赛就可以了。123456782143658734127856432187655678123465872143785634128765432114.参考代码如下：#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>usingnamespacestd;typedeflonglongLL;intqmi(inta,intn,intp){ intres=1; while(n) { if(n&1)res=(LL)res*a%p; a=(LL)a*a%p; n>>=1; } returnres;}intmain(){inta,n,p;cin>>a>>n>>p;cout<<qmi(a,n,p)<<'\n';return0;}15.参考代码如下：#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;intn,k;vector<int>to[200005];vector<int>len[200005];longlongdeep[200005];intdiep[200005];intsize[200005];intson[200005];intnid[200005];intid[200005];intcnt;map<longlong,int>dep;intans=1e9;voiddfs1(intnow,intlast){size[now]=1;id[now]=++cnt;nid[cnt]=now;intmx=0;for(inti=0;i<to[now].size();i++){intnext=to[now][i];if(next==last)continue;deep[next]=deep[now]+len[now][i];diep[next]=diep[now]+1;dfs1(next,now);size[now]+=size[next];if(size[next]>mx){mx=size[next];son[now]=next;}}}voidupdata(intx,intk){intdx=deep[x];if(k==-1){dep[dx]=0;}else{inttmp=dep[dx];if(tmp==0)tmp=1e9;dep[dx]=min(tmp,diep[x]);}}voiddfs2(intnow,intlast,boolkeep){for(autonext:to[now]){if(next==son[now]ornext==last)continue;dfs2(next,now,0);}if(son[now])dfs2(son[now],now,1);for(autonext:to[now]){if(next==son[now]ornext==last)continue;for(inti=0;i<size[next];i++){intnxt=nid[id[next]+i];intreq=k+2*deep[now]-deep[nxt];if(dep[req]){ans=min(ans,dep[req]+diep[nxt]-2*diep[now]);}}for(inti=0;i<size[next];i++){updata(nid[id[next]+i],1);}}updata(now,1);if(dep[deep[now]+k])ans=min(ans,dep[deep[now]+k]-diep[now]);if(keep==0){for(inti=0;i<size[now];i++){updata(nid[id[now]+i],-1);}}}intmain(){cin>>n>>k;for(inti=1;i<n;i++){intu,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);to[u].push_back(v);to[v].push_back(u);len[u].push_back(w);len[v].push_back(w);}diep[0]=1;dfs1(0,0);dfs2(0,0,0);if(ans==1e9)ans=-1;cout<<ans;return0;}16.参考代码如下：#include<stdio.h>#include<iostream>#include<algorithm>#include<string.h>#definemaxn20010#definelowbit(x)x&(-x)#definemem(a,b)memset(a,b,sizeof(a))#definelllonglong#defineINF0x3f3f3f3fusingnamespacestd;intn;structnode{intto,next,w;}edge[maxn*2];inthead[maxn],tot;intvis[maxn];intf[maxn],son[maxn],core,sum;intd[maxn],t[5];intans;voidinit(){mem(head,-1);tot=ans=0;mem(vis,0);}voidadd(inta,intb,intc){edge[tot].to=b,edge[tot].next=head[a],edge[tot].w=c;head[a]=tot++;}voidgetcore(intu,intfa){son[u]=1,f[u]=0;for(inti=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){intv=edge[i].to;if(vis[v]||v==fa)continue;getcore(v,u);son[u]+=son[v];f[u]=max(f[u],son[v]);}f[u]=max(f[u],sum-son[u]);if(f[u]<f[core])core=u;//f[u]算出后取最小的一个}voidgetdeep(intu,intfa){//计算u所在子树每个点相对u的深度+u自身的深度t[d[u]]++;for(inti=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){intv=edge[i].to,w=edge[i].w;if(vis[v]||v==fa)continue;d[v]=(d[u]+w)%3;getdeep(v,u);}}intcal(intu,intw){d[u]=w%3;t[0]=t[1]=t[2]=0;//初始化！