【初中数学】专项01-有理数的简便计算-七大题型

有理数的简便计算-七大题型【知识点1归类法】运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.【题型1归类法】【例1】（普陀区校级期中）计算：8+（﹣114）﹣5﹣（−34【变式1-1】（徐汇区校级期中）计算：−22【变式1-2】（青浦区期中）计算：21【变式1-3】（和平区校级月考）计算：（1）−(−37（2）﹣556【知识点2凑整法】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消.【题型2凑整法】【例2】（普陀区期末）计算：3.43﹣225+6.57﹣5【变式2-1】（济南期末）计算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．【变式2-2】（上蔡县月考）计算：（1）225+217+（﹣5（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．【变式2-3】（石景山区校级期中）计算：（﹣12.7）﹣（﹣525）﹣87.3+33【知识点3逆向法】主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单.【题型3逆向法】【例3】（红谷滩区校级期中）用简便方法计算−2【变式3-1】（兰山区月考）25×34−25×【变式3-2】（红谷滩区校级期中）用简便方法计算：（1）（﹣9）×31829−（﹣8）×（﹣31829（2）997172【变式3-3】（红谷滩区校级期中）简便计算（﹣48）×0.125+48×【知识点4拆项法】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.【题型4拆项法】【例4】（安陆市期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”计算：﹣556解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3【变式4-1】（铁西区期末）计算：1.5﹣（﹣414）+3.75﹣（+81【变式4-2】（浦东新区期中）计算：51【变式4-3】（凉山州期末）：(−20212【知识点5组合法】找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目.【题型5组合法】【例5】（南开区期中）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝．【变式5-1】（襄汾县期中）计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016【变式5-2】（工业园区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值为（）A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101【变式5-3】（工业园区月考）计算：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99；（2）|1102−1101|+|【知识点6裂项相消法】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.【题型6裂项相消法】【例6】（嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算11×2解：原式=(1−根据阅读材料，请你完成下列问题：（1）计算：21×3（2）直接写出结果：13+115（3）计算：11×5【变式6-1】（遂宁期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：先观察下列等式：11×2=1−12将以上等式两边分别相加得：1然后用你发现的规律解答下列问题：（1）猜想并写出：1n(n−1)=1（2）直接写出下列各式的计算结果：①11×2+12×3②11×2+12×3（3）探究并计算：12×4【变式6-2】（虹口区期末）先阅读，再答题23=3−11×3=1−13根据你发现的规律，试写出（1）299（2）2n(n+2)=1计算：23【变式6-3】（高安市期中）阅读下面的文字，完成解答过程．（1）11×2=1−12，12×3=12−1（2）根据上述方法计算：11×3（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1n(n+k)=1k（1n−1n+k）【题型7倒数求值法】【例7】（城厢区校级月考）先阅读理解，再回答问题计算：(−1解：（方法一）原式＝(−1（方法二）原式的倒数为(＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10．故原式=−1请阅读上述材料，选择合适的方法计算：−1【变式7-1】（南开区期中）（−120）÷（【变式7-2】（宽城县期末）阅读下列材料：计算：124解法一：原式=1解法二：原式=1解法三：原式的倒数=(1所以原式=1（1）上述得到的结果不同，你认为解法是错误的；（2）计算：(12（3）请你选择合适的解法计算：(−1【变式7-3】（怀安县期末）先计算，再阅读材料，解决问题：（1）计算：（14（2）选择合适的方法计算：（−142）÷（

有理数的简便计算-七大题型（解析版）【题型1归类法】【例1】（普陀区校级期中）计算：8+（﹣114）﹣5﹣（−【分析】根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可．【解答】解：8+（﹣114）﹣5﹣（−＝（8﹣5）+[（﹣114）﹣（−＝3+（−1＝212【变式1-1】（徐汇区校级期中）计算：−22【分析】利用有理数的加减混合运算，进行计算即可．【解答】解：原式=(−2=−6+61=1=31【变式1-2】（青浦区期中）计算：21【分析】运用加法交换律和结合律计算．【解答】解：原式＝219+＝（219−129=8＝189【变式1-3】（和平区校级月考）计算：（1）−(−37（2）﹣556【分析】（1）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可；（2）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可．【解答】解：（1）−(−3＝3712−114−27＝（3712−2712）+（﹣114＝1﹣41=−25（2）﹣55＝（﹣556−923）+（173＝﹣1512+＝﹣114【题型2凑整法】【例2】（普陀区期末）计算：3.43﹣225+6.57﹣5【分析】先运用加法的交换结合律进行简便计算，再进行最后的减法运算．【解答】解：3.43﹣225+＝（3.43+6.57）﹣（225+5＝10﹣8＝2．【变式2-1】（济南期末）计算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．【分析】根据有理数加减法放入法则进行计算即可．【解答】解：原式＝（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）+2.5＝[（﹣3.2）+（﹣16.8）]+（12.5+2.5）＝﹣20+15＝﹣5．【变式2-2】（上蔡县月考）计算：（1）225+217+（﹣5（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；（2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可．【解答】解：（1）225+217+（﹣5＝225+217−＝（225+535）+（21＝8﹣3＝5；（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18＝3.75﹣5.18+2.25+5.18＝（3.75+2.25）+（5.18﹣5.18）＝6．【变式2-3】（石景山区校级期中）计算：（﹣12.7）﹣（﹣525）﹣87.3+33【分析】根据有理数的加减法法则进行计算即可得出结果．