2025高考数学二轮复习-专题六-微重点12-圆锥曲线中二级结论的应用-专项训练【含答案】

微重点12圆锥曲线中二级结论的应用圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，理解各结论之间的联系与区别，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一焦点弦问题核心提炼1．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l过左焦点F1与椭圆(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AF1F2＝α，e为椭圆的离心率，p为椭圆的焦点到对应准线的距离，则p＝eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c).(1)椭圆焦半径公式：|AF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).(2)椭圆焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).(3)焦点三角形的面积公式：P为椭圆上异于长轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝b2·taneq\f(θ,2).2．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，直线l过左焦点F1与双曲线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AF1F2＝α，e为双曲线离心率，p为双曲线的焦点到对应准线的距离，则p＝c－eq\f(a2,c)＝eq\f(b2,c).图1图2(1)若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|＝eq\f(ep,e·cosα＋1)，|BF1|＝eq\f(ep,e·cosα－1)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|AF1|)－\f(1,|BF1|)))＝eq\f(2,ep).(2)双曲线焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).若直线与双曲线交于两支，则|AB|＝||AF1|－|BF1||＝eq\f(2ep,e2·cos2α－1).(3)焦点三角形的面积公式：P为双曲线上异于实轴端点的一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).3.已知直线l过焦点F与抛物线(焦点在x轴上)交于A，B两点，设∠AFx＝α，e为抛物线离心率，p为抛物线的焦点到对应准线的距离．(1)抛物线焦半径公式：|AF|＝eq\f(ep,1－e·cosα)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)＝eq\f(p,1＋cosα)，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,ep)＝eq\f(2,p).(2)抛物线焦点弦弦长公式：|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α)＝eq\f(2p,sin2α).4．焦点弦定理已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为α，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，则曲线的离心率满足等式|ecosα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,λ＋1))).例1已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(－eq\r(7)，0)，F2(eq\r(7)，0)，过F2的直线与C的右支交于A，B两点．若eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，|AB|＝|F1B|，则双曲线C的方程为________．答案eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1解析如图，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t，又eq\f(1,|AF2|)＋eq\f(1,|BF2|)＝eq\f(2a,b2)，∴eq\f(1,2t)＋eq\f(1,t)＝eq\f(2a,b2)，即eq\f(3,2t)＝eq\f(2a,b2)，又|F1B|－|F2B|＝2a，∴3t－t＝2a，∴t＝a，∴eq\f(3,2a)＝eq\f(2a,b2)，即3b2＝4a2，又c＝eq\r(7)，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1.易错提醒(1)要注意公式中α的含义．(2)公式中的加减符号易混淆．(3)直线与双曲线交于一支和两支的公式不一样．跟踪演练1(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则|PF1|·|PF2|等于()A．1B．2C．4D．5答案B解析方法一因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而＝b2tan45°＝1＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2.方法二因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4，解得c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(5)，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.考点二等角的性质核心提炼1．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，过长轴上任意一点N(t,0)的弦的端点A，B与对应的点Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,t)，0))的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠OGA＝∠OGB(如图1)．图1图2图32．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t,0)的弦的端点A，B与对应点Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,t)，0))的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA＝∠NGB(如图2)．3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线对称轴上任意一点N(a,0)的一条弦的端点A，B与对应点G(－a,0)的连线所成角被对称轴平分，即∠OGA＝∠OGB(如图3)．