getdeep(u,0);//printf("%d%d%d%d\n",u,t[0],t[1],t[2]);returnt[1]*t[2]*2+t[0]*t[0];}voidwork(intu){//点分治主过程ans+=cal(u,0);//求经过重心u的合法路径数vis[u]=1;for(inti=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){intv=edge[i].to,w=edge[i].w;if(vis[v])continue;ans-=cal(v,w);//减去仅属于一个分支的合法路径数（不符合路径定义）sum=son[v],core=0;getcore(v,0);work(core);}}intgcd(inta,intb){returnb==0?a:gcd(b,a%b);}intmain(){scanf("%d",&n);init();for(inti=0;i<n-1;i++){inta,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);add(a,b,c%3),add(b,a,c%3);}core=0,sum=n,f[0]=INF;getcore(1,0);work(core);inttmp=gcd(ans,n*n);printf("%d/%d\n",ans/tmp,n*n/tmp);return0;}第三章贪心算法ABBACBBCAB解：算法步骤如下输入：鳄鱼的坐标列表和007的最大跳跃距离。初始化：将岛的边缘坐标计算出来，即所有距离(0,0)小于等于7.5米的点。计算跳跃路径：从池子的边缘开始（例如可以从东北角(50,50)开始），尝试向岛的中心(0,0)跳跃。对于每个可能的跳跃点，检查该点是否在鳄鱼的位置上，如果在，则标记为不可达；如果不在，则检查从当前点到该点的距离是否小于等于007的最大跳跃距离。如果存在至少一条路径，使得007可以从池子的边缘跳到岛上而不碰到任何鳄鱼，则返回“可以逃脱”。输出：如果找到至少一条安全路径，输出“可以逃脱”，否则输出“无法逃脱”。代码参考如下：importmathdefcan_escape(crocodile_positions,max_jump_distance):#鳄鱼池的尺寸pond_size=100#岛的半径island_radius=7.5#检查一个点是否在鳄鱼的位置上defis_crocodile(x,y):forcx,cyincrocodile_positions:ifmath.isclose(x,cx)andmath.isclose(y,cy):returnTruereturnFalse#检查从当前点(x,y)跳跃到(nx,ny)是否可行defcan_jump(x,y,nx,ny):distance=math.sqrt((nx-x)**2+(ny-y)**2)returndistance<=max_jump_distanceandnotis_crocodile(nx,ny)#检查从池子的边缘是否存在一条路径到达岛上defcheck_path_exists():#只需要从池子的边缘检查一个点即可，因为问题是对称的start_x,start_y=pond_size,0#可以选择任意边缘点，这里选择右下角#使用广度优先搜索(BFS)来查找路径queue=[(start_x,start_y)]visited=set(queue)whilequeue:x,y=queue.pop(0)#如果当前点在岛上ifmath.sqrt(x**2+y**2)<=island_radius:returnTrue#尝试所有可能的跳跃方向directions=[(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)]#上下左右fordx,dyindirections:nx,ny=x+dx,y+dy#检查新点是否在池子内且未被访问过if0<=nx<=pond_sizeand0<=ny<=pond_sizeand(nx,ny)notinvisited:#如果可以跳跃到新点ifcan_jump(x,y,nx,ny):visited.add((nx,ny))queue.append((nx,ny))#如果没有找到路径returnFalse#调用函数检查路径是否存在returncheck_path_exists()#示例用法crocodile_positions=[(30,30),(40,40),(50,50)]#鳄鱼的位置max_jump_distance=10#007的最大跳跃距离print(can_escape(crocodile_positions,max_jump_distance))#输出：False或True解：首先，我们需要对孩子们的胃口值g和饼干尺寸s进行排序。然后，我们从最小的胃口和最小的饼干开始匹配，如果当前饼干可以满足当前孩子的胃口，我们就分配这块饼干给孩子，并继续匹配下一个孩子和下一块饼干。如果不能满足，我们就尝试下一块更大的饼干。