人教b版高中数学选修1-1同步练习题及答案全册汇编

人B版高中数学选修1-1同步习题目录第1章1.1.1~1.1.2同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.3.1同步练习第1章1.3.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1~3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.2.1~3.2.2同步练习第3章3.2.3同步练习第3章3.3.1同步练习第3章3.3.2第1课时同步练习第3章3.3.2第2课时同步练习第3章3.3.3同步练习第3章章末综合检测人教B版选修1-1同步练习1．下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，xeq\o\al(2,0)>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0答案：B2．下列命题是真命题的为()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则eq\r(x)＝eq\r(y)D．若x<y，则x2<y2解析：选A.由eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，得x＝y，A正确，B、C、D错误．3．判断下列命题的真假：①3≥3：________；②100或50是10的倍数：________.答案：①真命题②真命题4．(1)用符号“∀”表示命题“不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根”；(2)用符号“∃”表示命题“存在实数x，使sinx>tanx”．解：(1)∀m∈R，x2＋x－m＝0有实根．(2)∃x0∈R，sinx0>tanx0.一、选择题1．下列命题为存在性命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行四面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3答案：D2．下列命题是真命题的是()A．{∅}是空集B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N||x－1|<3))是无限集C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数解析：选D.x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．3．(2010年高考湖南卷)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0解析：选C.对于A，当x＝1时，lgx＝0，正确；对于B，当x＝eq\f(π,4)时，tanx＝1，正确；对于C，当x<0时，x3<0，错误；对于D，∀x∈R,2x>0，正确．4．下列命题中，是正确的全称命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋B．菱形的两条对角线相等C．∃x0∈R，eq\r(x\o\al(2,0))＝x0D．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A中含有全称量词“任意”，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C是特称命题．5．下列存在性命题不正确的是()A．有些不相似的三角形面积相等B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大D．有一个实数的倒数是它本身解析：选B.B中因为x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，所以不存在x使x2＋x＋1≤0；A中等底等高的三角形面积相等但不一定相似；C中a>0时，成立；D中1的倒数是它本身．6．下列命题中真命题的个数为()①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．二、填空题7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题．(1)________x∈R，使x2＋2x＋1≥0；(2)________α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.解析：(1)中(x＋1)2≥0所以对∀x∈R恒成立；(2)为存在性命题．答案：(1)∀；(2)∃8．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(只填序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．答案：②③②③9．给出下列几个命题：①若x，y互为相反数，则x＋y＝0；②若a>b，则a2>b2；③若x>－3，则x2＋x－6≤0；④若a，b是无理数，则ab也是无理数．其中的真命题有________个．解析：①是真命题．②设a＝1>b＝－2，但a2<b2，假命题．③设x＝4>－3，但x2＋x－6＝41>0，假命题．④设a＝(eq\r(2))eq\r(2)，b＝eq\r(2)，则ab＝(eq\r(2))2＝2是有理数，假命题．答案：1三、解答题10．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)一定有整数x，y，使得3x＋2y＝10成立；(2)对所有的实数x，都能使x2＋2x＋2≤0成立．解：(1)∃x，y∈Z，使3x＋2y＝10；(2)∀x∈R，有x2＋2x＋2≤0.11．判断下列语句是不是全称命题或存在性命题，如果是，找出命题中的量词．(1)中国的所有党派都由中国共产党统一领导；(2)0不能作除数；(3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3；(4)至少有一个x∈Z，使x能被2和3整除．解：(1)全称命题，命题中的量词是“所有”；(2)是命题，但不是全称命题或者存在性命题；(3)存在性命题，命题中的量词是“存在一个”；(4)存在性命题，命题中的量词是“至少有一个”．12．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p正确且q正确的m的取值范围．解：若p为真，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4>0，,m>0，))解得m>2.若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1<m<3.p真，q真，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>2，,1<m<3.))故m的取值范围是(2,3)．