例2(2023·盐城模拟)在平面直角坐标系Oxy中，抛物线C的准线为x＝－1，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－2y－1＝0上．(1)求抛物线C的方程；(2)若动直线l：x＝my＋3与抛物线C交于A，B两点．在x轴上是否存在定点P，使得对任意实数m，总有∠OPA＝∠OPB成立？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．解(1)因为抛物线C的准线为x＝－1，对称轴为坐标轴，则C的对称轴为x轴，且焦点在x轴上，又焦点在直线x－2y－1＝0上，则焦点坐标为(1,0)，所以C的顶点为原点，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)假设存在满足条件的点P，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋3，,y2＝4x，))得y2－4my－12＝0，不妨设P(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16m2＋48>0，y1＋y2＝4m，①y1y2＝－12，②由∠OPA＝∠OPB知直线AP与直线BP的斜率kAP，kBP满足kAP＋kBP＝0，即eq\f(y1,x1－t)＋eq\f(y2,x2－t)＝eq\f(y1x2－t＋y2x1－t,x1－tx2－t)＝eq\f(y1my2＋3－t＋y2my1＋3－t,x1－tx2－t)＝0，即2my1y2＋(3－t)(y1＋y2)＝0，③将①②代入③得－24m＋(3－t)4m＝0对任意m成立，则t＝－3，即存在满足条件的定点P(－3,0)．规律方法根据等角性质，存在某定点满足条件，快速算出此点的坐标，这给算出准确答案提供了依据．跟踪演练2椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为2eq\r(6).(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA＝∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)∵e＝eq\f(\r(2),2)，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，∴a2＝2c2＝b2＋c2，∴b2＝c2，a2＝2b2，椭圆方程化为eq\f(x2,2b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，由题意知，椭圆过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)，1))，∴eq\f(6,2b2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得b2＝4，a2＝8，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2y2＝8，,y＝kx＋1，))得(2k2＋1)x2＋4kx－6＝0，Δ＝16k2＋24(2k2＋1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－4k,2k2＋1)，,x1x2＝\f(－6,2k2＋1)，))假设存在定点Q(0，t)(t≠1)符合题意，∵∠PQA＝∠PQB，∴kQA＝－kQB，∴kQA＋kQB＝eq\f(y1－t,x1)＋eq\f(y2－t,x2)＝eq\f(x2y1＋x1y2－tx1＋x2,x1x2)＝eq\f(x2kx1＋1＋x1kx2＋1－tx1＋x2,x1x2)＝eq\f(2kx1x2＋1－tx1＋x2,x1x2)＝2k＋(1－t)eq\f(－4k,－6)＝eq\f(2k4－t,3)＝0，∵上式对任意实数k恒等于零，∴4－t＝0，即t＝4，∴Q(0,4)，当直线l的斜率不存在时，A，B(不妨设点A在x轴上方)两点分别为椭圆的上下顶点(0,2)，(0，－2)，显然此时∠PQA＝∠PQB，综上，存在定点Q(0,4)满足题意．考点三切线、切点弦方程核心提炼1．已知点P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.2．若点P(x0，y0)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P(x0，y0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程是椭圆中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，双曲线中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.例3过点Q(－1，－1)作已知直线l：y＝eq\f(1,4)x＋1的平行线，交双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1于点M，N.(1)证明：Q是线段MN的中点；(2)分别过点M，N作双曲线的切线l1，l2，证明：三条直线l，l1，l2相交于同一点；(3)设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线PA，PB，切点分别为A，B，证明：点Q在直线AB上．证明(1)直线MN的方程为y＝eq\f(1,4)(x－3)．代入双曲线方程eq\f(x2,4)－y2＝1，得3x2＋6x－25＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，故x1＋x2＝－2.于是，y1＋y2＝eq\f(1,4)(x1＋x2－6)＝－2.故Q(－1，－1)是线段MN的中点．(2)双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1过点M，N的切线方程分别为l1：eq\f(x1,4)x－y1y＝1，l2：eq\f(x2,4)x－y2y＝1.两式相加并将x1＋x2＝－2，y1＋y2＝－2代入得y＝eq\f(1,4)x＋1.这说明，直线l1，l2的交点在直线l：y＝eq\f(1,4)x＋1上，即三条直线l，l1，l2相交于同一点．(3)设P(x0，y0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，则PA，PB的方程分别为eq\f(x3,4)x－y3y＝1和eq\f(x4,4)x－y4y＝1.因为点P在两条直线上，所以eq\f(x3,4)x0－y3y0＝1，eq\f(x4,4)x0－y4y0＝1.这表明，点A，B都在直线eq\f(x0,4)x－y0y＝1上，即直线AB的方程为eq\f(x0,4)x－y0y＝1.又y0＝eq\f(x0,4)＋1，代入整理得eq\f(x0,4)(x－y)－(y＋1)＝0，显然，无论x0取什么值(即无论P为直线l上哪一点)，点Q(－1，－1)都在直线AB上．规律方法运用联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得事半功倍的效果．跟踪演练3(2023·锦州模拟)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)))，且离心率为eq\f(\r(6),3).F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：x＝3上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF.(1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；(2)记△AFM，△BFM的面积分别为S1和S2，当|S1－S2|取最大值时，求直线AB的方程．(1)证明如图，由题意可得b＝eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝2，椭圆E的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为eq\f(x1x,6)＋eq\f(y1y,2)＝1，同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为eq\f(x2x,6)＋eq\f(y2y,2)＝1.因为点P在直线PA，PB上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)＋\f(y1y0,2)＝1，,\f(x2,2)＋\f(y2y0,2)＝1，))所以直线AB的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y0y,2)＝1，则直线AB过定点M(2,0)．(2)解设直线AB的方程为x＝ty＋2，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋2，,\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，))得(t2＋3)y2＋4ty－2＝0，故y1＋y2＝－eq\f(4t,t2＋3)，y1y2＝－eq\f(2,t2＋3)，|S1－S2|＝2||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|＝eq\f(8|t|,t2＋3)＝eq\f(8,|t|＋\f(3,|t|))≤eq\f(8,2\r(3))＝eq\f(4\r(3),3)，当且仅当|t|＝eq\f(3,|t|)，即t＝±eq\r(3)时取等号，此时直线AB的方程为x＝±eq\r(3)y＋2.专题强化练1．(2023·眉山模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1的两焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则△PF1F2的面积等于()A．6B．2eq\r(3)C．4eq\r(3)D．6eq\r(3)答案B解析设∠F1PF2＝θ，根据焦点三角形面积公式可知，＝b2tan

eq\f(θ,2)＝6·tan

eq\f(π,6)＝2eq\r(3).2．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线l的斜率为1，则弦AB的长为()A．4B．6C．7D．8答案D解析设直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)，∵k＝tanθ＝1，∴sinθ＝eq\f(\r(2),2)，∴|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(4,\f(1,2))＝8.3．(2023·齐齐哈尔模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若椭圆C上存在一点M，使得|F1F2|是|MF1|与|MF2|的等比中项，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),10)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),10)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案A解析设椭圆C上存在一点M(m，n)，由椭圆的第二定义，可得|MF1|＝a＋em，|MF2|＝a－em，由|F1F2|是|MF1|与|MF2|的等比中项，可得|F1F2|2＝|MF1||MF2|，即4c2＝(a＋em)(a－em)，即e2m2＝a2－4c2，因为0≤m2≤a2，所以0≤e2m2≤a2e2,0≤a2－4c2≤a2e2，解得eq\f(1,5)≤e2≤eq\f(1,4)，所以椭圆C的离心率的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(1,2))).4．已知直线l：y＝kx与椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，M是椭圆上异于A，B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(\r(2),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(1,2)))答案D解析由椭圆中的结论，可得kMA·kMB＝－eq\f(b2,a2)，由椭圆的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，即eq\f(\r(3),3)<e<eq\f(\r(2),2)⇔eq\f(\r(3),3)<eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2)⇔eq\f(1,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,3)<eq\f(a2－b2,a2)<eq\f(1,2)⇒－eq\f(2,3)<－eq\f(b2,a2)<－eq\f(1,2)，即－eq\f(2,3)<kMA·kMB<－eq\f(1,2).5．(多选)(2023·齐齐哈尔模拟)伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为12eq\r(5)π，离心率为eq\f(2,3)，F1，F2是椭圆C在x轴上的两个焦点，A为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是()A．椭圆C的标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1B．若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则＝20eq\r(3)C．