函数的图象知识归纳与题型总结

函数的图象知识归纳与题型总结

一、知识归纳

I.描点法作图

其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：

（1）①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的

性质（奇偶性、单调性、周期性）.

（2）列表（注意特殊点、零点、最大值点、最小值点以及坐标轴的

交点）.

（3）描点，连线.

2.图象变换

（1）平移变换

①水平平移：y=/（d〃）3＞0）的图象，可由y=/*）的图象向左（十）

或向右（一）平移。个单位而得到.

②竖直平移：y=/（x）坊（。＞0）的图象，可由＞=/*）的图象向上（+）

或向下（一）平移b个单位而得到.

（2）对称变换

①y=大一%）与y的图象关于y轴对称.

②/二一4犬）与y=/U）的图象关于龙轴对称.

③y=—A—x）与y=7（x）的图象关于原点对称.

由对称变换可利用y=/W的图象得到y=[/U）l与的图象.

①作出y=/U）的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称

轴翻折到上方，其余部分不变，得到y=|/U）l的图象；

②作出y="r）在y轴上及），轴右边的图象部分，并作y轴右边的

图象关于y轴对称的图象，即得y=AR）的图象.

（3）伸缩变换

①y=5»（a＞。）的图象，可将y=/（x）图象上每点的纵坐标伸（。＞

1时）或缩3＜1时）到原来的。倍，横坐标不变.

②/=大公）伍＞0）的图象，可将y=/U）的图象上每点的横坐标伸（。

VI时）或缩（。＞1时）到原来的倍，纵坐标不变.

（4）翻折变换

①作为y=/U）的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称

轴翻折到上方，其余部分不变，得到丁二双川的图象；

②作为y=/U）在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的

图象关于y轴对称的图象，即得y=大仅|）的图象.

解题提醒：

a.函数图象的每次变换都针对自变量“龙”而言，如从八一2冷的图

象到八-2x+l）的图象是向右平移:个单位，其中是把x变成X一；.

b.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y

轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数

的对称关系.如函数y=AW）的图象属于自身对称，而y=/U）与y=八一

x）的图象关于y轴对称是两个函数.

题型一作函数的图象

典例：分别画出下列函数的图象:

(l)y=|lgx\；

⑵产2/2；

(3)^=x2-2|x|~l.

lgx,介1,

解：⑴尸图象如图1.

-lgx,0<x<l.

(2)招"＞二?戈的图象向左平移2个单位.图象如图2.

x2—2x—1,x20,

⑶‘x2+2x~1,x<0.图象如图3.

通性通法：

画图的3种常用方法

当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的非本

初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出

含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号，转化

为分段函数来画图象

若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平

移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出，但要

注意变换顺序

题型二识图与辨图

典例：1.若对任意的xeR,产”一源均有意义,则函数y=

log«7的大致图象是()

y

~Zyo~

A

y

-io

c

解析:选B由题意得1一洒20,即加忘1=/恒成立，由于仅|20,

故0VoVl.)，=loga；=-logMI是偶函数，且在(0,+8)上是单调递

增函数，故选B.

2.如图，矩形ABCD的周长为8,设AB=——.o

x(l<x<3),线段"N的两端点在矩形的边上滑动，且Jlc

MN=1,当N沿A->O-C->3fA在矩形的边上滑动一周时，线段

MN的中点户所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函

数y=/U)的图象大致为()

yyy

o123"123%0123%0123*

ABCD

解析：选D法一：由题意可知点。的轨迹为4JSD

Ep7-<!Q

图中虚线所示，其中四个角均是半径为:的扇形.I'――一/

因为矩形A5CD的周长为8,AB=xf

,8-2x

则AD=—z—=4-A

JTJT

所以y=x（4一工）一^=一（%—2>+4—a（l<x<3）,

显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，

JT

且当x=2时，)，=4一］£(3,4),故选D.

JT

法二：在判断出点尸的轨迹后，发现当x=l时，>=3—^£(2,3),

故选D.

通性通法：

识图3种常用的方法

定性」通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的

分析法:上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析

4

定・

计算法—:通过定量的计算来分析

0

函数一;由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用

模型法（这一函数模型来分析

题型三函数图象的应用

函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质,

为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.

角度一：研究函数的性质

1.已知函数4x）=x|x|-2x,则下列结论正确的是（）

A.大幻是偶函数，递增区间是（0,+8）

B.«¥）是偶函数，递减区间是（一8,1）

C./U）是奇函数，递减区间是（一1,1）

D.7U）是奇函数，递增区间是（一8,0）

解析:选C将函数咒r）=x|x|—2x去掉绝对值得«x）/t,

x2—2x,x20,J

x2--2x,x<0,

画出函数«r）的图象，如图，观察图象可知，函数式x）的图象关

于原点对称，故函数«r）为奇函数，且在（一1,1）上单调递减.

角度二：求参数的值或取值范围

2.若不等式（x—l）2〈log5（。>0,且aWl）在x£（l,2）内恒成立,

则实数。的取值范围为（）

A.(1⑵

C.(1,的D.(啦，2)

解析：选A要使当x£(l,2)时，不等式。一IpVlogd恒成立,

只需函数y=(x-在(1,2)上的图象在y=log〃x的图象的下方即可.

y=(x-l)2

/^Jog/(a>D

当OVQVI时，显然不成立；当a>l时，如图，要使x£(l,2)

时，尸(L1)2的图象在y=\OgaX的图象的下方，只需(2—1)2W10ga2,

即log.221,解得1VQW2,故实数。的取值范围为(1,2].

角度三：求不等式的解集

A.{x|—Kx^O)

B.度|一1«1}

C.{x|-IVxWl}

D.{x|-l<x^2}

g(x)=log(x+D

解析：选C令g(x)=y=log2(x+1),z

作出函数g(x)图象如图.A/

-1

x+y=2,x=l,

J=log2(x+I),〔y=l.

・・.结合图象知不等式/U)21og2a+1)的解集为"|-1<rWl}.

通性通法：

函数图象应用的常见题型与求解策略

(1)研究函数性质：