高考数学一轮复习训练-双曲线

双曲线

考纲要求

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、

离心率、渐近线).

知识梳理

I.双曲线的定义

平面内与两个定点Fi,6(|QB|=2c>0)的距离差的绝对值等于常数(小于国Bl且大于零)的

点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:

集合P={MIIMFi|-|MBII=2a},|尸周=2c,其中mc为常数且a>0,cX).

(1)若心，则集合P为双曲线；

(2)若〃=c,则集合=为两条射线;

(3)若任，则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

V2f

孑一L

标准方程

(。>0,b>0)(a>0,6>0)

图形

范围定。或烂一小y£Rx£R,底一。或aa

对称性对称轴：坐标轴;对称中心：原直

性顶点4(一〃,0),A2(a,0)4(0,-a),4(0,a)

质尸等x

渐近线y=4

c

离心率e=~,e£(l,4-oo)

线段442叫做双曲线的实轴，它的长度|AM2|=2a；线段囱&叫做双曲线

实虚轴的虚轴，它的长度囚&|=2也。叫做双曲线的实半釉长,6叫做双曲线的

虚半轴长

a,b,C的关系c2=fl2+Z?2

常用结论与微点提醒

1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为次.

2.离心率与呼声

3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于也.

4.若渐近线方程为丁=备，则双曲线方程可设为'一£=〃拄0).

5.双曲线的焦点到渐近线的距离为/九

6.若P是双曲线右支上一点，22分别为双曲线的左、右焦点，贝”PF||min=c+。，1PBimin

7.焦点三角形的面积：尸为双曲线上的点，尸I,尸2为双曲线的两个焦点，且/尸/尸2=仇

方2

则AQP尸2的面积为―3

tan2

诊断自测

，思考辨析

I.判断下列结论正误(在括号内打或“X”)

(1)平面内到点Fi(0,4),B(0，—4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()

(2)平面内到点产i(0,4),F2(0,一4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()

(3)方程记一亍=1(〃心0)表示焦点在x轴上的双曲线.()

92.

(4)双曲线声一方="阳>0,/?>0,40)的渐近线方程是套［=0.()

(5)若双曲线不一方=1(公>0,比>0)与京一u=l(a>0,b>0)的离心率分别是约，及，则温+浴=

1.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)4(5)4

解析(1)因为IIMBI—|闻尸2||=8=「|乃|,表示的轨迹为两条射线.

(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.

(3)当机＞0,〃:＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而机＜0,〃V0时则表示焦点在y轴上的

双曲线.

〉教材衍化

2.经过点4(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为

答案,―/=1

解析设双曲线方程为；I2y2=WO),把点A(3,1)代入，得2=8,故所求双曲线方程

3.已知双曲线x2一=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点

的距离等于.

答案6

解析设双曲线的焦点为尸2,I尸尸11=4,则IIPRI-I尸B||=2,故|PF,=6或2,又双曲线

上的点到同侧焦点的距离的最小值为c—而一1,故|PBI=6.

＞考题体验

4.(2020•全国I卷)设居，尸2是双曲线C：/一，=1的两个焦点，。为坐标原点，点尸在C

上且|OP1=2,则尸2的面积为()

75

A.gB.3C.2D.2

答案B

解析法一由题知a=l,b=&c=2,Fi(-2,0),尸2(2,0),

如图，因为|OQ|=|OF2|=QP|=2,所以点P在以尸।尸2为直径的圆上，故PQ_LPr2,则|PQ/

+|PBF=(2C)2=16.

解析由题意，得竽=平，所以。=2,所以C=，K=3,所以该双曲线的离心率e=?=

3

-

2

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一双曲线的标准方程自主演练

I.已知双曲线C：，一5=1（。>0，历>0）的渐近线方程为尸域，且其右焦点为（5,0）,则双

曲线C的标准方程为（）

，，92

人£一二一1R工_£一1

A.9|6-1169-1

>>2，2

Q工一二=]D工一工=J

41431

答案B

2

解析由题意得?h=今3，=/+从=25,所以。=4,b=3,所以所求双曲线的标准方程为言r

-f,

9=-L

2.与椭圆9+产=1共焦点且过点P（2』）的双曲线标准方程是（）

答案B

解析法一椭圆，+）?=1的焦点坐标是（士小，0）.