人教B版选修1-1同步练习1．如果命题“p∨q”是真命题，那么()A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q同为真命题或同为假命题C．命题p与命题q只有一个是真命题D．命题p与命题q至少有一个是真命题答案：D2．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”，都为真命题的是()A．p：4＋4＝9，q：7＞4B．p：a∈{a，b，c}；q：{a}{a，b，c}C．p：15是质数；q：8是12的约数D．p：2是偶数；q：2不是质数答案：B3．判断下列命题的形式(从“p∨q”、“p∧q”中选填一种)：(1)6≤8：________；(2)集合中的元素是确定的且是无序的：________.答案：p∨qp∧q4．分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假．(1)8或6是30的约数；(2)矩形的对角线垂直平分．解：(1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真)．“p或q”为真．(2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p且q”为假．一、选择题1．下列命题是真命题的是()A．5＞2且7＞8 B．3＞4或3＜4C．7－1≥7 D．方程x2－3x＋4＝0有实根解析：选B.虽然p：3＞4假，但q：3＜4真，所以p∨q为真命题．2．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么()A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题p，q至少有一个是真命题解析：选C.p∨q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题；p∧q为假命题，则p，q中至少有一个是假命题，因此，p，q中必有一个真命题，一个假命题．因此选C.3．命题p：x＝π是y＝|sinx|的对称轴．命题q：2π是y＝|sinx|的最小正周期．下列命题中，是真命题的个数是()①p∨q②p∧q③p④qA．0 B．1C．2 D．3答案：C4．“xy≠0”指的是A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一个不为0D．不都是0解析：选A.x、y都不为0，即x≠0且y≠0.5．已知集合A＝{x|p(x)}＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|q(x)}＝{x|x是直角三角形}，用特征性质描述法表示A∩B是()A．{x|p且q}＝{x|x是等腰直角三角形}B．{x|p或q}＝{x|x是等腰三角形或直角三角形}C．{x|p且q}＝{x|x是等腰三角形}D．{x|p或q}＝{x|x是直角三角形}答案：A6．若命题p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1被直线x＝1平分；q：在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B，则下列结论中正确的是A．“p∨q”为假 B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真 D．以上都不对答案：B二、填空题7．“10既是自然数又是偶数”为________形式．解析：注意逻辑联结词“且”的含义．答案：p∧q8．用“或”、“且”填空，使命题成为真命题：(1)若x∈A∪B，则x∈A________x∈B；(2)若x∈A∩B，则x∈A________x∈B；(3)若ab＝0，则a＝0________b＝0；(4)a，b∈R，若a＞0________b＞0，则ab＞0.答案：(1)或(2)且(3)或(4)且9．设命题p：2x＋y＝3；q：x－y＝6.若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.解析：若p∧q为真命题，则p，q均为真命题，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝3，,x－y＝6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－3.))答案：3－3三、解答题10．判断下列命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)－1是偶数或奇数．解：(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．因为p真、q真，则p∧q真，所以该命题是真命题．(2)此命题是p∨q的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q为真命题，所以p∨q为真命题，故原命题为真命题．11．分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”形式的命题的真假．(1)p：正多边形有一个内切圆；q：正多边形有一个外接圆．(2)p；角平分线上的点到角的两边的距离不相等；q：线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．(3)p：2∈{2,3,4}；q：{矩形}∩{菱形}＝{正方形}．(4)p：正六边形的对角线都相等；q：凡是偶数都是4的倍数．解：(1)因为p真q真，所以“p∧q”真，“p∨q”真．(2)因为p假q真，所以“p∧q”假，“p∨q”真．(3)因为p真q真，所以“p∧q”真，“p∨q”真．(4)因为p假q假，所以“p∧q”假，“p∨q”假．12．已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．解：∵y＝ax在R上单调递增，∴p：a＞1；又不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立，∴Δ＜0，即a2－4a＜0，∴0＜a＜4，∴q：0＜a而命题p∧q为假，p∨q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．(1)若p真，q假，则a≥4；(2)若p假，q真，则0＜a≤1，∴a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．

人教B版选修1-1同步练习1．(2011年高考辽宁卷)已知命题p：∃n∈N,2n＞1000，则¬p为()A．∀n∈N,2n≤1000 B．∀n∈N,2n＞1000C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n＜1000答案：A2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是()A．一次函数都不是单调函数B．非一次函数都不是单调函数C．有些一次函数是单调函数D．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．3．A⃘(A∪B)是________形式；该命题是________(填“真”“假”)命题．答案：“¬p”假4．写出下列命题的否定，并判断真假(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)有些实数的绝对值是正数．解：(1)存在一个矩形不是平行四边形；假命题；(2)所有的实数的绝对值都不是正数；假命题．一、选择题1．如果命题“p∨q”与命题“¬p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．¬p为真，则p为假，∴q是真命题．2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是A．不存在x∈R，使得x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，使得x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，使得x3－x2＋1＞0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0解析：选C.全称命题的否定为存在性命题．3．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有()A．p真q真 B．p假q假C．p真q假 D．p假q真解析：选B.∵“p∨q”的否定为真，则p∨q为假，即p、q均为假．故选B.4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(¬p)∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q)解析：选D.p为真，q为假，所以¬q为真，(¬p)∨(¬q)为真．