2025高考数学二轮复习-专题六-第2讲-圆锥曲线的方程与性质-专项训练【含答案】

第2讲圆锥曲线的方程与性质[考情分析]高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题．考点一圆锥曲线的定义与标准方程核心提炼1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”“定型”：确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；“计算”：利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．例1(1)(2023·全国乙卷)已知点A(1，eq\r(5))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．答案eq\f(9,4)解析由题意可得，(eq\r(5))2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－eq\f(5,4)，则点A到C的准线的距离为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)))＝eq\f(9,4).(2)(2023·全国甲卷改编)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)，则等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C．2D．3答案D解析方法一因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，①|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq\f(6,5)|PF1||PF2|＝12，②联立①②，解得|PF1||PF2|＝eq\f(15,2)，又cos∠F1PF2＝eq\f(3,5)，所以sin∠F1PF2＝eq\f(4,5)，所以＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝3，方法二设∠F1PF2＝2θ，0<θ<eq\f(π,2)，所以＝b2tan

eq\f(∠F1PF2,2)＝b2tanθ，由cos∠F1PF2＝cos2θ＝eq\f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f(3,5)，解得tanθ＝eq\f(1,2)，由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以＝6×eq\f(1,2)＝3.易错提醒求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置．跟踪演练1(1)(2023·资阳模拟)已知双曲线C：x2－eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与C的右支相交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为()A．6B．8C．10D．12答案B解析如图，双曲线x2－eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的实半轴长a＝1，由双曲线的定义，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，又|AB|＝2，则△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.(2)(2023·南京模拟)已知F为椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2＋(y－3)2＝1上一点，则|PQ|＋|PF|的最大值为()A．3 B．6C．4＋2eq\r(3) D．5＋2eq\r(3)答案D解析圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心为M(0,3)，r＝1，设椭圆的左焦点为F1，如图，由椭圆的定义知，|PF|＋|PF1|＝2a＝4，所以|PF|＝4－|PF1|，所以|PQ|＋|PF|≤|PM|＋r＋|PF|＝|PM|＋1＋4－|PF1|＝5＋|PM|－|PF1|≤5＋|MF1|，当且仅当M，P，F1三点在同一条直线上时取等号，因为M(0,3)，F1(－eq\r(3)，0)，则|MF1|＝2eq\r(3)，(|PQ|＋|PF|)max＝5＋2eq\r(3).考点二椭圆、双曲线的几何性质核心提炼1．求离心率通常有两种方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．2．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．考向1椭圆、双曲线的几何性质例2(1)(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是()A．F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)B．椭圆的短轴长为10C．|PF1|的最小值为1D．当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取到最大值答案ACD解析椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，其中a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4，对于A，c＝2，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，故A正确；对于B，椭圆的短轴长为2b＝2eq\r(5)，故B错误；对于C，a－c≤|PF1|≤a＋c，∴|PF1|的最小值为1，故C正确；对于D，当P在椭圆的长轴端点时，∠F1PF2＝0；当P不在长轴端点时，0<∠F1PF2<π，利用余弦定理可知cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(4a2－4c2－2|PF1||PF2|,2|PF1||PF2|)＝eq\f(2b2,|PF1||PF2|)－1≥eq\f(2b2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2)－1＝eq\f(2b2,a2)－1，当|PF1|＝|PF2|，即P在椭圆的短轴端点时，cos∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大，故D正确．