22

设双曲线标准方程为a一方=1（*0,8>0）,

因为双曲线过点尸（2,1）,

41

所以丞一/=1,又。2+后=3,

解得层=2,从=[,所以所求双曲线的标准方程是上一方=1.

22

法二设所求双曲线标准方程为x卢+4v=1（1<2<4）,

4—X1—X

41

将点尸（2,1）的坐标代入可得“工工=1,

解得2=2（2=-2舍去），

所以所求双曲线标准方程为与一方=1.

3.经过点P（3,2巾），。（一6「，7）的双曲线的标准方程为

答案^~75=l

2

解析设双曲线方程为蛆+〃1y1（〃皿<0）,

因为所求双曲线经过点P（3,2市），0（-672,7）,

机=一污'

所以1[792m机+2+84〃9〃=l=,1,

解得

251

故所求双曲线标准方程为,一去=1.

4.焦点在x轴上，焦距为10,且与双曲线?一f=l有相同渐近线的双曲线的标准方程是

答案9亲1

解析设所求双曲线的标准方程为£—r=一如>0）,即A芸=1，则有4/1+4=25,解得2

=5,所以所求双曲线的标准方程为1一崇1.

感悟升华1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方

程，再由条件确定〃的值，即，，先定型，再定量”，如果焦点的位理不好确定，可将双曲

线的方程设为5—，=4%#））或加21（机〃>0）,再根据条件求解.

2.与双曲线,一#=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为'一#=2(舁0).

考点二双曲线的定义及应用师生共研

【例1】(1)(2021・合肥质检八/f+y-32—4『+7+32=4表示的曲线方程为()

A.]_q=l(把一2)B.^=l(x>2)

C.^-J=l(j<-2)D.U=l°之2)

(2)已知Q,尸2为双曲线C：/一)2=2的左、右焦点，点P在C上，NRPB=60。，则4FxPFz

的面积为.

(3)已知/是双曲线3一言=1的左焦点，4(1,4),P是双曲线右支上的一动点，则|PF1+|B4|

的最小值为.

答案(1)C(2)2小(3)9

解析(1八/〉+)'-32的几何意义为点M(x,)，)到点R(0,3)的距离，寸d+)，+32的几何意义为

点M(x,y)到点尸2(0,—3)的距离，则A/X2+y—3?—Y*+y+32=4表示点M(x,y)到点Fi(0,3)

的距离与到点尸2(0,-3)的距离的差为4,且所以点例的轨迹是以H,B为焦点

的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长。=2,半焦距c=3,所以从=^一层=5,则

+y-3?一、野+5+32=4表示的曲线方程为故选

4-5=10<-2),C.

(2)不妨设点P在双曲线的右支上，

则|尸外|一「尸2|=2。=2、/5,

在△向PF2中，由余弦定理，得

/…IPFIF+IPBF—IBB?1

COSZF|PF2-2|PFI|-|PF2|~T

・・・|P剧,|PB|=8,

・・・SA-"="胤田园・sin60。=2祗

(3)因为尸是双曲线三一冬=1的左焦点，所以广(一4,0),设其右焦点为"(4,0),则由双曲线

的定义可得IPFI+I网=2。+|尸〃]+解生2。+凶”1=4+甲=1由F=4+5=9(当A,尸，H

三点共线时取等号).

感悟升华1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出

曲线方程；

2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||尸加一|「乃||=2〃，运用平方

的方法，建立与IPFM尸BI的联系.

【训练1】(1)(2020•全国HI卷)设双曲线C：=13>0,历>0)的左、右焦点分别为

离心率为小.P是。上一点，且QP_LF2P.若△。尸1巳的面积为4,则。=()

A.1B.2C.4D.8

2

⑵已知圆G：。+3)2+尸=1和圆C2：(x-3)+r=9,动圆M同时与圆G及圆。2相外切,

则动圆圆心M的轨迹方程为.

答案(1)A(2)f—七=1(烂一1)

解析⑴法一设呐=机，鹤=〃，P为双曲线右支上一点，则S"/g='〃=4,用一〃

=2a,W2+M2=4C2,又e=^=邓,所以4=1.

从

法二由题意得，SAPF\FI=tan45^=,得加=4,

又3=5,6^=/>2+«2,所以a=L

(2)如图所示，设动圆M与圆Ci及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件,

|MQ—18c2|=|MB|,

因为=

所以|MG|-|ACI=|MC21TBe2I，

即IMC2I—IMGI=IBC,—|AGI=2,

所以点/到两定点G,C2的距座的差是常数且小于|GC2|=6.