5．下列命题的否定是假命题的是()A．p：能被3整除的整数是奇数；¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有些三角形为正三角形；¬p：所有的三角形都不是正三角形D．p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0；¬p：∀x∈R，都有x2＋2x＋2>0解析：选C.p为真命题，则¬p为假命题．6．给出两个命题：p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若eq\f(1,x)<1，则x>1，那么在下列四个命题中，真命题是()A．(¬p)∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q)解析：选D.对于p，函数对应的方程x2－x－1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0.可知函数有两个不同的零点，故p为真．当x<0时，不等式eq\f(1,x)<1恒成立；当x>0时，不等式的解为x>1.故不等式eq\f(1,x)<1的解为x<0或x>1.故命题q为假命题．所以只有(¬p)∨(¬q)为真．故选D.二、填空题7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：________.解析：命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”解析：原命题为真，所以它的否定为假．也可以用线性规划的知识判断．答案：∃x0，y0∈R，x0＋y0>1∀x，y∈R，x＋y≤1假9．命题“方程x2＝4的解是x＝2或x＝－2”的否定是____________________________解析：x2＝4的解是x＝2或x＝－2，则它的否定：解不是2也不是－2.答案：方程x2＝4的解不是2也不是－2.三、解答题10．写出下列各命题的否定：(1)x＝±3；(2)圆既是轴对称图形又是中心对称图形；(3)a，b，c都相等．解：(1)x≠3，且x≠－3；(2)圆不是轴对称图形或不是中心对称图形；(3)a，b，c不都相等，即a≠b或b≠c或c≠a，即a，b，c中至少有两个不相等．11．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．解：(1)¬p：∃x0∈{二次函数}，x0的图象不是抛物线．假命题．(2)¬p：在直角坐标系中，∃x0∈{直线}，x0不是一次函数的图象．真命题．(3)¬p：∃a0，b0∈R，方程a0x＋b0＝0无解或至少有两解．真命题．12．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0，,x2＋2x－8＞0.))若¬p则¬q成立，求实数a的取值范围．解：由x2－4ax＋3a2(x－3a)(x－a)又a＞0，所以a＜x＜3a由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－6≤0,x2＋2x－8＞0))，得2＜x≤3，若¬p则¬q成立，设A＝{x|¬p}，B＝{x|¬q}，则A⊆B，又A＝{x|¬p}＝{x|x≤a或x≥3aB＝{x|¬q}＝{x≤2或x＞3}，则0＜a≤2，且3a＞3，所以实数a的取值范围是{a|1＜a≤2}

人教B版选修1-1同步练习1．(2011年高考福建卷)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A.若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1⇒a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件，故选A.2．“θ＝0”是“sinθ＝0”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sinθ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sinθ＝0”3．用符号“⇒”或“”填空：(1)整数a能被4整除________a的个位数为偶数；(2)a>b________ac2>bc2.答案：(1)⇒(2)4．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”解：当a＝2时，直线ax＋2y＝0，即2x＋2y＝0与直线x＋y＝1平行，因为直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，所以eq\f(a,2)＝1，a＝2，综上，“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充要条件一、选择题1．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，所以NM，故a∈M是a∈N的必要不充分条件．2．(2010年高考福建卷)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4是|a|＝5”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A.由x＝4知|a|＝eq\r(42＋32)＝5；反之，由|a|＝eq\r(x2＋32)＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件，故选A.3．“b＝c＝0”是“二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点⇒c＝0，b不一定等于0，故选A.4．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，qp，所以q是p的必要条件．5．已知条件p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，则2＜x＜3.由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但pq．故选A.6．下列所给的p、q中，p是q的充分条件的个数是()①p：x>1，q：－3x<－3；②p：x>1，q：2－2x<2；③p：x＝3，q：sinx>cosx；④p：直线a，b不相交，q：a∥b.A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.①由于p：x>1⇒q：－3x<－3，所以p是q的充分条件；②由于p：x>1⇒q：2－2x<2(即x>0)，所以p是q的充分条件；③由于p：x＝3⇒q：sinx>cosx，所以p是q的充分条件；④由于p：直线a，b不相交q：a∥b，所以p不是q的充分条件．二、填空题7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<28．在△ABC中，“sinA＝sinB”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sinA＝sinB可得2RsinA＝2RsinB，即a＝b；反之也成立．答案：充要9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p是q的必要条件，但不是充分条件．11．命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，eq\f(1,x)>eq\f(1,y)，则p是q的什么条件？解：p：x>0，y<0，则q：x>y，eq\f(1,x)>eq\f(1,y)成立；反之，由x>y，eq\f(1,x)>eq\f(1,y)⇒eq\f(y－x,xy)>0，因y－x<0，得xy<0，即x、y异号，又x>y，得x>0，y<0.所以“x>0，y<0”是“x>y，eq\f(1,x)>eq\f(1,y)”的充要条件．12．已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时(1)p是q的充分不必要条件；(2)p是q的必要不充分条件；(3)p是q的充要条件？解：由p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，由q：B＝[1,2]．(1)∵p是q的充分不必要条件，∴A⊆B且A≠B，故A＝[1，a]⇒1≤a＜2.(2)∵p是q的必要不充分条件，∴B⊆A且A≠B，故A＝[1，a]且a＞2⇒a＞2.(3)∵p是q的充要条件，∴A＝B⇒a＝2.