具体代码参考如下：deffindContentChildren(g,s):#对孩子们的胃口和饼干尺寸进行排序g.sort()s.sort()child=0#当前匹配到的孩子索引cookie=0#当前匹配到的饼干索引satisfied=0#满足的孩子数量#当孩子和饼干都还有剩余时，进行匹配whilechild<len(g)andcookie<len(s):ifs[cookie]>=g[child]:#如果当前饼干可以满足当前孩子的胃口satisfied+=1child+=1#匹配下一个孩子cookie+=1#尝试下一块饼干returnsatisfied#示例g=[1,2,3]s=[1,1]print(findContentChildren(g,s))#输出:1解：要使最远的两个洞穴之间的距离尽可能小，并且仍然可以从其他洞穴到达每个洞穴，可以构建一个这样的隧道系统：将洞穴视为图的节点，隧道视为图的边，构建一个连通图，其中任意两点间的最长路径尽可能短。一个有效的方法是使用最小生成树，具体的代码参考如下：importheapqdefprim_algorithm(n):#初始化tunnels=[]visited=[False]*nedges=[(0,i,1)foriinrange(1,n)]#从洞穴0开始，到所有其他洞穴的边，权值都为1heapq.heapify(edges)#将边放入最小堆中#Prim算法主循环whileedges:cost,u,v=heapq.heappop(edges)ifnotvisited[v]:visited[v]=Truetunnels.append((u,v,cost))foriinrange(n):ifnotvisited[i]andi!=u:heapq.heappush(edges,(1,v,i))#添加从v到所有未访问洞穴的边，权值都为1returntunnels#示例n=5tunnels=prim_algorithm(n)print(tunnels)#输出可能类似于：[(0,1,1),(1,2,1),(2,3,1),(3,4,1)]，表示连接洞穴的隧道及其权值解：这个问题是一个经典的“双指针”问题，可以通过移动两个指针来找到最大水量的容器。双指针法本质上是一种贪心算法，因为我们每次移动指针都是为了寻找可能的更大容器。具体的参考代码如下：defmax_area(height):left=0#左指针right=len(height)-1#右指针max_water=0#最大水量whileleft<right:#当前容器的宽度width=right-left#当前容器能容纳的水量current_water=min(height[left],height[right])*width#更新最大水量max_water=max(max_water,current_water)#贪心策略：移动较短的那根线以尝试找到更大的容积ifheight[left]<height[right]:left+=1else:right-=1returnmax_water#测试height=[1,8,6,2,5,4,8,3,7]print("最大可以容纳的水量:",max_area(height))解：defmax_activities(n,activities):#按照结束时间排序activities.sort(key=lambdax:x[1])#初始化计数器和前一个活动的结束时间count=0last_end_time=0foractivityinactivities:start,end=activity#如果当前活动的开始时间不早于上一个活动的结束时间ifstart>=last_end_time:#安排这个活动count+=1last_end_time=endreturncount#输入n=int(input())activities=[tuple(map(int,input().split()))for_inrange(n)]#计算并输出最多能安排的活动数量print("最多能够安排的活动数量:",max_activities(n,activities))第四章回溯法一、选择题1．在解决问题时，回溯法的主要特点是（）。A.避免了系统地搜索所有的可能解B.能够快速找到最优解C.一旦发现当前选择不会产生期望的结果，它会立即放弃这条路径D.总是保证找到全局最优解解答：C.一旦发现当前选择不会产生期望的结果，它会立即放弃这条路径讲解：避免系统地搜索所有的可能解（A）：这并不是回溯法的主要特点。事实上，回溯法是一种系统的搜索算法，但它通过剪枝（即提前终止一些不可能产生有效解的搜索路径）来提高效率。能够快速找到最优解（B）：回溯法并不保证能够快速找到最优解。它只是通过系统地搜索解空间来找到所有可能的解，并通过剪枝来减少不必要的计算量。一旦发现当前选择不会产生期望的结果，它会立即放弃这条路径（C）：这正是回溯法的核心特点。回溯法通过在搜索过程中不断评估当前路径是否有可能达到目标，如果发现不可能达到目标，就会立即放弃当前路径，回溯到上一步进行其他选择。总是保证找到全局最优解（D）：回溯法不一定能保证找到全局最优解。它可以找到所有可能的解，但是否最优取决于具体问题和实现方法。例如，对于某些优化问题，可能需要结合其他方法（如动态规划或启发式算法）来找到最优解。2．在使用回溯法进行搜索时，通常采用（）策略。A.广度优先搜索B.深度优先搜索C.贪心算法D.动态规划解答：B.深度优先搜索讲解：广度优先搜索（A）：广度优先搜索是一种逐层扩展节点的搜索策略，通常用于寻找最短路径等问题，而不是回溯法的主要策略。回溯法更适合逐步深入到问题的各个分支，广度优先搜索会在同一层的所有节点都被扩展后，才会进入下一层，这与回溯法逐步深入的特点不符。深度优先搜索（B）：回溯法的核心是逐步深入探索每一条可能的路径，直到发现问题或达到目标，然后回溯到上一步进行其他选择。这种逐步深入的方式正是深度优先搜索的特点，因此，回溯法通常采用深度优先搜索策略。