工程力学 课件 8压杆稳定

8.4临界应力与柔度临界应力总图8.5压杆的稳定计算8.1稳定的概念8.2两端铰支细长压杆的临界载荷8.3不同支承条件下压杆的临界载荷第八章压杆稳定

问题：除强度、刚度失效外，还有

没有其它形式的失效？研究对象：受压杆或柱？FF强度：s>sys

屈服s>sb

破坏8.1稳定的概念

稳定平衡GG不稳定平衡aF=Wsina不稳定平衡;max刚体WFNF外界的微小干扰消除后，若能恢复原来的平衡状态，则平衡是稳定的；否则，平衡是不稳定。护住坡脚，稳定平衡。风、雨8.1稳定的概念稳定临界失稳变形体F<FcrF=FcrF>Fcr越来越弯压杆：扰动消除后，杆轴线恢复直线。

---稳定扰动消除后，在微弯状态下平衡。

---临界平衡状态扰动消除后，杆越来越弯。

---失稳任务：研究临界平衡状态，确定保持压杆稳定的临界载荷Fcr。失稳是除强度、刚度外的又一种失效形式。活塞推杆、气门挺杆、结构中的压杆、立柱等细长压杆设计必需考虑稳定。拉杆没有失稳问题。

压杆工程实例压杆：受轴向压力的细长杆。

压杆工程实例脚手架中的压杆

压杆的稳定性试验8.2两端铰支细长压杆的临界载荷2.物理方程：---线弹性情况虎克定律：s=Ee

讨论二端铰支压杆的临界平衡状态，建立力学分析模型。1.力的平衡：任一截面的弯矩：M(x)=-Fy(x)FFyxoy(x)xl几何方程：弹性小变形情况挠度：dy/dx=M(x)/EI22=-Fy(x)/EII是截面对中性轴的惯性矩=-ky2令：k2=F/EI此二阶齐次常微分方程的通解为：y=Asinkx+Bcoskx积分常数A、B由边界条件确定。注意：若A=0，杆挠度y(x)≡0，与微弯平衡不符。1.x=0处，y=0边界条件任务：求解方程

d2y/dx2+k2y=0代入通解，有：B=02.x=l处，y=0由通解有：Asinkl=0故必有：sinkl=0FFyxoy(x)

xl若取n=0，则有F=0，杆上无载荷，与微弯平衡不符稳定临界状态：sinkl=0k=F/EI求F2sinkl=0kl=np

F=n

pEI/l(n=0,1,…n)22取n=1，则有F=pEI/l，是发生微弯平衡的最小值22F

与杆长l成反比，杆长的影响很大；与杆的抗弯刚度EI成正比，细杆EI小，更易发生失稳。2cr细长压杆易失稳！8.2两端铰支细长压杆的临界载荷欧拉公式的适用性限制：弹性小变形---小挠度的压杆弹性稳定问题。杆为均匀直杆，无初始曲率。压力作用线与杆轴线完全重合，无偏心。实验表明对小偏心、小初曲率基本适用。二端铰支压杆稳定临界载荷的欧拉公式：22lEIFcrp=解：1)考虑稳定:由欧拉公式

，临界载荷为：例1.二端铰支圆截面直杆直径d=20mm，长

l=800mm，E=200GPa，sys=240MPa，试求其临界载荷和屈服载荷。Fcr<<FS，故随F增大，杆先发生失稳。kNdlEFcr2.24800642010200642433422=

=·=ppp2)考虑屈服：屈服载荷为：kNAFysyss3.75424020422=

===pspds例2:

矩形截面木杆，b=0.12m，h=0.2m，l=8m，二端球铰支承。已知E=10GPa，试求杆的临界载荷。yzxohbFF解：临界载荷为：假定在xz平面内发生微弯，I=Iy=hb3/12，有：

Fcr=min{Fxy,Fxz}=44.4kN，失稳发生在I小的平面。I？22lEIFcrp=对于圆截面，各直径轴的I相同。假定在xy平面内发生微弯，I=Iz=bh3/12，有：kNlEIFzxy4.1238122.012.01010239222=

==ppkNlEIFyxz4.4481212.02.01010239222=

==pp8.3不同支承条件下压杆的临界载荷一、二端固定的压杆受力分析：水平方向：反力

FAx=F

Fy

xA

y(x)

xlB

FAx固定端反力偶：MA=MB=M(对称性)垂直方向：设有反力，但由平衡方程SFy=FAy+FBy=0必有FAy=FBy=0则由对称性必有FAy=FBy；力的平衡：任一截面的弯矩：