人教B版选修1-1同步练习1．命题“若a>0，则eq\f(3a,4a)＝eq\f(3,4)”的逆命题为()A．若a≤0，则eq\f(3a,4a)≠eq\f(3,4) B．若eq\f(3a,4a)≠eq\f(3,4)，则a>0C．若eq\f(3a,4a)≠eq\f(3,4)，则a≤0 D．若eq\f(3a,4a)＝eq\f(3,4)，则a>0解析：选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调．2．(2011年高考山东卷)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：选A.a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2＜3.3．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．答案：若A∪B≠B，则A⃘B4．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解：(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”；(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根∴该命题是真命题．一、选择题1．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是A．若x≤y，则x2≤y2 B．若x>y，则x2<y2C．若x2≤y2，则x≤y D．若x<y，则x2<y2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若△ABC有一内角为eq\f(π,3)，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为eq\f(π,3)”，它是真命题．故选D.3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是()A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真解析：选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的()A．逆命题 B．逆否命题C．否命题 D．以上判断都不对解析：选B.命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若¬y，则¬x，所以p是r的逆否命题．所以选B.5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①②正确．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________答案：若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题②“若a＋b是无理数，则a，b都是无理数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题其中真命题的序号是________．答案：③9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．答案：②三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是质数．解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是质数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是质数，假命题；逆否命题：若一个数是质数，则它一定不是正偶数，假命题．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假解：∵m>0，∴12m>0，∴12∴方程x2＋2x－3mΔ＝12m∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题

人教B版选修1-1第1章章末综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．0 B．2C．3 D．4解析：选B.原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真．故共有2个真命题．2．若命题p：x＝2且y＝3，则¬p为()A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p：x≠2或y≠3.故选A.3．命题“若a>b，则a－eq\r(5)>b－eq\r(5)”的逆否命题是()A．若a<b，则a－eq\r(5)<b－eq\r(5)B．若a－eq\r(5)>b－eq\r(5)，则a>bC．若a≤b，则a－eq\r(5)≤b－eq\r(5)D．若a－eq\r(5)≤b－eq\r(5)，则a≤b解析：选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论，把原命题结论的否定作为条件而构成的．4．下列语句中，命题和真命题的个数分别是()①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数不是奇数就是偶数；③x＋y是有理数，则x、y也都是有理数；④求证：x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数根．A．3,1 B．2,2C．2,0 D．2,1解析：选C.命题是②、③，它们都是假命题，所以选C.5．下列全称命题中假命题的个数是()①2x＋1是整数(x∈R)②对所有的x∈R，x>3③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.对于①，当x＝eq\f(1,4)时，2x＋1＝eq\f(3,2)不是整数，假命题．对于②，当x＝0时，0<3，假命题．对于③，当x∈Z时，2x2是偶数，进而2x2＋1是奇数，所以①②是假命题，故选C.6．“x>0”是“eq\r(3,x2)>0”成立的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件解析：选A.因为当x>0时，一定有eq\r(3,x2)>0，但当eq\r(3,x2)>0时，x<0也成立，因此，x>0是eq\r(3,x2)>0成立的充分非必要条件．7．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0,1)时，lgx<0<1，正确；对于D，正确．8．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3解析：选A.由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，故选A.9．f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)、g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B.