贪心算法（C）：贪心算法在每一步选择中都选择当前最优解，不考虑全局最优解是否能通过当前选择达到。而回溯法是通过全面搜索来找到所有可能解，不局限于当前最优解，因此，贪心算法不是回溯法的策略。动态规划（D）：动态规划通过将问题分解为子问题，并保存子问题的解来避免重复计算，从而优化计算过程。虽然动态规划和回溯法都用于解决复杂问题，但它们的策略不同，动态规划不是回溯法的搜索策略。3．回溯法通常用于解决（）类型的问题。A.优化问题B.搜索问题C.数值计算问题D.数据排序问题解答：B.搜索问题讲解：优化问题（A）：虽然回溯法可以用于某些优化问题，但它主要用于全面搜索所有可能解的情况，并不专门针对优化问题。针对优化问题，通常会使用动态规划、贪心算法等更高效的方法。搜索问题（B）：回溯法是一种系统的搜索算法，用于遍历所有可能的解空间，寻找满足特定条件的解。因此，它广泛应用于各种搜索问题，如组合问题、排列问题、子集问题和路径问题等。数值计算问题（C）：数值计算问题通常涉及数值分析和科学计算，回溯法并不适合解决这类问题。这类问题通常使用数值算法、线性代数方法等更合适的方法。数据排序问题（D）：数据排序问题有专门的排序算法，如快速排序、归并排序、堆排序等。回溯法不是解决数据排序问题的主要方法。4．回溯法在遇到不满足条件的路径时会怎么做？（）A.继续向前搜索B.转而搜索其他路径C.返回上一步，尝试其他可能性D.停止整个搜索过程解答：C.返回上一步，尝试其他可能性讲解：继续向前搜索（A）：如果当前路径已经被确定为不满足条件，继续向前搜索是没有意义的，会浪费计算资源。因此，回溯法不会选择这种策略。转而搜索其他路径（B）：回溯法确实会搜索其他路径，但具体的操作是先回到上一步，然后尝试其他可能性，而不是直接转到其他路径。返回上一步，尝试其他可能性（C）：这是回溯法的核心特点。当发现当前路径不满足条件时，它会回溯到上一步（即上一个决策点），并尝试其他可能的选择，直到找到一个满足条件的解或者所有路径都尝试过。停止整个搜索过程（D）：除非所有可能的路径都被尝试过，回溯法不会停止搜索。如果仅仅因为一条路径不满足条件就停止整个搜索过程，问题将无法得到完整解决。5．以下哪项不是回溯法的典型应用场景？（）A.解决N-皇后问题B.找出图中的最短路径C.计算数组的所有子集D.排列组合问题解答：B.找出图中的最短路径讲解：解决N-皇后问题（A）：N-皇后问题是回溯法的经典应用之一。回溯法通过逐步尝试将皇后放置在棋盘的每一列中，避免冲突，直到找到所有可能的解决方案。找出图中的最短路径（B）：寻找图中的最短路径通常使用的是广度优先搜索（BFS）或Dijkstra算法等。回溯法用于这种问题效率较低，因为它不具备优先探索最短路径的机制。计算数组的所有子集（C）：回溯法适用于生成所有可能的子集。它通过递归地选择或不选择每个元素，来构建所有子集。排列组合问题（D）：回溯法非常适合解决排列组合问题。它通过递归地选择和排列元素，生成所有可能的排列和组合。6．关于回溯法和递归的关系，以下哪项描述是正确的？（）A.回溯法和递归没有任何关联B.回溯法通常采用迭代而非递归C.回溯法总是使用递归来实现D.回溯法可以使用递归，也可以不使用解答：D.回溯法可以使用递归，也可以不使用讲解：回溯法和递归没有任何关联（A）：这是不正确的。回溯法通常与递归有很强的关联，因为递归是实现回溯法的一种常见方法。回溯法通常采用迭代而非递归（B）：这也是不准确的。虽然回溯法可以使用迭代来实现，但更常见的是使用递归来实现。回溯法总是使用递归来实现（C）：这并不完全正确。回溯法可以通过递归来实现，但并不总是使用递归。它也可以通过显式的栈来实现迭代的方式。回溯法可以使用递归，也可以不使用（D）：这是正确的。回溯法的实现可以使用递归，也可以使用迭代。递归实现是回溯法的常见方式，但有时为了优化性能或减少递归深度，也会使用显式栈的迭代方式来实现。7．关于回溯法以下叙述中不正确的是()。A.回溯法有“通用解题法”之称，它可以系统地搜索一个问题的所有解或任意解B.回溯法需要借助队列这种结构来保存从根结点到当前扩展结点的路径C.回溯法是一种既带系统性又带跳跃性的搜索算法D.回溯法在生成解空间的任一结点时先判断该结点是否可能包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向祖先结点回溯解答：B.回溯法需要借助队列这种结构来保存从根结点到当前扩展结点的路径讲解：回溯法有“通用解题法”之称，它可以系统地搜索一个问题的所有解或任意解（A）：这句话是正确的。回溯法确实被称为“通用解题法”，因为它可以系统地搜索问题的所有可能解或任意一个解。回溯法需要借助队列这种结构来保存从根结点到当前扩展结点的路径（B）：这句话是不正确的。回溯法通常使用递归栈或显式的栈结构来保存路径，而不是队列。队列通常用于广度优先搜索（BFS），而不是回溯法的深度优先搜索（DFS）。回溯法是一种既带系统性又带跳跃性的搜索算法（C）：这句话是正确的。回溯法通过系统地探索每一条路径，同时在遇到不符合条件的路径时跳过它们，回溯到上一个决策点。回溯法在生成解空间的任一结点时先判断该结点是否可能包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向祖先结点回溯（D）：这句话是正确的。回溯法通过在每个节点处进行剪枝，避免了无效路径的进一步搜索，提高了算法的效率。8．下面哪种函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略？（）A.递归函数B.剪枝函数C.随机数函数D.搜索函数解答：B.剪枝函数讲解：递归函数（A）：递归函数是实现回溯法的一种常见方法，用于遍历解空间，但它本身并不是专门用于避免无效搜索的策略。剪枝函数（B）：剪枝函数是回溯法中的一种关键策略，用于避免无效搜索。当算法确定当前路径不可能产生有效解时，剪枝函数会停止进一步的搜索，回溯到上一步。