2024-2025学年上海市静安区风华中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市静安区风华中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.空间两条互相平行的直线指的是(

)A.在空间没有公共点的两条直线

B.分别在两个平面上的两条直线

C.在两个不同的平面上且没有公共点的两条直线

D.在同一平面上且没有公共点的两条直线2.方程C16x2−xA.{1,3,5,7} B.{1,3,5} C.{3,5} D.{1,3}3.祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等(如图①).这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm，底面为边长20cm的正三角形挖去以底边为直径的圆(如图③)，则该艺术品的体积为(

)

A.(10003−10003π)cm3 二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。4.空间中已知直线a，直线b，直线c，若直线a//直线b，直线a与直线c异面，则直线b与直线c的位置关系是______．5.在(x+2x)5的二项展开式中，x3的系数是______(6.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为______．7.球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的______

倍．8.甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到A、B、C、D四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位A服务的排法有______种.9.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)，分数从低到高依次：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的第80百分位数是

．10.有以下命题：

①若p=xa+yb(x,y∈R)，则p与a、b共面；

②若p与a、b共面，则p=xa+yb(x,y∈R)；

③若MP=xMA+yMB(x,y∈R)，则M、P、A、B共面；11.如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图(图中仅列出[50,60)，[90,100)的数据)和频率分布直方图，则x−y=______．12.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是______．

①平面A1D1P⊥平面BB1P；

②DC13.已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形，AA1=3三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题12分)

如图，在四面体ABCD中，AC=8，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°.求MN的长．15.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°．

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P−ABCD的体积为83，

求PB与平面ABCD所成的线面角的大小．16.(本小题12分)

如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB=BC=5，CD=3．

(1)求直线AC与平面ABD所成角的大小；

(2)求点B到平面ACD的距离．17.(本小题12分)

水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．

(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；

(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．18.(本小题12分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．

(1)求证：AM⊥平面PCD；

(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值；

(3)求点N到平面ACM的距离．

参考答案1.D

2.D

3.B

4.相交或异面

5.10

6.0.8

7.8

8.6

9.90.5

10.①③

11.0.004

12.①②④

13.51214.解：取BC中点P，连接MP，NP，

又因为AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，

所以PM/​/AC，PM=12AC=4，PN/​/BD，PN=12BD=3，

又因为异面直线AC与BD所成的角为90°，所以∠MPN=90°，

所以MN15.证明：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，

∴AB⊥PA，CD⊥PD，

又∵AB/​/CD，

∴AB⊥PD，

∵PA∩PD=P，

∴AB⊥平面PAD，

∵AB⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD；

(2)解：取AD中点O，连结PO，

∵PA=PD，O为AD的中点，

∴PO⊥AD，

∴AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴AB⊥PO，

∵AB∩AD=A，

∴PO⊥底面ABCD，

设PA=PD=AB=DC=a，

则AD=a2+a2=2a，PO=22a，

∵四棱锥P−ABCD的体积为83，PO⊥底面ABCD，

∴VP−ABCD=13×S四边形ABCD×PO=13×AB×AD×PO=13×a×2a×22a=1316.解：(1)∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

∴AB⊥CD，

∵BC是圆O的直径，

∴BD⊥CD，

又BD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，AB∩BDE=B，

∴CD⊥平面ABD．

∴∠CAD是AC与平面ABD所成的角．

∵AB=BC=5，∴AC=52，

∴sin∠CAD=CDAC=3210．

∴直线AC与平面ABD所成角的大小为arcsin3210．

(2)过B作BM⊥AD，垂足为M，

由(1)得CD⊥平面ABD，CD⊂平面ACD，

∴平面ABD⊥平面ACD，

又平面ABD∩平面ACD=AD，BM⊂平面ABD，BM⊥AD，

∴BM⊥平面ACD．

∵BD=17.解：(1)古典概型：设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数n=C1362=136×1352=9180，

A事件的样本点的公式m=C1021⋅C341=3468，

所以P(A)=mn=34689180=1745；

(2)因为一级果箱数：二级果箱数=3：1，

所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；

(3)设一级果平均质量为x，方差为Sx2，二级果质量为y，方差为Sy2，总体样本平均质量为z18.解：(1)证明：依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC，

∵PA⊥平面ABCD，

则PA⊥CD，

又CD⊥AD，PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

又AM⊂平面PAD，

则CD⊥AM，

又CD∩MC=C，CD，MC⊂平面PCD，

∴AM⊥平面PCD；

(2)由(1)知，AM⊥PD，

又PA=AD，