若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(x)一定是偶函数，但h(x)是偶函数，并不能保证f(x)、g(x)均为偶函数，例如：f(x)＝x，g(x)＝－x，f(x)＋g(x)＝0是偶函数，但f(x)与g(x)均为奇函数．10．已知p：x＝1，¬q：x2＋8x－9＝0，则下列为真命题的是()A．若p，则q B．若¬q，则pC．若q，则¬p D．若¬p，则q解析：选C.p：x＝1，q：x≠1且x≠－9，易判断A、B为假命题，∵x2＋8x－9≠0⇒x≠1，∴选项C正确．11．下列说法错误的是()A．命题“若m>0，则方程x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋3x－m＝0无实根，则m≤0B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析：选C.C项p∧q为假命题，则只要p、q中至少有一个为假即可．12．已知命题p：存在x∈R，使tanx＝eq\f(\r(2),2)，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题．其中正确的是()A．②③ B．①②④C．①③④ D．①②③④解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13．命题p：内接于圆的四边形的对角互补，则p的否命题是________，非p是________．答案：不内接于圆的四边形的对角不互补内接于圆的四边形的对角不互补14．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x0，使得xeq\o\al(2,0)＝8：________.答案：(1)∀x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π(2)∃x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝815．a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：充要16．给出下列命题：①已知a＝(3,4)，b＝(0，－1)，则a在b方向上的投影为－4；②函数y＝tan(x＋eq\f(π,3))的图象关于点(eq\f(π,6)，0)成中心对称；③若a≠0，则a·b＝a·c是b＝c成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确命题的序号都填上)解析：①∵|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－4，∴cos〈a，b〉＝－eq\f(4,5)，∴a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝－4，①正确．②当x＝eq\f(π,6)时，tan(x＋eq\f(π,3))无意义，由正切函数y＝tanx的图象的性质知，②正确．③当a≠0，b＝c时，a·b＝a·c成立．(当a≠0，a·b＝a·c时不一定有b＝c.)∴③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知命题p：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b＝c.写出其否定和否命题，并说明真假．解：¬p：∃非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b≠c.¬p为真命题．否命题：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)≠0，则b≠c.否命题为真命题．18．指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p：{x|x>－2或x<3}；q：{x|x2－x－6<0}；(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数．解：(1)∵{x|x>－2或x<3}＝R，{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，∴{x|x>－2或x<3}{x|－2<x<3}，而{x|－2<x<3}⇒{x|x>－2或x<3}．∴p是q的必要不充分条件．(2)∵a、b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数a、b都是奇数，∴p是q的充分不必要条件．19．根据条件，判断“p∨q”，“p∧q”，“¬p”的真假：(1)p：9是144的约数，q：9是225的约数；(2)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋1≤0的解集为∅.解：(1)p∨q：9是144或225的约数．p∧q：9是144与225的公约数．¬p：9不是144的约数．∵p真，q真，∴p∨q为真，p∧q为真，而¬p为假．(2)p∨q：不等式x2－2x＋1>0的解集为R或不等式x2－2x＋1≤0的解集为∅.p∧q：不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋1≤0的解集为∅.¬p：不等式x2－2x＋1>0的解集不为R.∵p假，q假，∴p∨q为假，p∧q为假，而¬p为真．20．已知p：A＝{x|a－4<x<a＋4}，q：B＝{x|x2－4x＋3<0}，且x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．解：因为p：A＝{x|a－4<x<a＋4}，q：B＝{x|1<x<3}．又因为x∈A是x∈B的必要条件，所以q⇒p，即B⊆A.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4≤1,a＋4≥3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5，,a≥－1，))即－1≤a≤5.∴实数a的取值范围是{a|－1≤a≤5}．21．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若p∧q和¬q都是假命题，求x的值．解：∵p∧q为假命题，∴p、q至少有一个为假．∵¬q为假，∴q为真，即p假q真，∴x2－x<6且x∈Z，∴－2<x<3且x∈Z，即x＝－1,0,1,2.22．π是圆周率，a、b、c、d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.(1)写出p的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假；(2)判断“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？解：(1)逆命题：若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d，真命题．逆否命题：若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d，真命题．否命题：若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d，真命题．(2)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．充分性：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＝c⇒aπ＝cπ,b＝d))⇒aπ＋b＝cπ＋d；必要性：aπ＋b＝cπ＋d⇒(a－c)π＝d－b，∵d－b∈Q，∴a－c＝0，d－b＝0，即a＝c且b＝d.