这有效地减少了不必要的计算，提高了效率。随机数函数（C）：随机数函数通常用于生成随机数，在某些随机算法或概率算法中使用，但与回溯法的核心策略无关。搜索函数（D）：搜索函数泛指用于执行搜索操作的函数，虽然回溯法中确实包含搜索功能，但“搜索函数”并不是特指回溯法中避免无效搜索的策略。9．以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为（）。A.分支界限算法B.概率算法C.贪心算法D.回溯法解答：D.回溯法讲解：分支界限算法（A）：分支界限算法（BranchandBound）是一种用于解决优化问题的算法，它通过分支来生成解的候选，并使用界限来排除不可能的解，但它不一定采用深度优先的方式。概率算法（B）：概率算法（ProbabilisticAlgorithm）是一类算法，其行为是随机的，通常用于在确定性算法难以处理的情况下提供近似解。它们不采用系统的深度优先搜索。贪心算法（C）：贪心算法（GreedyAlgorithm）在每一步选择中都做出当前最优的选择，希望通过局部最优解达到全局最优解。它不采用深度优先搜索策略。回溯法（D）：回溯法是一种系统地搜索解空间的算法，采用深度优先搜索（DFS）策略，通过逐步深入到每一个可能的分支路径，在需要时回溯到上一步，以寻找所有可能的解或满足条件的解。二、编程题10．组合总和:给定一个数组candidates和一个目标数target，找出candidates中所有可以使数字和为target的组合。数组中的数字可以无限次使用。解答：要解决组合总和问题，可以使用回溯法。下面是用Python编写的代码，找出所有可能的组合，使得这些组合中的数字和为目标值target。defcombination_sum(candidates,target):defbacktrack(start,target,path):iftarget==0:result.append(path)returniftarget<0:returnforiinrange(start,len(candidates)):#选择当前数字并继续搜索backtrack(i,target-candidates[i],path+[candidates[i]])result=[]candidates.sort()#排序可以加速一些剪枝操作backtrack(0,target,[])returnresult#示例candidates=[2,3,6,7]target=7print(combination_sum(candidates,target))讲解：这个代码的核心部分是backtrack函数，它通过递归的方式来构建所有可能的组合：1. remain是剩余需要达到的目标数。2. path是当前构建的组合。3. start是当前选择的候选数组的起始位置，以避免重复选择。在每一次递归中：• 如果remain为0，表示当前组合满足要求，将其加入结果列表。• 如果remain小于0，表示当前组合超出目标数，停止递归。• 否则，继续尝试选择当前及之后的候选数，继续构建组合。11.分割回文串:给定一个字符串s，将s分割成一些子串，使每个子串都是回文串。返回s所有可能的分割方案。解答：defpartition(s):result=[]defis_palindrome(sub):returnsub==sub[::-1]defbacktrack(start,path):ifstart==len(s):result.append(list(path))returnforendinrange(start+1,len(s)+1):substring=s[start:end]ifis_palindrome(substring):path.append(substring)backtrack(end,path)path.pop()backtrack(0,[])returnresult#示例s="aab"print(partition(s))讲解：partition函数：这是主函数，它接受一个字符串s，并返回所有可能的分割方案。is_palindrome函数：这是一个辅助函数，用来检查一个字符串是否是回文。一个字符串如果等于其反转字符串，那么它就是回文。backtrack函数：这是回溯函数，它通过递归的方式来构建所有可能的分割方案。start表示当前子串的起始位置。path是当前构建的分割方案。在每一次递归中：如果start达到字符串的长度，表示当前分割方案已经构建完成，将其加入结果列表。否则，尝试从start开始到字符串结尾的每一个位置，将当前子串加入路径，并继续递归处理剩余部分。主函数调用backtrack，从字符串的起始位置开始构建分割方案。12．小括号生成：给定一个数字n，生成所有可能的并且有效的括号组合。例如，给定n=3，一个可能的解集是["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]。解答：这个问题可以通过回溯算法来解决。我们需要生成所有可能的括号组合并检查其有效性。回溯算法可以有效地构建所有可能的组合，并通过递归的方式确保生成的括号组合是有效的。以下是用Python实现求解这个问题的代码：defgenerate_parenthesis(n):result=[]defbacktrack(current,open_count,close_count):iflen(current)==2*n:result.append(current)returnifopen_count<n:backtrack(current+'(',open_count+1,close_count)ifclose_count<open_count:backtrack(current+')',open_count,close_count+1)backtrack('',0,0)returnresult#示例n=3print(generate_parenthesis(n))讲解：generate_parenthesis函数：这是主函数，它接受一个整数n，返回所有可能的并且有效的括号组合。