(2)(2023·东三省四市教研体模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)过点(－2,1)，则其渐近线方程为________．答案x±y＝0解析因为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)过点(－2,1)，即有eq\f(4,a2)－eq\f(1,3)＝1，解得a＝eq\r(3)或a＝－eq\r(3)(舍去)，而b＝eq\r(3)，故渐近线方程y＝±eq\f(b,a)x＝±x，即x±y＝0.考向2离心率问题例3(2023·新高考全国Ⅰ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，则C的离心率为________．答案eq\f(3\r(5),5)解析方法一依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝eq\f(|AF1|,|AB|)＝eq\f(4a,5a)＝eq\f(4,5)，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝eq\f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq\f(4,5)，整理得5c2＝9a2，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3\r(5),5).方法二依题意，以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为eq\o(F2A,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(F2B,\s\up6(→))，所以(x0－c，y0)＝－eq\f(2,3)(－c，t)，则x0＝eq\f(5,3)c，y0＝－eq\f(2,3)t，所以eq\o(F1A,\s\up6(→))＝(x0＋c，y0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)c，－\f(2,3)t))，eq\o(F1B,\s\up6(→))＝(c，t)，又eq\o(F1A,\s\up6(→))⊥eq\o(F1B,\s\up6(→))，所以eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F1B,\s\up6(→))＝eq\f(8,3)c2－eq\f(2,3)t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则eq\f(\f(25,9)c2,a2)－eq\f(\f(4,9)t2,b2)＝1，整理得eq\f(25c2,9a2)－eq\f(4t2,9b2)＝1，则eq\f(25c2,9a2)－eq\f(16c2,9b2)＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝eq\f(3\r(5),5)或e＝eq\f(\r(5),5)(舍去)，故e＝eq\f(3\r(5),5).规律方法(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．跟踪演练2(1)(多选)下列关于双曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1说法正确的是()A．实轴长为6B．与双曲线4y2－9x2＝1有相同的渐近线C．焦点到渐近线的距离为4D．与椭圆eq\f(y2,15)＋eq\f(x2,2)＝1有同样的焦点答案ABD解析由题意，双曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1满足a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2，于是2a＝6，故A选项正确；双曲线的焦点在y轴上，故渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(3,2)x，而双曲线4y2－9x2＝1焦点也在y轴，故渐近线为y＝±eq\f(\f(1,2),\f(1,3))x＝±eq\f(3,2)x，即它们渐近线方程相同，B选项正确；双曲线eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\r(13)))，不妨取其中一个焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(13)))和一条渐近线y＝eq\f(3,2)x，根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线的距离为eq\f(2\r(13),\r(32＋－22))＝2，C选项错误；椭圆eq\f(y2,15)＋eq\f(x2,2)＝1的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\r(13)))，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确．(2)(2023·衡阳名校协作体模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作直线l与椭圆相交于M，N两点，∠MF2N＝90°，且4|F2N|＝3|F2M|，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(5),5)答案D解析如图所示，设|F1F2|＝2c，∵4|F2N|＝3|F2M|，设|F2N|＝3t，则|F2M|＝4t，在Rt△F2MN中，|MN|＝eq\r(|F2N|2＋|F2M|2)＝5t，由椭圆定义可知|F1N|＝2a－3t，|F1M|＝2a－4t，|F1N|＋|F1M|＝|MN|＝4a－7t＝5t，解得a＝3t，∴|F1N|＝2a－3t＝3t＝|F2N|，|F1M|＝2a－4t＝2t，在△F1NF2中，可得cos∠NF1F2＝eq\f(c,3t)，在△F1MF2中，由余弦定理可得cos∠MF1F2＝eq\f(c2－3t2,2ct)，∵∠NF1F2＋∠MF1F2＝π，∴cos∠NF1F2＋cos∠MF1F2＝0，即eq\f(c,3t)＋eq\f(c2－3t2,2ct)＝0，解得c＝eq\f(3\r(5)t,5)，∴椭圆离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5).考点三抛物线的几何性质及应用核心提炼抛物线的焦点弦的几个常见结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)当AB⊥x轴时，弦AB的长最短为2p.例4(1)(多选)(2023·常德模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则()A．