常州新高三数学试卷

常州新高三数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，则$f(x)$的对称中心为（）

A.$(1,1)$

B.$(2,1)$

C.$(1,-1)$

D.$(2,-1)$

2.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$2$，公差为$d$，则$\{a_n^2\}$的通项公式为（）

A.$a_n^2=(2+d)^2n$

B.$a_n^2=(2-d)^2n$

C.$a_n^2=(2+d)^2(n-1)$

D.$a_n^2=(2-d)^2(n-1)$

3.设$a$，$b$是方程$x^2+px+q=0$的两个根，则下列选项中，正确的为（）

A.$a+b=p$

B.$ab=q$

C.$a^2+b^2=p^2-2q$

D.以上都是

4.已知复数$z=a+bi$（$a$，$b$为实数），则下列命题中正确的是（）

A.$|z|=a^2+b^2$

B.$|z|=a^2-b^2$

C.$|z|=a^2+2ab+b^2$

D.$|z|=a^2-2ab+b^2$

5.设$f(x)=\sinx$，$g(x)=\cosx$，则$f(x)+g(x)$的周期为（）

A.$2\pi$

B.$\pi$

C.$\frac{\pi}{2}$

D.$\frac{\pi}{4}$

6.若数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（）

A.$a_n=2^{n-1}$

B.$a_n=2^n$

C.$a_n=2^{n+1}$

D.$a_n=2^{n-2}$

7.设集合$A=\{x|2x-3<6\}$，$B=\{x|3x+2>10\}$，则$A$和$B$的交集为（）

A.$\{x|-1<x<4\}$

B.$\{x|-1<x<2\}$

C.$\{x|-2<x<1\}$

D.$\{x|-2<x<4\}$

8.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$在区间$[1,2]$上单调递增，则下列选项中正确的是（）

A.$f(1)<f(2)$

B.$f(1)>f(2)$

C.$f(1)=f(2)$

D.无法确定

9.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$2$，公差为$d$，则$\{a_n^3\}$的通项公式为（）

A.$a_n^3=(2+d)^3n$

B.$a_n^3=(2-d)^3n$

C.$a_n^3=(2+d)^3(n-1)$

D.$a_n^3=(2-d)^3(n-1)$

10.设复数$z=a+bi$（$a$，$b$为实数），则下列命题中正确的是（）

A.$|z|=a^2+b^2$

B.$|z|=a^2-b^2$

C.$|z|=a^2+2ab+b^2$

D.$|z|=a^2-2ab+b^2$

二、判断题

1.在直角坐标系中，若点$A(1,2)$关于直线$x+y=3$对称的点的坐标为$(4,1)$。（）

2.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$时取得极小值，则$a>0$且$b<0$。（）

3.对于任意三角形，其内角和恒等于$180^\circ$。（）

4.在数列$\{a_n\}$中，若$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+1$，则数列$\{a_n\}$是等差数列。（）

5.若复数$z$满足$|z|=1$，则$z$在复平面上的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆。（）

三、填空题

1.已知等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为$3$，$5$，$7$，则该数列的公差为______。

2.函数$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$的定义域为______。

3.若复数$z$满足$|z-i|=1$，则$z$在复平面上的轨迹是______。

4.在直角坐标系中，点$P(2,3)$到直线$x-2y+5=0$的距离为______。

5.函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$的对称中心为______。

四、简答题

1.简述等差数列和等比数列的定义，并给出它们通项公式的一般形式。

2.请说明如何判断一个函数在某个区间内是否存在极值，并简述求极值的方法。

3.解释什么是复数的模，并给出复数模的性质。

4.简述解析几何中，点到直线的距离公式及其推导过程。

5.请解释什么是函数的导数，并简述导数的几何意义和求导的基本方法。

五、计算题

1.计算数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$，其中$a_1=3$，$a_{n+1}=2a_n-1$。

2.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$在区间$[1,3]$上的最大值和最小值。

3.解方程组$\begin{cases}2x+y=7\\x-3y=1\end{cases}$。

4.计算复数$z=3+4i$的模，并求出它的共轭复数。

5.设函数$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$，并求出$f'(x)$在$x=2$时的值。