backtrack函数：这是回溯函数，通过递归构建所有可能的括号组合。current表示当前构建的括号组合字符串。open_count表示当前使用的左括号数量。close_count表示当前使用的右括号数量。在每一次递归中：如果current的长度达到2*n，表示当前组合完成，将其加入结果列表。如果open_count小于n，可以继续添加左括号。如果close_count小于open_count，可以继续添加右括号。让我们运行这个代码，并输出结果。代码运行结果如下：对于n=3，所有可能的并且有效的括号组合是：['((()))','(()())','(())()','()(())','()()()']13.最近憨憨喜欢上了散步。憨憨住在南二区，他发现南二区有n个景点（从1到n进行编号）很值得观赏。憨憨不想错过每个景点，但又不想在一次散步过程中经过任意一个景点超过一次。憨憨的散步方案要求是从住所（设编号为0）出发，经过每个景点有且仅有一次，最后回到住所。当给定n个点的无权无向相连信息，满足要求的方案总数是多少吗？解答：这个问题实际上是一个经典的旅行商问题的变种，具体来说是一个哈密顿回路问题。哈密顿回路问题是一个NP完全问题，通常在大规模情况下，计算会非常复杂。我们可以使用回溯算法来解决这个问题，通过递归构建所有可能的路径并检查是否每个景点恰好经过一次并回到起点。defcount_hamiltonian_cycles(n,edges):fromcollectionsimportdefaultdict#创建邻接表graph=defaultdict(list)foru,vinedges:graph[u].append(v)graph[v].append(u)defbacktrack(current,visited,count):#如果访问的节点数等于总节点数，并且当前节点有一条边指向起点iflen(visited)==n+1and0ingraph[current]:returncount+1forneighboringraph[current]:ifneighbornotinvisited:visited.add(neighbor)count=backtrack(neighbor,visited,count)visited.remove(neighbor)returncount#初始从0号点出发visited=set([0])count=0returnbacktrack(0,visited,count)#示例n=3edges=[(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)]result=count_hamiltonian_cycles(n,edges)result讲解：邻接表：使用defaultdict创建邻接表以存储无向图的边。回溯函数backtrack：current表示当前节点。visited是一个集合，保存已经访问的节点。count记录满足条件的回路数量。如果访问的节点数等于总节点数n+1（包括起点），并且当前节点有一条边指向起点（0），则找到一个有效回路，count加1。否则，继续尝试访问当前节点的未访问邻居节点，递归地进行回溯搜索。第五章分支限界法1.分支限界法通常用于解决哪类问题？（）A.只有一个解的问题B.需要找到所有可能解的问题C.寻找最优解的问题D.解决递归问题解答：C.寻找最优解的问题讲解：只有一个解的问题（A）：分支限界法不是专门用来解决只有一个解的问题。它的目标是找到最优解，而不是单纯地找到一个可行解。需要找到所有可能解的问题（B）：分支限界法不是用来寻找所有可能解的，而是用来在所有可能解中找到最优解。回溯法更适合用于找到所有可能解的问题。寻找最优解的问题（C）：这是正确的。分支限界法是一种用于解决优化问题的算法，通过分支来生成解的候选，并使用界限来排除不可能的解，从而有效地找到最优解。解决递归问题（D）：虽然分支限界法可以通过递归来实现，但它的主要目的是寻找最优解，而不是专门用于解决递归问题。2.关于回溯法和分支限界法的区别，下面哪项描述是正确的？（）A.回溯法适用于解决组合问题，而分支限界法适用于解决优化问题B.回溯法使用广度优先搜索，分支限界法使用深度优先搜索C.两者没有本质区别，只是应用场景不同D.分支限界法通常不考虑约束条件，而回溯法则会解答：A.回溯法适用于解决组合问题，而分支限界法适用于解决优化问题讲解：回溯法适用于解决组合问题，而分支限界法适用于解决优化问题（A）：这是正确的。回溯法通常用于寻找所有可能的解，特别是在组合问题和排列问题中。而分支限界法主要用于优化问题，通过分支和界限来有效地找到最优解。回溯法使用广度优先搜索，分支限界法使用深度优先搜索（B）：这是不正确的。回溯法通常使用深度优先搜索（DFS），而分支限界法可以使用广度优先搜索（BFS）或深度优先搜索（DFS），具体取决于问题和实现方式。两者没有本质区别，只是应用场景不同（C）：这是不正确的。两者有本质区别。回溯法是通过全面搜索所有可能的解来解决问题，而分支限界法通过分支和界限来优化搜索过程，寻找最优解。分支限界法通常不考虑约束条件，而回溯法则会（D）：这是不正确的。分支限界法和回溯法都考虑约束条件。分支限界法通过界限来排除不满足约束条件的解，回溯法通过在搜索过程中进行剪枝来处理约束条件。3.分支限界法在求解问题时的主要特点是什么？（）A.总是遵循深度优先搜索策略B.主要用于解决组合问题C.侧重于减少搜索空间以找到最优解。D.通常用于处理具有多个解的问题解答：C.侧重于减少搜索空间以找到最优解。