福建省南平市石屯中学2020-2021学年高三数学理下学期期末试题含解析

福建省南平市石屯中学2020-2021学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z|=(

) A． B． C．2 D．参考答案：B考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答： 解：复数z满足（1+i）z=2﹣i，∴==，则|z|==．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．2.已知函数则，则实数的值等于

（

）

A．－3

B．－l或3

C．1

D．－3或l参考答案：D因为，所以由得。当时，，所以。当时，，解得。所以实数的值为或，选D.3.设函数满足，，则时(

)

(A)有极大值,无极小值

(B)有极小值,无极大值

(C)既有极大值又有极小值

(D)既无极大值也无极小值参考答案：D4.在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间内的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.已知点A（0，2），抛物线C1：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）A．

B．

C．1

D．4参考答案：D分析： 作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．解答： 解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∴|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，∴=2，求得a=4，故选D．点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．6.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）2参考答案：A方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为.选A.

7.设集合，则A∩B=（

）A.(0,4) B.(1,4) C.(3,4) D.(1,3)参考答案：D【分析】求出集合A，直接进行交集运算即可.【详解】，故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.8.已知角终边与单位圆的交点为，则（

）

A.

B.

C.

D.1参考答案：A9.设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为(

) A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．解答： 解：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，解得或，则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，∵△PAB的面积为﹣1，∴AB边上的高为h==．设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，P到直线y=2x+2的距离d==，即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；联立得：①或②，①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；由②消去b得：2a2+2a+1=0，∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．故选：D．点评：本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．10.抛物线y2=4x上有两点A、B到焦点的距离之和为8，则A、B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．5参考答案：A【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线为x=﹣1，根据抛物线的定义可知A，B此抛物线焦点的距离之和等于xA+1+xB+1．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1．则点A到此抛物线焦点的距离为xA+1，点B到此抛物线焦点的距离为xB+1．∴点A、B到此抛物线焦点的距离之和为xA+1+xB+1=xA+xB+2=8+2=10．则A、B到y轴的距离之和为：10﹣2=8．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.海中有一小岛，周围nmile内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东60°，航行6nmile以后，望见这岛在北偏东30°.如果这艘海轮不改变航向继续前行，则经过________nmile后海轮会触礁.参考答案：12.在中，，点在边上，且满足，则的最小值为

▲

．参考答案：13.等比数列前n项的乘积为，且，则=__________．参考答案：512略14.由曲线，直线和轴所围成的图形的面积是

.参考答案：无略15.已知为第二象限角，____________．参考答案：-16.在△ABC中，若则的值为

。参考答案：

略17..如图为正方体ABCD-A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面的距离保持不变，运动的路程x与之间满足函数关系，则此函数图像大致是（

）A. B.C. D.参考答案：C取线段中点为N，计算得：.同理，当N为线段AC或C的中点时，计算得.符合C项的图象特征.故选：C三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.（Ⅰ）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,70)记0分，在[70,100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望.参考答案：解：（Ⅰ）设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图，则有（0.01＋0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1,可得x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.（Ⅱ）平均分为：（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，并且X的可能取值是0，1，2.所以X的分布列为略19.（本小题满分12分）

直三棱柱中，，与交于一点P，延长到D，使得BD=AB，连接DC，DA，得到如图所示几何体．

(I)若AB=1，求证：BP∥平面ACD,

(Ⅱ)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．参考答案：(I)见解析;(Ⅱ)20.设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）（Ⅰ）求方程有实根的概率（Ⅱ）求的分布列和数学期望参考答案：(I)基本事件总数为，

若使方程有实根，则，即.当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，,记方程有实根为事件,事件所含基本事件个数为

因此，方程有实根的概率为6分

(II)由题意知，，则，，

故的分布列为012P的数学期望12分略21.（12分）如图所示，正三角形ABC的外接圆半径为2，圆心为O，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，点D在平面ABC内的射影为圆心O．（Ⅰ）求证：DO∥平面PBC；（Ⅱ）求平面CBD和平面OBD所成锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连结AOL，并延长交BC于点E，连结PE，推导出DO∥PE，由此能证明DO∥平面PBC．（Ⅱ）以点E为坐标原点，以EO、EB、EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面CBD和平面OBD所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结AO，并延长交BC于点E，连结PE，∵O为正三角形ABC的外接圆圆心，∴AO=2OE，又AD=2DP，∴DO∥PE，∵PE?平面PBC，DO?平面PBC，∴DO∥平面PBC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DO⊥平面ABC，∵DO∥PE，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC，PE⊥AE，又AE⊥BC，∴以点E为坐标原点，以EO、EB、EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），O（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1），A（3，0，0），∴=（0，，0），=（﹣3，0，1），=（﹣2，0，），==（1，0，），∴D（1，0，），=（0，0，），=（1，﹣，0），设平面CDB的一个法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣，0，1），设平面BOD的法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，0），cos＜＞===﹣，∴平面CBD和平面OBD所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，，点E为AB的中点，AC与BD交于点O.（Ⅰ）求异面直线PC与AD所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）【分析】（I）根据判断出是异面直线成角，判断三角形是直角三角形后，直接计算出线线角的余弦值.（II）先证得,然后证得，由此证得平面，从而证