六、案例分析题

1.案例分析：某班级同学在学习了等差数列和等比数列的概念后，进行了一次小测验。测验结果显示，班级中50%的同学在等差数列的题目上得分较高，而只有30%的同学在等比数列的题目上得分较高。请分析这一现象，并提出相应的教学建议。

2.案例分析：在一次数学竞赛中，有一道题目要求参赛者证明：对于任意正整数$n$，都有$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。某参赛者在解答过程中，发现自己在计算过程中犯了一个错误，导致最终答案不正确。请分析该参赛者在解题过程中可能出现的错误，并给出正确的解题思路。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，前10天每天生产20件，之后每天比前一天多生产5件。问：第15天共生产了多少件产品？

2.应用题：一个圆锥的底面半径为6cm，高为10cm。求这个圆锥的体积。

3.应用题：某商店为了促销，将一台定价为2000元的商品打八折出售，然后又以九折的价格出售给顾客。求顾客最终购买该商品的实际支付金额。

4.应用题：一辆汽车以60km/h的速度行驶，从甲地到乙地需要2小时。若汽车以80km/h的速度行驶，问从甲地到乙地需要多少时间？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.B

2.C

3.D

4.A

5.A

6.A

7.D

8.A

9.C

10.A

二、判断题答案

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案

1.2

2.$(0,+\infty)$

3.以原点为圆心，半径为1的圆

4.$\frac{5}{\sqrt{5}}$

5.$(1,2)$

四、简答题答案

1.等差数列的定义：一个数列，如果从第二项起，每一项与它前一项的差都相等，那么这个数列就叫做等差数列。通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。

等比数列的定义：一个数列，如果从第二项起，每一项与它前一项的比都相等，那么这个数列就叫做等比数列。通项公式：$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。

2.判断极值的方法：首先求出函数的导数，然后令导数等于0，求出导数为0的点，这些点即为可能的极值点。进一步通过一阶导数的符号变化判断极值的类型（极大值或极小值）。

求极值的方法：对于一元函数，可以通过求导数和判断导数的符号变化来找到极值点；对于多元函数，可以通过求偏导数和判断偏导数的符号变化来找到极值点。

3.复数的模定义为复数与其共轭复数乘积的平方根，即$|z|=\sqrt{z\cdot\overline{z}}$。复数模的性质：$|z|$是非负实数，$|z|=0$当且仅当$z=0$，$|z|$是复数$z$与原点之间的距离。

4.点到直线的距离公式：设直线的方程为$Ax+By+C=0$，点的坐标为$(x_0,y_0)$，则点到直线的距离$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

推导过程：将点的坐标代入直线方程，得到点到直线的垂线长度，再利用勾股定理求出点到直线的距离。

5.导数的定义：函数在某一点的导数定义为该点处切线的斜率。导数的几何意义：函数在某一点的导数表示该点处切线的斜率，即函数在该点的瞬时变化率。

求导的基本方法：直接求导法、复合函数求导法、隐函数求导法、参数方程求导法等。

五、计算题答案

1.$S_n=\frac{3n(n+1)}{2}$

2.最大值为$f(3)=0$，最小值为$f(2)=1$

3.$x=2$，$y=3$

4.$|z|=5$，共轭复数$\overline{z}=3-4i$

5.$f'(x)=2x-6$，$f'(2)=-2$

六、案例分析题答案

1.分析：等差数列题目得分较高的原因是学生可能更熟悉线性关系，而等比数列题目得分较低的原因可能是学生更难以理解和应用指数函数的性质。

教学建议：可以通过增加等比数列的实际应用例子，帮助学生建立对等比数列的理解，同时加强对等差数列和等比数列性质的教学。

2.分析：参赛者在解题过程中可能出现的错误包括：错误地应用了等差数列或等比数列的通项公式，或者在计算过程中犯了计算错误。

正确解题思路：首先将给定的数列转化为等差数列或等比数列，然后应用相应的通项公式进行计算，最后验证结果是否满足题目条件。

七、应用题答案

1.150件

2.376.8立方厘米

3.1440元

4.1.5小时

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学的主要知识点，包括数列、函数、解析几何、复数、导数等。题型多样，考察了学生的基本概念、计算能力、推理能力和应用能力。

题型详解及示例：

一、选择题：考察学生对基本概念的理解和判断能力。示例：选择函数的定义域。

二、判断题：考察学生对基本概念的记忆和判断