人教B版选修1-1同步练习1．设P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4 B．5C．8 D．10答案：D2．椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的焦点坐标是()A．(±4,0) B．(0，±4)C．(±3,0) D．(0，±3)答案：D3．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝6，则椭圆的标准方程为________答案：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝14．已知B、C是两定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．解：以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)．由|BC|＝8，可设B(－4,0)，C(4,0)．由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10>|BC|＝8.因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a＝10，即a＝5，且点A不能在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2所以A点的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．一、选择题1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1 D.eq\f(y2,4)＋x2＝1解析：选A.c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.2．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是()A．20 B．12C．10 D．6解析：选A.∵AB过F1，∴由椭圆定义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|BF1|＋|BF2|＝2a，,|AF1|＋|AF2|＝2a，))∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a3．椭圆eq\f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A．5 B．6C．7 D．8解析：选D.设到另一焦点的距离为x，则x＋2＝10，x＝8.4．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．x2＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1解析：选D.由题意知a2－2＝4，∴a2＝6.∴所求椭圆的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1.5．已知椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4 B．5C．7 D．8解析：选D.焦距为4，则m－2－(10－m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2，∴m＝8.6．椭圆的两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,4)＝1解析：选B.S△PF1F2＝eq\f(1,2)×8b＝12，∴b＝3，又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.二、填空题7．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq\r(15)，则此椭圆的标准方程为________．解析：∵2a＝8，∴a∵2c＝2eq\r(15)，∴c＝eq\r(15)，∴b2＝1.即椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋x2＝1.答案：eq\f(y2,16)＋x2＝18．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，则eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝________.解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以，eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(|BC|＋|AB|,|AC|)＝eq\f(10,8)＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)9．若方程eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－k>0，,k－3>0，,5－k≠k－3，))解得3<k<5且k≠4.答案：3<k<5且k≠4三、解答题10．已知椭圆eq\f(8x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M的纵坐标代入eq\f(8x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1，得eq\f(8x2,81)＋eq\f(4,36)＝1，即x2＝9.∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－5)＝1(a2>5)，把M点坐标代入得eq\f(9,a2)＋eq\f(4,a2－5)＝1，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，解：设所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．∵F1A⊥F2A，∴eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F2A,\s\up6(→))＝0，而eq\o(F1A,\s\up6(→))＝(－4＋c,3)，eq\o(F2A,\s\up6(→))＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2＝eq\r(－4＋52＋32)＋eq\r(－4－52＋32)＝eq\r(10)＋eq\r(90)＝4eq\r(10).∴a＝2eq\r(10)，∴b2＝a2－c2＝(2eq\r(10))2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1.12．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2(1)求此椭圆方程；(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积解：(1)由已知得|F1F2∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)在△PF1F2|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1||PF2|，∴4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1||PF2∴|PF1||PF2|＝12，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin120°＝eq\f(1,2)×12×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).