讲解：总是遵循深度优先搜索策略（A）：分支限界法不一定总是使用深度优先搜索策略，它可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS），具体取决于问题的性质和实现方式。主要用于解决组合问题（B）：分支限界法主要用于解决优化问题，而不是简单的组合问题。回溯法更常用于解决组合问题。侧重于减少搜索空间以找到最优解（C）：这是正确的。分支限界法的主要特点是通过分支和界限来有效地减少搜索空间，从而找到问题的最优解。它通过排除不可能的解来优化搜索过程。通常用于处理具有多个解的问题（D）：虽然分支限界法可以处理具有多个解的问题，但它的主要目标是找到最优解，而不是简单地处理多个解。4.FIFO是（）的一种搜索方式。A.分支限界B.动态规划C.贪心算法D.回溯法解答：A.分支限界讲解：分支限界（A）：FIFO（First-In-First-Out）是一种搜索方式，常用于分支限界法中的广度优先搜索（BFS）。在这种方法中，节点按照进入的顺序进行处理，以确保搜索是逐层进行的。这种方式有助于有效地剪枝和找到最优解。动态规划（B）：动态规划主要通过将问题分解为子问题并保存子问题的解来避免重复计算，并不涉及FIFO这种搜索策略。贪心算法（C）：贪心算法在每一步选择中都做出当前最优的选择，它通常不使用FIFO这种策略，而是基于当前局部信息做出选择。回溯法（D）：回溯法通常使用深度优先搜索（DFS）策略，通过递归或栈来实现，而不是使用FIFO策略。5.在分支限界法中，通常采用哪种搜索策略来找到最优解？（）A.仅深度优先搜索。B.仅广度优先搜索。C.根据问题特性选择深度优先或广度优先搜索。D.随机搜索。解答：C.根据问题特性选择深度优先或广度优先搜索。讲解：仅深度优先搜索（A）：虽然深度优先搜索（DFS）在某些情况下可能是有效的，但它并不是分支限界法唯一使用的搜索策略。仅广度优先搜索（B）：广度优先搜索（BFS）在某些情况下也可能是有效的，但同样，它并不是分支限界法唯一使用的搜索策略。根据问题特性选择深度优先或广度优先搜索（C）：这是正确的。分支限界法可以根据具体问题的特性选择适合的搜索策略，既可以使用深度优先搜索，也可以使用广度优先搜索，甚至可以结合两者。选择哪种搜索策略取决于问题的性质和如何能够更高效地找到最优解。随机搜索（D）：随机搜索不是分支限界法的策略。分支限界法是一个系统性的搜索算法，旨在通过有效的分支和剪枝来找到最优解，而不是随机搜索。6.优先级队列式分支限界法选取扩展结点的原则是（）。A.先进先出B.后进先出C.随机D.结点优先级解答：D.结点优先级讲解：先进先出（A）：这是广度优先搜索（BFS）使用的原则，不适用于优先级队列式分支限界法。后进先出（B）：这是深度优先搜索（DFS）使用的原则，不适用于优先级队列式分支限界法。随机（C）：随机选择结点不符合优先级队列式分支限界法的原则。结点优先级（D）：这是正确的。优先级队列式分支限界法使用结点的优先级来决定扩展哪个结点。优先级通常基于结点的估值函数或界限函数，以确保优先扩展可能最优解的结点。7.作业调度问题：给定一组作业，其中每个作业都有一个截止日期和利润。只有一个工作人员，工作人员只能在任何给定的时间工作一个作业。如果工作完成，会得到利润，否则不会得到任何利润。目标是最大化利润。解答：分支限界法是一种用于解决组合优化问题的算法，通过系统地搜索和剪枝来减少不必要的计算。对于作业调度问题，可以使用分支限界法来找到最大化利润的作业安排。以下是使用分支限界法解决作业调度问题的Python实现代码：fromheapqimportheappop,heappushclassJob:def__init__(self,job_id,deadline,profit):self.job_id=job_idself.deadline=deadlinefit=profitclassNode:def__init__(self,level,profit,bound,deadline_slot):self.level=levelfit=profitself.bound=boundself.deadline_slot=deadline_slotdef__lt__(self,other):returnself.bound>other.bound#Max-Heapbasedonbounddefcalculate_bound(node,n,jobs):ifnode.level>=n:return0profit_bound=fitj=node.level+1total_deadline=len(node.deadline_slot)whilej<nandnode.deadline_slot[jobs[j].deadline-1]isNone:profit_bound+=jobs[j].profitj+=1returnprofit_bounddefjob_scheduling_branch_bound(jobs):jobs.sort(key=lambdax:fit,reverse=True)n=len(jobs)max_deadline=max(job.deadlineforjobinjobs)priority_queue=[]root=Node(-1,0,0,[None]*max_deadline)root.bound=calculate_bound(root,n,jobs)heappush(priority_queue,root)max_profit=0best_schedule=[]whilepriority_queue:node=heappop(priority_queue)ifnode.bound>max_profit:next_level=node.level+1ifnext_level<n:#Includethenextjobnew_schedule=node.deadline_slot[:]profit_with_job=fitforslotinrange(min(jobs[next_level].deadline,max_deadline)-1,-1,-1):ifnew_schedule[slot]isNone:new_schedule[slot]=jobs[next_level]profit_with_job+=jobs[next_level].profitbreakifprofit_with_job>max_profit:max_profit=profit_with_jobbest_schedule=new_scheduleinclude_job_node=Node(next_level,profit_with_job,0,new_schedule)include_job_node.bound=calculate_bound(include_job_node,n,jobs)ifinclude_job_node.bound>max_profit:heappush(priority_queue,include_job_node)#Excludethenextjobexclude_job_node=Node(next_level,fit,0,node.deadline_slot)exclude_job_node.bound=calculate_bound(exclude_job_node,n,jobs)ifexclude_job_node.bound>max_profit:heappush(priority_queue,exclude_job_node)returnmax_profit,[job.job_idifjobelseNoneforjobinbest_schedule]#示例jobs=[Job(1,4,20),Job(2,1,10),Job(3,2,40),Job(4,1,30)]max_profit,scheduled_jobs_ids=job_scheduling_branch_bound(jobs)max_profit,scheduled_jobs_ids结果：最大利润为：90安排的作业为[4,3,None,1]，表示：第一个时间槽安排了Job4（利润30）。第二个时间槽安排了Job3（利润40）。第三个时间槽为空。第四个时间槽安排了Job1（利润20）。讲解：Job类：用于表示每个作业，包括作业ID、截止日期和利润。Node类：用于表示分支限界法中的节点，包括层次、当前利润、上界和截止日期槽。__lt__方法用于在优先队列中比较节点，基于上界（bound）进行最大堆排序。calculate_bound函数：计算节点的上界（bound），用于评估节点的潜在利润。计算当前节点的潜在利润上界，通过累加可以在剩余时间槽中安排的作业利润。job_scheduling_branch_bound函数：实现分支限界法解决作业调度问题。按利润降序排序作业。初始化优先队列并将根节点（初始状态）加入队列。使用优先队列进行广度优先搜索，依次处理每个节点。对于每个节点，尝试包括或排除下一个作业，并计算新的节点状态和上界。如果新的节点上界大于当前最大利润，将其加入优先队列。更新最大利润和最佳安排。第六章动态规划1.B2.D3.A4.最优子结构；无后效性；重叠子问题。5. 略6. 多加入一重for循环，遍历所有可能的转移位置（i-1至i-R）。代码如下：#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;#definelllonglongconstintN=2e5+10;lldp[N],d[N];lln,k;intmain(){ cin>>n>>k;//n个台阶，一次最高k步 for(inti=1;i<=n;i++)cin>>d[i]; dp[0]=0; for(inti=2;i<=n;i++){ dp[i]=1e18;//初始默认无穷大 for(intj=1;j<=k&&j<=i;j++){ dp[i]=min(dp[i],dp[i-j]+abs(d[i]-d[i-j])); //第i个台阶的前k个台阶到第i个台阶的消耗是不是更少，取开销小的 } } cout<<dp[n]; return0;}7.可以。8.修改为相等的时候也可以进行转移。借助二分查找可以实现。9.用dp[i]记录物品总价值为i的最小重量即可。参考代码如下：#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;#definelllonglongconstintN=2e5+10;typedefpair<int,int>pii;intn,sum;llw[N],v[N];lldp[N];/*这个你观察就发现其实最大的价值没超过1e5那么你可以改变你的dp方程来求解设dp[i]表示获得价值i的最小物品体积即可洛谷Knapsack2*/intmain(){scanf("%d%d",&n,&sum);for(inti=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);}memset(dp,0x3f,sizeof(dp));dp[0]=0;for(inti=1;i<=n;i++){for(intj=1e5;j>=v[i];j--){dp[j]=min(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);}}for(inti=1e5;i>=0;i--){if(dp[i]<=sum){printf("%d\n",i);break;}}return0;}10. （1）遍历添加的数字时，不超过P即可。（2）先求出n以内所有的质数，转移时，只用这些质数进行转移。11. 可以。复杂度不变。12. 复杂度不变。参考代码如下:#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#inclu