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与G的距离

小），

其中a=l,c=3,则从=8.

故点M的轨迹方程为f-十=1（蟀一1）.

考点三双曲线的性质多维探究

角度1求双曲线的渐近线

【例2】（2019•江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线^一£=1（方>0）经过点（3,4）,

则该双曲线的渐近线方程是.

答案y=4缶

解析因为双曲线f—5=130）经过点（3,4）,所以9一矍=心0）,解得Q也即双曲线

方程为/一芸=1,其渐近线方程为产m.

感悟升华双曲线，一〃>0）的渐近线是由，一$=0,即得两渐近线方程也号=0.

角度2求双曲线的离心率

[例3]（1）（2021・重庆调研）已知双曲线'一$=1（4>0,比>0）的顶点到渐近线的距离为今

则该双曲线的离心率为（）

A.2小B.2C.楙D.

92

(2)(2020•全国I卷)已知尸为双曲线C：^-^=1(«>0,6>0)的右焦点，A为。的右顶点，B

为。上的点，且8尸垂直于x轴.若A8的斜率为3,则。的离心率为

答案(1)D(2)2

解析⑴由题意，知点(40)到直线bx—ay=0的距离为令所以微=7^^钟仁所以

(2)点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为(c,£),点4的坐标为(40),

此

•・•.的斜率为3,♦.・言=3,

：.e=2

感悟升华求双曲线离心率或其取值范围的方法

,/+护L2

(1)求a,b,C的值，由系=—^—=1+宗直接求e.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于人2=/一片消去从然后转化成关于e

的方程(或不等式)求解.

£

(1)(2021•北京东城区综合练习)双曲线C：x2-

【训练2]b2=l(b>0)的渐近线与直线x=\

交于A,6两点，且依切=4,那么双曲线C的离心率为()

A.^2B.小C.2D.小

(2)已知双曲线C：，一苴=13>0,b>0)的左、右焦点分别为Q,B，一条渐近线为/,过点

尸2且与/平行的直线交双曲线C于点M,若|“川=2附尸2|，则双曲线C的离心率为()

A.A/2B.小C.小D.^6

答案(1)D(2)C

解析(1)由题意，知双曲线C的实半轴长4=1,双曲线C的渐近线方程为、=备=±以,

把x=l代入y=垃r,得丁=功，所以|A8|=2b=4,解得匕=2,所以c=7足+b2=小,所

以离心率6=彳=小，故选D.

（2）法一不妨设渐近线/的方程为丁=坛，则点M在第四象限，由双曲线的定义知网为|一

|MF2|=2«,又|MFI|=2|MF¥，所以|MR|=4a,|MFz|=2&设过点尸2且与/平行的直线的倾斜

角为a,则tana=g,所以cos

所以cosNRF2M=2.在△FiF2M中,由余弦

生烟.jmIF典2+IMBF一尸/22c2+2a2-4a2_r-

定理cos/尸1F2M—2|Fi尸2HM尸>1，仔c>—2-2c-2a,上三年，一5〃2，即mc—巾

a,所以6=^=小.

法二不妨设渐近线/的方程为尸，则由叱2〃/知，直线MB的斜率为'方程为产与

M+c2

（X-C）,代入双曲线方程得点M的横坐标坳=一.由双曲线的定义知附尸1|一附「2|=%，

又|MQ|=2|MB|,所以|MH|=4a,网尸2|=%.

设过点尸2且与/平行的直线的倾斜角为。，则tana='所以

cPA-c2

c-—z-;-

所以cosa=---五---=»整理得/=5编即仁=小小所以e=W=-6

考点四双曲线几何性质的综合应用师生共研

【例4】⑴已知M（xo，泡是双曲线C：弓一）2=1上的一点，尸”尸2是C的两个焦点，若

京尢・砾〈0,则泗的取值范围是（）

用B（邛，甯

C（一唯啜D.（答,哨

（2）（2019•全国II卷）设尸为双曲线C：「一£=1（。＞0,力X））的右焦点，。为坐标原点，以O尸

为直径的圆与圆/+产=/交于p,Q两点.若|PQ|=|OQ,则。的离心率为（）

A.^2B.小C.2D.由

r2v2

（3）（2021•淮南一模）已知双曲线彳一力=1（历＞0）的左、右焦点分别为R,尸2,过点尸2的直线交

双曲线右支于4,8两点，若是等腰三角形，且N4=120。，则△A8Q的周长为（）

A.号瓦~8B.45-1）

C.羊+8D.2（＞/3-2）

答案（1）A（2）A（3）A

解析（1）因为R（—巾，0）,B（小，0）,矍一4=1,所以而「硫=（一小一冲，一加）•（小一

的，一”）=焉+）专一3＜0,即3）^—1＜0,解得一坐＜刈＜^.

