《函数与映射》课件

函数与映射引言1函数与映射数学中的核心概念，广泛应用于科学、工程、经济等领域。2理解函数建立起输入和输出之间的关系，描述变量之间的对应规律。3探索映射从一个集合到另一个集合的对应关系，揭示不同集合之间的联系。集合与关系集合是数学中最基本的概念之一，它表示一个对象的聚集。集合中的每个元素都是独一无二的，可以是数字、字母、符号、形状或任何其他对象。例如，{1,2,3}是一个包含数字1、2和3的集合。关系是描述两个集合之间或同一个集合内元素之间关联的规则。例如，“大于”是一种关系，它描述了两个数字之间的大小关系。集合的定义集合的定义集合是数学中的一个基本概念，指具有某种共同性质的、确定的、不同的对象的汇集，简单来说，集合就是一个“东西”的堆砌。元素集合中的每一个“东西”称为元素，例如，集合A={1,2,3}中，元素为1,2,3。集合间的关系子集如果集合A中的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集。交集两个集合的交集是由两个集合中所有共同元素组成的集合。并集两个集合的并集是由两个集合中所有元素组成的集合。映射的定义将一个集合中的元素与另一个集合中的元素建立对应关系。映射可以用箭头表示，从源集合指向目标集合。映射的定义需要一个明确的规则，规定了源集合元素与目标集合元素的对应关系。映射的性质唯一性映射中，每个元素只能映射到一个元素，不存在多对一的情况。全域性映射中，定义域中的所有元素都必须被映射到值域中。单射每个值域元素至多对应一个定义域元素，但允许存在未映射的值域元素。满射每个值域元素至少对应一个定义域元素，即值域中的所有元素都被映射到了。1对1映射定义在集合A到集合B的映射f中，若对A中任意两个不同的元素a1和a2，都有f(a1)≠f(a2)，则称f为A到B的1对1映射。性质1对1映射保证了集合A中的每个元素在集合B中都有唯一的对应元素，且集合B中没有元素被多个集合A中的元素对应。例子例如，将自然数集N映射到偶数集2N的映射f(n)=2n，就是一个1对1映射。满映射定义当映射中每个值域中的元素都有对应定义域中的元素时，称为满映射。特点满映射保证了值域中的所有元素都能被定义域中的元素映射到。函数的定义映射关系函数是特殊类型的映射，它将一个集合中的每个元素唯一地映射到另一个集合中的一个元素。定义域和值域函数的定义域是所有输入值的集合，而值域是所有输出值的集合。函数的基本性质定义域函数定义域是指函数自变量可以取值的范围。值域函数值域是指函数因变量可以取值的范围。单调性函数单调性是指函数在定义域内随着自变量的增大或减小，函数值也随之增大或减小。奇偶性函数奇偶性是指函数关于原点或y轴的对称性。函数的基本分类1单值函数对于每一个自变量，只有一个对应的函数值。2多值函数对于每一个自变量，可能有多个对应的函数值。3显函数函数表达式中，因变量用自变量的表达式直接表示。4隐函数函数表达式中，因变量和自变量之间关系用方程表示。恒等函数定义恒等函数是指一个函数，其定义域和值域相同，并且对于任何输入值，其输出值都等于输入值本身。符号通常用符号f(x)=x来表示恒等函数，其中x代表输入值。常函数定义常函数是指其值始终保持不变的函数。无论自变量取何值，函数值始终为一个常数。表达式常函数的表达式通常为f(x)=c，其中c为一个常数。图像常函数的图像是一条平行于x轴的直线。直线上每个点的纵坐标都等于常数c。线性函数y=kx+b直线方程斜率和截距二次函数抛物线形状二次函数的图形是抛物线，可以开口向上或向下，取决于系数的正负。标准形式二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a≠0。顶点抛物线的顶点是函数的最小值或最大值，可以通过公式计算得到。指数函数1定义指数函数是指形如y=a^x(a>0,a≠1)的函数，其中a为常数，称为函数的底数，x为自变量。2性质指数函数具有单调性、奇偶性、对称性等性质。3应用指数函数在自然界中有着广泛的应用，例如人口增长、放射性衰变等。对数函数定义对数函数是指数函数的反函数。它定义为:y=log_a(x)，其中a为底数，x为真数。性质定义域为(0,+∞)值域为(-∞,+∞)单调性:当a>1时，对数函数是单调递增的，当0<a<1时，对数函数是单调递减的。应用对数函数在科学、工程、金融等领域都有广泛的应用。它可以用于描述自然界中的许多现象，例如声音强度、地震强度、放射性衰变。三角函数1定义与性质三角函数是描述三角形边角关系的函数，包括正弦、余弦、正切、余切、正割和余割等。2周期性三角函数具有周期性，这意味着它们在一定范围内重复出现。3应用三角函数广泛应用于物理学、工程学、天文学等领域，用于解决与角度和形状有关的问题。反函数反函数是函数概念的延伸，它将函数的自变量和因变量进行互换，并保持原函数的对应关系。反函数的作用在于通过已知函数的因变量值，求解对应的自变量值。并非所有函数都存在反函数，只有满足单调性的函数才存在反函数。复合函数定义当一个函数的输出作为另一个函数的输入时，形成的函数称为复合函数。表示复合函数用"∘"符号表示，例如f(g(x))表示将g(x)作为f(x)的输入。步骤计算复合函数需要按顺序执行两个函数，先计算内部函数，再计算外部函数。函数图像的性质函数图像的性质是指函数图像在坐标系中的位置、形状、对称性、单调性、奇偶性等特征。这些性质可以帮助我们更好地理解函数的性质，并进行更深入的研究。例如，函数图像的单调性是指函数在某个区间内是递增还是递减的。如果函数图像在某个区间内是递增的，则该函数在该区间内是单调递增的。如果函数图像在某个区间内是递减的，则该函数在该区间内是单调递减的。函数图像的应用函数图像能够直观地展现函数的变化规律，在现实生活中有着广泛的应用。例如，在经济学中，可以用函数图像来分析商品价格与需求量的关系。在物理学中，可以用函数图像来研究物体的运动轨迹。在工程学中，可以用函数图像来设计桥梁和建筑物的结构。此外，函数图像还可以帮助我们解决一些实际问题，例如，求解方程和不等式，寻找最大值和最小值等。导数的概念变化率导数代表函数在某一点的瞬时变化率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。切线斜率导数也等于函数图像在该点切线的斜率，用于描述曲线在该点的方向。微积分基础导数是微积分的核心概念之一，是研究函数变化规律的重要工具。导数的性质导数与函数的单调性若函数的导数在某个区间内恒大于零，则该函数在该区间内单调递增。导数与函数的极值若函数的导数在某点处为零或不存在，则该点可能是函数的极值点。导数与函数的凹凸性若函数的二阶导数在某个区间内恒大于零，则该函数在该区间内向上凹。导数的应用求函数极值导数可用于求函数的极值，例如最大值和最小值。求函数的单调性导数可以确定函数的单调递增或递减区间。求函数的凹凸性导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性，确定拐点。积分的概念1反导数积分是微积分的核心概念之一，它代表着求反导数的过程。2面积积分可以用来计算曲线下的面积，提供了一种量化曲线的几何性质的方法。3累积变化积分可以用来计算累积变化，例如速度的变化会导致距离的变化。积分的性质线性性质积分运算满足线性性质，即常数倍的积分等于常数倍的积分，两个函数之和的积分等于两个函数积分之和。可加性如果积分区间可以分解成多个子区间，那么整个区间的积分等于各子区间积