FMFM(x)y(x)M(x)=M-F

y(x)MMFAyFBy在弹性（s=Ee）小变形情况下，几何方程由挠曲线近似微分方程描述，即有：此二阶常微分方程的通解为：

y=Asinkx+Bcoskx+M/F还有：dy/dx=q=Akcoskx-Bksinkx挠度方程转角方程边界条件1.x=0处，y=0B+M/F=0---(1)2.x=0处，q=0Ak=0---(2)3.x=l处，y=0Asinkl+Bcoskl+M/F=0---(3)4.x=l处，q=0Akcoskl-Bksinkl=0---(4)EIFyMEIxMdxyd-==)(22令：k2=F/EIEIMykdxyd=+222B+M/F=0---(1)Ak=0---(2)Asinkl+Bcoskl+M/F=0---(3)Akcoskl-Bksinkl=0---(4)

M≠0，故由(1)可知，B=-M/F≠0；若M=0，则同铰支

k2=F/EI≠0，故由(2)可知，A=0；(3)式为，Bcoskl+M/F=0M/F=-BB≠0coskl-1=0由(4)必有，sinkl=0；

A=0，B≠0，k≠0对于二端固定的压杆，有：Fy

xA

y(x)

xlB

FAxMMk=?coskl-1=0sinkl=0kl=np

coskl-1=0kl=2np

同时成立必有：kl=2np

n=0,1,…nsinkl=0对于二端固定的压杆，有：k=?Fy

xA

y(x)

xlB

FAxMM

n

0。n=1时，kl=2p，有k=2p/l，代入k2=F/EI，给出二端固定压杆的最小临界载荷为：224lEIFcrp=二端铰支22lEIFcrp=二端铰支二端固定一端固定一端自由一端固定一端铰支AlFMyFxByd不同支承条件下压杆的临界载荷Fy

xA

lB

FMMFFyxAlBFxAlBMy

FAyxyFAxFByM(x)=-FyFcr=p

2EI/l2M(x)=M-FyFcr=p

2EI/(0.5l)2M(x)=F(d-y)Fcr=p

2EI/(2l)2M=FBx(l-x)-FyFcr=p

2EI/(0.7l)2二、欧拉公式的一般形式二端铰支二端固定一端固定一端自由一端固定一端铰支m=1m=0.5m=2m=0.722lEIFcrp=2(0.7l)2EIFcrp=2(0.5l)2EIFcrp=2

(2l)2EIFcrp=一般形式2

(ml)2EIFcrp=ml---压杆的相当长度m---相当长度系数二端固定压杆m=0.5一端固定、一端自由压杆m=2前者的临界载荷为后者的16倍。约束越强，m

，Fcr

，杆越稳定。压杆失稳是除强度、刚度外的又一种失效形式。拉杆没有失稳问题。小结:二端铰支：m=1；二端固定

m=0.5

一端固定、一端自由；m=2一端固定、一端铰支；m=0.7欧拉公式:2

(ml)2EIFcrp=ml---压杆的相当长度m---相当长度系数m越大，I越小，杆越长，越易失稳。欧拉公式不适用于短杆（强度控制破坏）。8.4临界应力与柔度临界应力总图线弹性小变形一、临界应力与杆的柔度欧拉公式22(ml)EIFcrp=压杆截面应力

s<sp由欧拉公式，压杆稳定的临界应力为：令i=I/A，只与截面几何相关，称为截面惯性半径。2l=ml/i，称为杆的柔度或细长比。由l可将杆分类。22)(lAEIAFcrcrmps==则临界应力可写为：2222)/(lpmpsEilEcr==稳定临界应力二、临界应力总图线弹性失稳。柔度：l=ml/i；截面惯性半径:

i=(I/A)1/2o

scrAsuscr=suscr=p2E/l2中柔度杆spBCscr=a-bl大柔度杆

pD小柔度杆

ss=a-bll

l

lspcrs=pE/ll

lcr22p失稳a,b材料参数，表12-2非线弹性失稳。2222)/(lpmpsEilEcr==应用欧拉公式，要求：pcrEslps£=22ppElspl=³强度l

ls脆性延性îíì===bysucrssss压杆临界应力计算o

scrAsuscr=suscr=p2E/l2中柔度杆spBCscr=a-bl大柔度杆

pD小柔度杆

ss=pE/ll

lcr22p大柔度杆：s=a-bll

l

lspcr中柔度杆：已知材料求l、lpsl=(a-su)/bsppEspl=计算压杆柔度l=ml/i

由临界应力总图判定压杆类型，计算临界应力。方法小柔度杆：l

ls脆性延性îíì===bysucrssss例3：低碳钢压杆直径d=40mm，二端铰支。s=242MPa，E=200GPa，求杆长为L=1.5、0.8、0.5m时的临界应力和临界载荷。ys解：1）查表确定l、l查表，对低碳钢有：l=100，l=60，a=310，b=1.14sspp