p＝2 B．|AB|≥4C.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－4 D．k1k2＝－4答案ABD解析因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1,2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，设直线l：x＝my＋1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋1，))消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；因为eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；k1k2＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－4，故D正确．(2)(2023·南昌模拟)首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧eq\o(QM,\s\up8(︵))组成，如图所示．假设圆弧eq\o(QM,\s\up8(︵))所在圆的方程为C：(x＋25)2＋(y－2)2＝162，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45°且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如图所示，则该抛物线的轨迹方程为()A．y2＝－32(x－1)B．y＝－eq\f(1,64)x2－3C．x2＝－32(y－1)D．x2＝－36y＋4答案C解析由于某运动员在起跳点M以倾斜角为45°且与圆C相切的直线方向起跳，故kCM＝－1，又圆C的圆心为C(－25,2)，所以直线CM所在的方程为y－2＝－(x＋25)，代入(x＋25)2＋(y－2)2＝162，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－16，,y＝－7))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－34，,y＝11))(舍去，离y轴较远的点)，所以点M的坐标为(－16，－7)．由于起跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，故设抛物线方程为y＝ax2＋c，则y′＝2ax，则由M点处切线斜率为1可得－32a＝1，所以a＝－eq\f(1,32)，又－7＝－eq\f(1,32)(－16)2＋c，解得c＝1，所以该抛物线的轨迹方程为y＝－eq\f(1,32)x2＋1，即x2＝－32(y－1)．规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算．跟踪演练3(1)苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1所示)，“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|＝30m，|AB|＝60m，点D到直线AB的距离为150m，则此抛物线顶端O到AB的距离为()A．180m B．200mC．220m D．240m答案B解析以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意设D(15，h)，h<0，B(30，h－150)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(152＝－2ph，,302＝－2ph－150，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝－50，,p＝2.25，))所以此抛物线顶端O到AB的距离为50＋150＝200(m)．(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x上过焦点的两个不同的点，O为坐标原点，焦点为F，则()A．焦点F的坐标为(4,0)B．|AB|＝x1＋x2＋4C．y1y2＝－8D.eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(1,2)答案BD解析由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2,0)，故A错误；由焦半径公式可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确；设直线l的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，故C错误；eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(1,x1＋2)＋eq\f(1,x2＋2)＝eq\f(1,\f(y\o\al(2,1),8)＋2)＋eq\f(1,\f(y\o\al(2,2),8)＋2)＝eq\f(8,y\o\al(2,1)＋16)＋eq\f(8,y\o\al(2,2)＋16)＝eq\f(8y\o\al(2,1)＋8×16＋8y\o\al(2,2)＋8×16,y\o\al(2,1)y\o\al(2,2)＋16y\o\al(2,1)＋16y\o\al(2,2)＋162)＝eq\f(8y1＋y22－16y1y2＋162,y1y22＋16y1＋y22－32y1y2＋162)＝eq\f(8×8m2＋162＋162,162＋16×8m2＋32×16＋162)＝eq\f(1,2)，故D正确．专题强化练一、单项选择题1．(2023·安徽A10联盟模拟)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(3),2)答案D解析由题意得，2a＝4b，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).2．(2023·成都模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为eq\r(5)，则它的渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±eq\f(\r(5),2)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±eq\r(6)x答案C解析设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，因为eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，所以eq\f(b2,a2)＝4，则eq\f(b,a)＝2，所以渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(1,2)x.3．