高考一轮复习数学(理)-第一章-集合与常用逻辑用语-第三节-简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断(3)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀①p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反．②“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”．2．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等__存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等__∀∃3．全称(特称)命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)_______________特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)_______________∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．1．命题“方程x2－1＝0的解是x＝±1”中使用逻辑联结词的情况是

(

)A．没有使用逻辑联结词 B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且” D．使用了逻辑联结词“非”答案：B

2．若命题“p∧q”为假，且“綈p”为假，则

(

)A．“p∨q”为假 B．q假C．q真 D．不能判断q的真假答案：B3．命题“∃x<0，使x2－3x＋1≥0”的否定是

(

)A．∃x<0，使x2－3x＋1<0 B．∃x≥0，使x2－3x＋1<0C．∀x<0，使x2－3x＋1<0 D．∀x≥0，使x2－3x＋1<0答案：C4．下列命题中的假命题是

(

)A．∃x0∈R，lgx0＝1 B．∃x0∈R，sinx0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0解析：当x0＝10时，lgx0＝1，故A是真命题；当x0＝0时，sinx0＝0，故B是真命题；当x＝－1时，x3<0，故C是假命题；由指数函数的值域知D是真命题．答案：C

2．已知命题p：∃x∈R，cosx>1，则

(

)A．綈p：∃x∈R，cosx≤1 B．綈p：∀x∈R，cosx≤1C．綈p：∃x∈R，cosx<1 D．綈p：∀x∈R，cosx<1解析：根据含有一个量词的否定，可知命题p：∃x∈R，cosx>1的否定是綈p：∀x∈R，cosx≤1.答案：B

3．已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则

(

)A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题，綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.答案：B

[一“点”就过]1．全称命题与特称命题真假判断的方法要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．2．全称命题与特称命题的进行否定的步骤改写量词确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论对原命题的结论进行否定层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)含有逻辑联结词的命题及其真假判断[典例]

(1)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是

(

)A．p∧q

B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧q D．(綈p)∨q[解析]

(1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．[方法技巧]判断含有逻辑联结词命题真假的步骤[针对训练]1．(2023·惠州调研)已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：充分性：若綈p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则綈p为假命题．所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．答案：B

2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是

(

)A．p∨(綈q) B．p∨qC．p∧q D．(綈p)∧(綈q)解析：若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．答案：B

根据命题的真假求参数范围的步骤(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．

[针对训练]1．(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．2．(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假，p或q为真”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．层级三/细微点——优化完善(扫盲点)1．(不对命题完全否定致误)已知命题p：∃x≥0，ex<1且sinx>1，则綈p为

(

)A．∃x<0，ex<1且sinx>1B．∃x<0，ex≥1或sinx≤1C．∃x≥0，ex<1或sinx>1D．∀x≥0，ex≥1或sinx≤1解析：命题p：∃x≥0，ex<1且sinx>1，为特称命题，所以綈p：∀x≥0，ex≥1或sinx≤1，故选D.答案：D

2．(链接生活实际)短道速滑队6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行短道速滑赛选拔，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(綈q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为

(

)A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名解析：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则p和q一真一假；若(綈q)∧r是真命题，则q是假命题，r是真命题；综上可知，p真q假r真，故“甲得第一名、乙没得第二名、丙得第