（2）设双曲线C：，一方=1（。＞0,人＞0）的右焦点F的坐标为（c,0）.则c=7足+b?,如图所示，

由圆的对称性及条件|PQ|=|OF1可知，PQ是以。尸为直径的圆的直径，且PQ_LOE设垂足为

M,连接OP,则|0尸|=a,|OM|=|MP|奇在RlAOPM中，lOMp+IM/kio砰得（9+

修）2=。2，故。=巾,即6=也.

97

（3）由双曲线，一，=1（比＞0）,可得。=2,

如图所示，设|A尸2|=加，

\BF^=n.

可得|AFi|=4+，〃，

|»FI|=4+M.

|AFI|=|AB|,

.*.4+w=w+z?,解得〃=4.

作垂足为。，则。为发段BQ的中点，ZF,AD=60°,

••・|所|=坐4+巾），

.,•孚（4+/n）x2=4+〃，

即4（4+6）=4+〃.

又〃=4,代入解得〃?=孚一4.

.,.△ABFi的周长=4+帆+机+〃+4+〃=8+2（巾+〃）=8+粤'故选A.

感悟升华1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、

渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.

2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路

（1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.

（2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.

,2

【训练3】（1）（2020•全国n卷）设O为坐标原点，直线4=。与双曲线C：5=1（。＞0,

比＞0）的两条渐近线分别交于。，E两点.若AODE的面积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

o2

（2）已知点（1,2）是双曲线，一卓=1（心0,比＞0）上一点，则双曲线离心率的取值范围是（）

A.（1,邓）B.（1,明

C.（小，+oo）D.（坐,H-oo'j

答案(1)B(2)C

解析(1)不妨设。位于第一象限，双曲线的渐近线方程为丁=备，分别与x=a联立，可得

D(a,b)tE(m-b),

则|£>E|=2b.

:40DE=^xa^\DE\=px2Z?=ab=S,

：.ci=a2-^-b2>2ab=\6.

当且仅当《=b=2啦时，等号成立.

・・・»的最小值为16,・・・c的最小值为4,

AC的焦距的最小值为2x4=8.

d«I4*力2

⑵已知点(1⑵是双曲线于一百=l(a>0,6>0)上一点，得萨一铲=1,即萨=从+4,

所以e=2=1/1+4=、护+5>\后,所以。\行.

、课后巩固作业,分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.(2019・北京卷)已知双曲线示一)2=l(a>0)的离心率是小，则〃=()

A.A/6B.4C.2D.1

答案D

解析由双曲线方程，一)2=1,得〃=],.・./=/+]

•一，dM+l1

・・5=e=招=丁=1+丞.

结合£7>0,解得6(=2-

2.若双曲线接一5=13>0,">0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心

率为(

A.于B.5C.^2D.2

答案A

解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为、号=0,即

bx±ay=0,

\bc\

・・・2。==6.又/+/=c2,，5。2=/.

/='=5,，6=於

3.以椭圆，+]=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()

29

A.M—?=1B.y—y2=1

C.X2—'^=1D.]—q=]

答案A

解析设要求的双曲线方程为，一务=1(。＞0,比＞0),由椭圆3+^=1,得椭圆焦点为(土1,0),

在x轴上的顶点为(±2,0).所以双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).所以。=1,c=2,所

2

以护=/一/=3,所以双曲线的标准方程为/一1=1.故选A.

4.已知B，巳为双曲线C：f-V=2的左、右焦点，点尸在C上尸外|=2仍以，则8s/F\PF?