人教B版选修1-1同步练习1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)C．(－eq\r(6)，0)，(eq\r(6)，0) D．(0，－eq\r(6))，(0，eq\r(6))解析：选D.椭圆方程化为标准式eq\f(y2,6)＋x2＝1，∴a2＝6，且焦点在y轴上．∴长轴端点坐标为(0，－eq\r(6))，(0，eq\r(6))．2．若焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m的值为()A.eq\r(3) B.eq\f(3,2)C.eq\f(8,3) D.eq\f(2,3)解析：选B.∵焦点在x轴上，∴a＝eq\r(2)，b＝eq\r(m)，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(2－m)，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(2－m,2))＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(3,2).3．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于eq\r(5)，则此椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝(eq\r(5))2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝1.答案：eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝14．已知A为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、F2，且与椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有|AF1|∶|AF2|＝3∶1，求该椭圆的离心率．解：设|AF2|＝m，则|AF1|＝3m∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝4又在Rt△AF1F2|F1F2|＝eq\r(|AF1|2－|AF2|2)＝2eq\r(2)m.∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,2a)＝eq\f(2\r(2)m,4m)＝eq\f(\r(2),2).一、选择题1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5、3、0.8 B．10、6、0.8C．5、3、0.6 D．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.∴2a＝10,2b＝6，eq\f(c,a)＝0.8.2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1D．椭圆的方程无法确定解析：选C.a＝5且c＝3，∴b＝4，∴椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1.3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,20)＝1解析：选C.由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.故选C.4．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A．8,2 B．5,4C．5,1 D．9,1解析：选D.因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.5．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(6),3)解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).6．(2010年高考广东卷)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝eq\f(3,5)或e＝－1(舍去)．二、填空题7．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4eq\r(5)的椭圆方程是________．解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，eq\r(5))，(0，－eq\r(5))，故c＝eq\r(5)，又2b＝4eq\r(5)，所以b＝2eq\r(5)，a2＝b2＋c2＝25.答案：eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)＝18．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a，由2a＝12知a又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，故c＝3eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1三、解答题10．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3).解：(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴eq\f(4,a2)＝1，a＝2，∵2a＝2·2b，∴b＝1，∴方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴eq\f(02,a2)＋eq\f(4,b2)＝1，∴b＝2,2a＝2·2b，∴a＝4，∴方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1.综上所述，椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1.(2)由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c,a－c＝\r(3)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3),c＝\r(3))).从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.11.如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的eq\f(2,3)，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，eq\f(2,3)b)，则△MF1F2为直角三角形在Rt△MF1F2|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2即4c2＋eq\f(4,9)b2＝|MF1|2.而|MF1|＋|MF2|＝eq\r(4c2＋\f(4,9)b2)＋eq\f(2,3)b＝2a，整理得3c2＝3a2－2又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(4,9).∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,9)，∴e＝eq\f(\r(5),3).法二：设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则M(c，eq\f(2,3)b)．代入椭圆方程，得eq\f(c2,a2)＋eq\f(4b2,9b2)＝1，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3)，即e＝eq\f(\r(5),3).12.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则F1(－c,0)、F2(c,0)、A(0，b)、B(a,0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)，∴P(－c，eq\f(b2,a))．∵PF2∥AB，且kPF2＝eq\f(\f(b2,a),－c－c)＝eq\f(－b2,2ac)，kAB＝－eq\f(b,a)，∴由kPF2＝kAB，得－eq\f(b2,2ac)＝－eq\f(b,a).∴b＝2c，a＝eq\r(5)c，∴e＝eq\f(\r(5),5).