(2023·宁德质检)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上一个动点，A(－1,3)，则|PF|＋|PA|的最小值为()A．3B．4C．5D．6答案B解析由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0,1)，准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于Q，如图所示，由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|，所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|，则当A，P，Q三点共线时，|PQ|＋|PA|取得最小值，所以|PF|＋|PA|的最小值为3－(－1)＝4.4．(2023·泉州模拟)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率等于()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\f(3,2)C.eq\r(3) D．3答案A解析因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，由对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，且∠F1B1F2＝120°，所以c＝eq\r(3)b，可得c2＝3b2＝3(c2－a2)，整理得eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,2)，即C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2).5.(2023·厦门模拟)比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内(含边界)有一点A，若平行光与桌面夹角为30°，球的半径为R，则点A到球与桌面切点距离的最大值为()A．(4－eq\r(3))R B．3RC．2eq\r(3)R D．(2＋eq\r(3))R答案D解析由题意，如图所示，则∠BAC＝30°，∠BAO＝15°，∠AOB＝75°，所以A到球与桌面切点距离的最大值为|AB|＝tan75°·R＝tan(30°＋45°)·R＝eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°·tan30°)·R＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))·R＝(2＋eq\r(3))R.6．(2023·沧州模拟)焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上有一点P(2,2p)，O为坐标原点，则满足|MP|＝|MO|＝|MF|的点M的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(7,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,4)))答案B解析将点P的坐标代入抛物线中得(2p)2＝2p×2，解得p＝1，则P(2,2)，所以OP的斜率为1，且OP的中点为(1,1)，则OP的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，又OF的垂直平分线方程为x＝eq\f(1,4)，|MP|＝|MO|＝|MF|，则点M为OP的垂直平分线和OF的垂直平分线的交点，所以点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(7,4))).7．(2023·浙江数海漫游模拟)已知F是椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左焦点，点M在C上，N在圆P：x2＋(y－3)2＝2x上，则|MF|－|MN|的最大值是()A．2 B.eq\r(10)－1C.eq\r(13)－1 D.eq\r(13)＋1答案A解析由圆P：x2＋(y－3)2＝2x，可得(x－1)2＋(y－3)2＝1，可得圆P的圆心坐标为P(1,3)，半径r＝1，由椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，可得a＝2，设椭圆的右焦点为F1，根据椭圆的定义可得|MF|＝2a－|MF1|，所以|MF|－|MN|＝2a－(|MF1|＋|MN|)，又由|MN|min＝|MP|－r，如图所示，当点P，M，N，F1四点共线时，即P，N′，M′，F1时，|MF1|＋|MN|取得最小值，(|MF1|＋|MN|)min＝(|MF1|＋|MP|－r)＝|PF1|－r＝3－1＝2，所以(|MF|－|MN|)max＝2×2－2＝2.8．(2023·聊城模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)b，则C的离心率为()A.eq\r(3)＋2 B.eq\r(2)＋2C.eq\r(3)＋1 D.eq\r(2)＋1答案A解析由题意，不妨设点A在第一象限，由双曲线的性质可得，直线AF和直线BF关于x轴对称，所以A和B关于x轴对称，又|AB|＝2eq\r(3)b，设A(x1，eq\r(3)b)，x1>0，又直线AF的方程为y＝－eq\f(b,a)(x－c)，则eq\r(3)b＝－eq\f(b,a)(x1－c)，解得x1＝c－eq\r(3)a，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\r(3)a，\r(3)b))，由点A在双曲线C上，得eq\f(c－\r(3)a2,a2)－eq\f(\r(3)b2,b2)＝1，化简得c2－2eq\r(3)ac－a2＝0，解得c＝(eq\r(3)＋2)a或c＝(eq\r(3)－2)a，又因为c>a>0，所以c＝(eq\r(3)＋2)a，则双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)＋2.二、多项选择题9．已知双曲线E：x2－eq\f(y2,6)＝1，则()A．E的焦距为eq\r(7)B．E的虚轴长是实轴长的eq\r(6)倍C．双曲线eq\f(y2,6)－x2＝1与E有相同的渐近线D．