【解答】解：(−12.7)−(−5=−12.7+52＝（﹣12.7﹣87.3）+（525+3＝﹣100+9＝﹣91．【题型3逆向法】【例3】（红谷滩区校级期中）用简便方法计算−2【分析】先根据同号得正异号得负进行符号运算，然后逆运用乘法分配律，提取29【解答】解：−29×（﹣92）+（−29=29×92−29=29×（92﹣343=2=2＝18．【变式3-1】（兰山区月考）25×34−25×【分析】逆运用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：25×34−25×＝25×（34＝25×0＝0．【变式3-2】（红谷滩区校级期中）用简便方法计算：（1）（﹣9）×31829−（﹣8）×（﹣31829（2）997172【分析】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝31829＝31829＝﹣31829（2）原式＝（100−1＝100×（﹣36）−1＝﹣3600+＝﹣359912【变式3-3】（红谷滩区校级期中）简便计算（﹣48）×0.125+48×【分析】利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；【解答】解：（﹣48）×0.125+48×＝48×（−1＝0.【题型4拆项法】【例4】（安陆市期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”计算：﹣556解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−3【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−3＝﹣4+（−7＝﹣4710【变式4-1】（铁西区期末）计算：1.5﹣（﹣414）+3.75﹣（+81【分析】根据有理数的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝1+12+4+1＝﹣7+8＝1．【变式4-2】（浦东新区期中）计算：51【分析】可按法则从左往右算求出结果；亦可把带分数写成整数与分数和的形式，再利用加法的交换律和结合律，把整数与分数分别相加．【解答】解：原式＝5+13（5﹣2）+（13＝3+（412＝3+＝3512【变式4-3】（凉山州期末）：(−20212【分析】写成几个整数的和以及几个分数的和即可．【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（−27）]+[（﹣2022）+（−4＝（﹣2021﹣2022+4044）+（−2＝1+（﹣1）＝0．【题型5组合法】【例5】（南开区期中）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝﹣50．【分析】根据结合律，可得答案．【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）]﹣99=1+1+1+⋯+1＝49﹣99＝﹣50，故答案为：﹣50．【变式5-1】（襄汾县期中）计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016【分析】根据每四项运算结果可知，每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，正好为4的倍数，从而得出结论．【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016．【变式5-2】（工业园区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值为（）A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101【分析】原式两项两项合并正好得50个（﹣1），最后计算结果即可．【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（4﹣5）+⋯+（99﹣100）=−1−1−1⋯−1＝﹣50，故选：B．【变式5-3】（工业园区月考）计算：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99；（2）|1102−1101|+|【分析】（1）两个一组计算，再相加即可求解；（2）先计算绝对值，再抵消计算即可求解．【解答】解：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99＝（﹣2）+（﹣2）+…+（﹣2）＝﹣2×25＝﹣50；（2）|1102−1101|+|=1＝0．【题型6裂项相消法】【例6】（嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算11×2解：原式=(1−根据阅读材料，请你完成下列问题：（1）计算：21×3（2）直接写出结果：13+115（3）计算：11×5【分析】（1）将原式裂项，再两两抵消计算可得；（2）原式利用1(2n−1)(2n+1)=1（3）利用相同的方法裂项计算可得．【解答】解：（1）原式=(1−1（2）原式=12×[（1−13）+（13−=12×=5故答案为：511（3）原式=【变式6-1】（遂宁期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：先观察下列等式：11×2=1−12将以上等式两边分别相加得：1然后用你发现的规律解答下列问题：（1）猜想并写出：1n(n−1)=1（2）直接写出下列各式的计算结果：①11×2+12×3②11×2+12×3（3）探究并计算：12×4【分析】（1）观察上述式子，发现拆项规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简所求式子，计算即可得到结果；（3）根据得出的规律将原式变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：1n(n−1)（2）①原式＝1−12+②原式＝1−12+（3）原式=12×（12−14故答案为：（1）1n(n−1)=1n−1【变式6-2】（虹口区期末）先阅读，再答题23=3−11×3=1−13根据你发现的规律，试写出（1）299（2）2n(n+2)=1计算：23【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果；（2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果；（3）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果．【解答】解：（1）299（2）2n(n+2)23＝1−＝1−=14故答案为：19−1【变式6-3】（高安市期中）阅读下面的文字，完成解答过程．（1）11×2=1−12，12×3=12−1（2）根据上述方法计算：11×3（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1n(n+k)=1k（1n−1n+k）【分析】（1）根据题中给出的列子可直接得出结论；（2）分别计算出11×3，13×5，（3）根据（1）、（2）的结论找出规律，并进行计算即可．【解答】解：（1）∵11×2=1−12，∴12007×2008故答案为：12007（2）∵11×3=13=12（1−13∴1=12（1=12（1=1003故答案为：10032007（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1n(n+k)=111×4+14×7+故答案为：1k（1【题型7倒数求值法】【例7】（城厢区校级月考）先阅读理解，再回答问题计算：(−1解：（方法一）原式＝(−1（方法二）原式的倒数为(＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10．故原式=−1请阅读上述材料，选