人教B版选修1-1同步练习1．双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(－3,0)，2b＝4，则双曲线的标准方程是()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1答案：A2．方程x＝eq\r(3y2－1)所表示的曲线是()A．双曲线 B．椭圆C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分解析：选C.依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.3．已知双曲线的焦点在x轴上，且a＋c＝9，b＝3，则它的标准方程是________．答案：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝14．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上；(2)c＝eq\r(6)，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．解：(1)设双曲线方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn<0)．∵P，Q两点在双曲线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＋\f(225,16n)＝1，,\f(256,9m)＋\f(25,n)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－16，,n＝9，))∴所求双曲线的方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.(2)∵焦点在x轴上，c＝eq\r(6)，∴设所求双曲线的方程为eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,6－λ)＝1(0<λ<6)．∵双曲线过点(－5,2)，∴eq\f(25,λ)－eq\f(4,6－λ)＝1，解得λ＝5或λ＝30(舍去)，∴所求双曲线的方程为eq\f(x2,5)－y2＝1.一、选择题1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A．双曲线 B．双曲线的一支C．两条射线 D．一条射线解析：选D.由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≤－3) D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)解析：选D.由题意c＝5，a＝3，∴b＝4.∴点P的轨迹方程是eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x≥3)．3．(2010年高考安徽卷)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A．(eq\f(\r(2),2)，0) B．(eq\f(\r(5),2)，0)C．(eq\f(\r(6),2)，0) D．(eq\r(3)，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准形式x2－eq\f(y2,\f(1,2))＝1，所以a2＝1，b2＝eq\f(1,2)，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\f(\r(6),2)，∴右焦点坐标为(eq\f(\r(6),2)，0)．故选C.4．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,a2)＝1与双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值是()A.eq\f(1,2) B．1或－2C．1或eq\f(1,2) D．1解析：选D.依题意：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,0<a2<4，,4－a2＝a＋2.))解得a＝1.故选D.5．k>9是方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示双曲线的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件解析：选B.当k>9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．∴k>9是方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－4)＝1表示双曲线的充分不必要条件．6．双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上一点P到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距离为()A．7B．23C．5或25D．7或23解析：选D.(－5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点，||PF1|－|PF2||＝8，∴|PF1|＝15＋8或15－8，即7或23.二、填空题7．过点(1,1)且eq\f(b,a)＝eq\r(2)的双曲线的标准方程为________．答案：eq\f(x2,\f(1,2))－y2＝1或eq\f(y2,\f(1,2))－x2＝18．椭圆eq\f(x2,34)＋eq\f(y2,n2)＝1和双曲线eq\f(x2,n2)－eq\f(y2,16)＝1有相同的焦点，则实数n的值是________．解析：因为双曲线eq\f(x2,n2)－eq\f(y2,16)＝1的焦点在x轴上，∴c2＝n2＋16，且椭圆eq\f(x2,34)＋eq\f(y2,n2)＝1的焦点在x轴上，∴c2＝34－n2，∴n2＋16＝34－n2，∴n2＝9，∴n＝±3.答案：±39．(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：∵eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，∴当x＝3时，y＝±eq\r(15).又∵F2(4,0)，∴|AF2|＝1，|MA|＝eq\r(15)，∴|MF2|＝eq\r(1＋15)＝4.故填4.答案：4三、解答题10．已知方程eq\f(x2,2－k)＋eq\f(y2,k－1)＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分别求出k的取值范围．解：(1)方程表示双曲线需满足(2－k)(k－1)＜0，解得k＞2或k＜1.即k的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)方程表示椭圆需满足eq\b\lc\{