=()

A-4B-5C-4D-5

答案C

解析由』一产=2,知a=b=币,c=2.由双曲线定义知，|PQ|一|PF2l=2a=26，又|PQ|

=2|PF2|,

・・・|P尸I|=4限,|P尸d=2啦,

在△PBB中，|QBI=2c=4,由余弦定理，得

“IPF『+|P&|2一3

cos-

NF1PF2—2\PFi\-\PF2\4-

5.(2020・浙江卷)已知点0(0,0),4(一2,0),8(2,0).设点尸满足照|一匹用=2,且尸为函数y

=3N4一一图象上的点,则|0?1=()

A.孽B.呼C.巾D.V10

答案D

解析由题意，知点P的轨迹是以2为实轴长，4为焦距的双曲线的一支，

对应的方程为f^IgO).①

函数y=344—f可转化为

f+号=4。川).②

联立①②，解得工=挈，)=柏，

即娉,蜗,如图.

(0,6)的直线为/.若C的一条渐近线与/平行，另一条渐近线与/垂直，则双曲线C的方程

为()

A-f-f=1B.『一?=]

答案D

解析由题意知抛物线的焦点为尸（10）,直蝮/的斜率

ki=*~7=—^=—^,解得a=l.

U—1a

又・・3（一与=一1,：.b=a=\,

・•・双曲线。的方程为/一）?=1.故选D.

二、填空题

7.已知〃＞加＞0,椭圆G的方程为E+1=1，双曲线C2的方程瑜一方=1,G与C2的离

心率之积为坐，则C2的渐近线方程为.

答案x±\{2y=0

解析椭圆G的离心率为巡京，双曲线C2的离心率为“手，所以卑1%尹=

坐，即/=4/,所以〃=让〃，所以双曲线C2的渐近线方程是丁=4/，即启柩，=0.

8.（2020•北京西城区模拟）能说明“若旭（〃+2）和，则方程'+系=1表示的曲线为椭圆或

双曲线”是错误的一组m,〃的值是.

答案当加=〃+2X）且％0,〃土一2时，方程表示的曲线为圆，取力=1,则机=3（答案不

唯一，满足要求即可）

9.（2021・太原调研）已知Q,尸2分别是双曲线C：J2—f=l的上、下焦点，P是其一条渐近

线上的一点，且以Q尸2为直径的圆经过点P，则尸2的面积为.

答案也

解析设尸（出，”），不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x—y=o上，因此可

得项一泗=0.凡（0,啦），尸2（0,一啦），所以方尸d=2啦，以吊尸2为直径的圆的方程为f+

沏一方=0,

9=2,又以长民为直径的圆经过点P,所以就+）*=2.由得|对=1,于是

.京+4=2

SA尸尸尸2=1尸匹卜网=%2mxl=0.

三、解答题

10.(2020•东北三省三校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点Fi，后在坐标轴上，离心率

为血，且过点P(4,-Vw).

⑴求双曲线的方程：

(2)若点M(3,m)在双曲线上，求证：济已流=0.

⑴解,・7=也，

，可设双曲线的方程为/一丁="¥0).

•・•双曲线过点(4,-Vlo),.,.16-10=2,即4=6.

・,•双曲线的方程为x2—)7=6,即,―3=1.

⑵证明法一由(1)可知，a=b=#,

，c=2小，"(一2小，0),尸2(2小，0),

22

kMFvkMF2=°〃\

9—123

•.•点M(3,血)在双曲线上，.*.9—.7Z2=6,m2=3,

故kMFvkMF2=~1,：・MFJMP〉，M却MA=0.

法二由(1)可知，a=b=#,.*.(?=2-73>

・才|(一2小,0),尸2(2小,0),

A7/"I=(—2,\/3—3,一〃?),47^2=(2小—3,—w),

・••诺•।旗=(3+2小)x(3-2小)+疗=-3+小，

1点M(3,6)在双曲线上，・・・9一稼=6,即加2—3=0,

・••办।•砥=0.

11.(2021•福州模拟)已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y=±<2A-,过点

(1)求双曲线C的标准方程.

(2)是否存在被点8(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线，的方程；如果不存在，请

说明理由.

解(1)双曲线c的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y=m,

设双曲线方程为『一曰=，理0),

过点“4，1),代入可得2=1,

所求双曲线方程为/一

(2)假设直线/存在.设8(1,1)是弦MN的中点，且“(司，ji),Ng”)，则制+及=2,yi

+”=2.

因为M,N在双曲线上，

2xj-yi=2

所以t