2）计算杆的柔度l:

l=ml/i

二端铰支压杆：m=1；惯性半径：i=(I/A)=[(

d/64)/(

d/4)]=d/4=10mm1/21/242杆1的柔度为：l=mL/i=1500/10=15011杆2的柔度为：l=mL/i=800/10=8022杆3的柔度为：l=mL/i=500/10=5033大柔度杆中柔度杆小柔度杆3）判定压杆的类型，计算临界应力和临界载荷:L=1.5m,l=150>l=100，大柔度杆由欧拉公式：

11P150MPaEcr73.8710200

223221===plpsF=sA=87.73

40

/4=110244(N)=110(kN)cr1cr12L=0.8m,l=60<l=80<l=100，中柔度杆，有：

22Pss=a-bl=310-1.14

80=218.8MPacr2F=sA=218.8

40

/4=274952N=275kNcr2cr22L=0.5m,l=50<l=60，小柔度杆，有：

33s

s=s=242MPayscr3F=sA=242

40

/4=304106N=304kNcr3cr32压杆的长度对临界载荷有显著影响！8.5压杆的稳定设计计算实际使用压力应小于许用压力。失稳判据

F

Fcr稳定性条件：][FnFFstcr=£载荷偏心约束简化几何及计算材料分散性杆的初曲率误差许用压力

[F]=Fcr/nst稳定安全系数

nst=Fcr/[F]stcrnFFn³=实际工作稳定安全系数应大于许用稳定安全系数。n

一般大于强度安全系数。st与强度条件一样，稳定性条件可用于稳定性计算，即：稳定性校核、杆的几何尺寸设计确定许用载荷、选材料等等。例4

千斤顶如图。丝杆由优质碳钢制成，内径d=40mm，最大顶升高度L=350mm，最大起重量F=80kN。若规定n=4，试校核其稳定性。st解：1）由材料性能确定l

、l

查表12-2，对于优质碳钢，有：

l=100，l=60，a=460，b=2.57sspp2）计算杆的柔度丝杆下端固定、上端自由，m=2；i=d/4

故丝杆的柔度为：l=mL/i=2

350/10=70FL3）判断杆的类型，计算临界载荷

l=60<l=70<l=100，是中柔度杆。有：

spF=sA=280.1

(40p/4)=351.98kNcrcr2s=a-bl=460-2.57

70=280.1MPacr

4）稳定性校核

n=F/F=353.24/80=4.415>n=4

可见，丝杆是稳定的。stcr解：1）确定lp、ls

查表，对铬锰钢有：

a=980，b=5.29，lp=55

2）计算杆的柔度活塞杆B端固定、C端铰支，m=0.7；i=d/4=9mm

ABCFLFl=(a-s)/b=(980-780)/5.29=37.8sys故杆的柔度为：l=mL/i=0.71000/9=77.8l=77.8>lp，是大柔度杆例5铬锰钢制活塞杆BC，d=36mm，sys=780MPa,E=210GPa，最大外伸长度L=1m，若规定的许用稳定安全系数为nst=6，试确定其最大许用压力Fmax。3）计算临界载荷

l=77.8>lp，大柔度杆F=sA=342.4

(40p/4)=348.52kNcrcr22s=pE/l=21010p/77.8=342.4MPacr2322

4）确定最大许用载荷F

Fmax[F]=Fcr/nst=348.52/6=58.09kNABCFLF例6铬锰钢制活塞杆BC，d=36mm，sys=780MPa,E=210GPa，最大外伸长度L=1m，若规定的许用稳定安全系数为nst=6，试确定其最大许用压力Fmax。讨论：提高压杆稳定性的措施1）选择合理的截面形状目的：提高截面惯性矩I

欧拉公式:2

(ml)2EIFcrp=增大I减小m

l2）改善杆端约束目的：提高相当长度系数m

一端固定一端自由

m=2

一端固定一端铰支

m