点(eq\r(7)，0)到E的一条渐近线的距离为eq\r(6)答案BCD解析双曲线E：x2－eq\f(y2,6)＝1的实半轴长、虚半轴长分别为a＝1，b＝eq\r(6)，则半焦距c＝eq\r(7)，对于A，E的焦距为2eq\r(7)，A错误；对于B，E的虚轴长2b＝2eq\r(6)，实轴长2a＝2，则E的虚轴长是实轴长的eq\r(6)倍，B正确；对于C，双曲线eq\f(y2,6)－x2＝1的渐近线方程为y＝±eq\r(6)x，E的渐近线方程为y＝±eq\r(6)x，C正确；对于D，由选项C知，点(eq\r(7)，0)到直线eq\r(6)x±y＝0的距离为eq\f(\r(6)×\r(7),\r(\r(6)2＋12))＝eq\r(6)，D正确．10．(2023·汕头模拟)已知曲线C：x2＋y2cosα＝1，α∈[0，π]，则下列结论正确的是()A．曲线C可能是圆，也可能是直线B．曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆C．当曲线C表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为eq\r(2)答案ABD解析设m＝cosα∈[－1,1]，故曲线C的方程可表示为x2＋my2＝1(－1≤m≤1)．对于A，当m＝0时，曲线C的方程为x2＝1，可得x＝±1，此时曲线C为两条直线；当m＝1时，曲线C的方程为x2＋y2＝1，此时曲线C是一个圆，故A正确；对于B，当0<m<1时，eq\f(1,m)>1，曲线C的方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；对于C，当曲线C表示椭圆时，0<m<1，即0<cosα<1，离心率为e＝eq\r(1－m)＝eq\r(1－cosα)，则α越大，椭圆越扁，故C错误；对于D，当－1≤m<0时，－eq\f(1,m)≥1，曲线C的方程为x2－eq\f(y2,－\f(1,m))＝1，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，此时离心率为e＝eq\r(1－\f(1,m))，由－1≤m<0，可得e＝eq\r(1－\f(1,m))≥eq\r(2)，即它的离心率有最小值，且最小值为eq\r(2)，故D正确．11．设椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是()A．离心率e＝eq\f(\r(2),2)B．|PF1|的最小值为4－eq\r(2)C．∠F1PF2的大小可以是eq\f(π,3)D．满足△PF1F2为等腰三角形的点P有6个答案ACD解析由椭圆方程知a＝2，b＝eq\r(2)，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(2).对于A，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，A正确；对于B，∵F1(－c,0)为椭圆左焦点，∴|PF1|min＝a－c＝2－eq\r(2)，B错误；对于C，当P为椭圆上、下顶点时，∠F1PF2取到最大值，此时|PF1|＝|PF2|＝2，|F1F2|＝2eq\r(2)，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴∠F1PF2＝eq\f(π,2)，则当P在椭圆上运动时，∠F1PF2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠F1PF2的大小可以是eq\f(π,3)，C正确；对于D，当P为椭圆上、下顶点时，|PF1|＝|PF2|＝2，满足△PF1F2为等腰三角形；∵|PF1|∈[a－c，a＋c]，即|PF1|∈[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]，∴|PF1|＝|F1F2|＝2c＝2eq\r(2)能成立，根据椭圆对称性知，此时有两个点满足题意；同理可知|PF2|＝|F1F2|时，有两个点满足题意；∴满足△PF1F2为等腰三角形的点P有6个，D正确．12．(2023·益阳模拟)已知直线l过抛物线C：x2＝－4y的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA，yA))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB，yB))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xG，yG))，则下列选项正确的是()A．yAyB＝1B．以线段AB为直径的圆与直线y＝eq\f(3,2)相离C．当eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))时，|AB|＝eq\f(9,4)D．△GAB面积的取值范围为(4，＋∞)答案AB解析抛物线C：x2＝－4y的焦点F(0，－1)，准线方程为y＝1，设直线l的方程为y＝kx－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＝－4y))消去y得x2＋4kx－4＝0，于是得xA＋xB＝－4k，xAxB＝－4，yAyB＝eq\f(x\o\al(2,A),－4)·eq\f(x\o\al(2,B),－4)＝1，A正确；以线段AB为直径的圆的圆心为(x0，y0)，则y0＝eq\f(yA＋yB,2)＝eq\f(kxA＋xB－2,2)＝－2k2－1，则点(x0，y0)到直线y＝eq\f(3,2)的距离d＝2k2＋eq\f(5,2)，由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|BF|＝2－(yA＋yB)＝4k2＋4，显然d>eq\f(1,2)|AB|，即以线段AB为直径的圆与直线y＝eq\f(3,2)相离，B正确；当eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))时，有0－xA＝2(xB－0)，即xA＝－2xB，而xA＋xB＝－4k，xAxB＝－4，于是得k2＝eq\f(1,8)，所以|AB|＝4k2＋4＝eq\f(9,2)，C不正确；由y＝－eq\f(1,4)x2求导得y′＝－eq\f(1,2)x，于是得抛物线C在A处的切线方程为y－yA＝－eq\f(xA,2)(x－xA)，即y＝－eq\f(xA,2)x＋eq\f(1,4)xeq\o\al(2,A)，同理，抛物线C在B处的切线方程为y＝－eq\f(xB,2)x＋eq\f(1,4)xeq\o\al(2,B)，联立两切线方程解得xG＝eq\f(1,2)(xA＋xB)＝－2k，yG＝－eq\f(1,4)xAxB＝1，点G(－2k，1)到直线l：kx－y－1＝0的距离h＝eq\f(|－2k·k－2|,\r(k2＋1))＝2eq\r(k2＋1)，于是得△GAB的面积S△GAB＝eq\f(1,2)|AB|h＝eq\f(1,2)(4k2＋4)·2eq\r(k2＋1)＝≥4，当且仅当k＝0时等号成立，所以△GAB面积的取值范围为[4，＋∞