存在点A，使得∠F1AF2＝eq\f(π,2)D.eq\f(2,|AF1|)＋eq\f(1,|AF2|)的最小值为eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),6)答案AD解析对于A，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝12\r(5)，,\f(c,a)＝\f(2,3)，,a2＝b2＋c2，))解得a＝6，b＝2eq\r(5)，c＝4，则椭圆C的标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1，故A正确；对于B，令θ＝∠F1AF2，＝b2·taneq\f(θ,2)＝eq\f(20\r(3),3)，故B错误；对于C，当点A为短轴的一个顶点时，∠F1AF2最大，此时cos∠F1AF2＝eq\f(62＋62－82,2×62)＝eq\f(1,9)>0，所以∠F1AF2为锐角，则不存在点A，使得∠F1AF2＝eq\f(π,2)，故C错误；对于D，eq\f(2,|AF1|)＋eq\f(1,|AF2|)＝eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,|AF1|)＋\f(1,|AF2|)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|AF1|＋|AF2|))＝eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(2|AF2|,|AF1|)＋1＋\f(|AF1|,|AF2|)))≥eq\f(1,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),6)，当且仅当eq\f(2|AF2|,|AF1|)＝eq\f(|AF1|,|AF2|)，即|AF1|＝eq\r(2)|AF2|时，等号成立，故D正确．6．(多选)(2023·武汉模拟)已知抛物线：x2＝2py(p>0)，过其准线上的点T(t，－1)作该抛物线的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是()A．p＝4B．当t＝1时，TA⊥TBC．当t＝1时，直线AB的斜率为2D．直线AB过定点(0,1)答案BD解析因为T(t，－1)为准线上的点，所以－eq\f(p,2)＝－1，解得p＝2，故A错误；根据抛物线方程得到y＝eq\f(x2,4)，则y′＝eq\f(x,2)，设切点坐标分别为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),4)))，则eq\f(－1－\f(x\o\al(2,1),4),1－x1)＝eq\f(x1,2)，整理得xeq\o\al(2,1)－2x1－4＝0，同理得xeq\o\al(2,2)－2x2－4＝0，所以x1，x2为方程x2－2x－4＝0的解，x1x2＝－4，所以kTA·kTB＝eq\f(x1,2)·eq\f(x2,2)＝－1，则TA⊥TB，故B正确；由B选项得x1＋x2＝2，所以kAB＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),4)－\f(x\o\al(2,2),4),x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝eq\f(1,2)，故C错误；由B选项得xeq\o\al(2,1)－2tx1－4＝0，又xeq\o\al(2,1)＝4y1，联立得2y1－tx1－2＝0，同理得2y2－tx2－2＝0，所以直线AB的方程为2y－tx－2＝0，恒过点(0,1)，故D正确．7．已知椭圆E：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1，F2分别作斜率为k1，k2的直线l1，l2，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且|AB|＋|CD|＝6eq\r(2)，则k1k2＝________.答案±eq\f(1,2)解析方法一设l1，l2的倾斜角分别为α，β，则keq\o\al(2,1)＝tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(1,cos2α)－1，即cos2α＝eq\f(1,1＋k\o\al(2,1))，同理cos2β＝eq\f(1,1＋k\o\al(2,2)).|AB|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α)＝eq\f(4\r(2)1＋k\o\al(2,1),1＋2k\o\al(2,1))，同理|CD|＝eq\f(4\r(2)1＋k\o\al(2,2),1＋2k\o\al(2,2))，由|AB|＋|CD|＝6eq\r(2)可得keq\o\al(2,1)keq\o\al(2,2)＝eq\f(1,4)，所以k1k2＝±eq\f(1,2).方法二设直线AB的方程为y＝k1(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2y2＝8，,y＝k1x＋2，))得(1＋2keq\o\al(2,1))x2＋8keq\o\al(2,1)x＋8keq\o\al(2,1)－8＝0，Δ＝(8keq\o\al(2,1))2－4(1＋2keq\o\al(2,1))(8keq\o\al(2,1)－8)＝32(keq\o\al(2,1)＋1)>0，则x1＋x2＝－eq\f(8k\o\al(2,1),1＋2k\o\al(2,1))，x1x2＝eq\f(8k\o\al(2,1)－8,1＋2k\o\al(2,1))，|AB|＝eq\r(1＋k\o\al(2,1))|x1－x2|＝eq\r(1＋k\o\al(2,1)[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(4\r(2)1＋k\o\al(2,1),1＋2k\o\al(2,1))，同理可得|CD|＝eq\f(4\r(2)1＋k\o\al(2,2),1＋2k\o\al(2,2))，由|AB|＋|CD|＝6eq\r(2)，化简得keq\o\al(2,1)keq\o\al(2,2)＝eq\f(1,4)，则k1k2＝±eq\f(1,2).8．已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足eq\o(AF1,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)eq\o(F1B,\s\up6(→)).若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为________．答案eq\f(3,2)解析方法一设|AF1|＝k，|BF1|＝7k，根据双曲线定义|AF2|＝k＋2a，|BF2|＝7k＋2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得(k＋2a)2＝(2c)2＋k2－2·2c·kcos60°，①在△BF1F2中，由余弦定理可得(7k＋2a)2＝(7k)2＋(2c)2－2·2c·7kcos120°，②由①②可得3a＝2c，则e＝eq\f(3,2).方法二由焦点弦定理可知，焦点在x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为α，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，则曲线的离心率满足等式|ecosα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,λ＋1)))，代入α＝120°，λ＝eq\f(1,7)，可得离心率e＝eq\f(3,2).9．(2023·温州模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，短轴长为2，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有∠OMA＝∠OMB，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由．解(1)依题意，b＝1，而离心率e＝eq\f(\r(2),2)，即e2