2024年山东省青岛市中考数学真题卷及答案解析

试题PAGE1试题2024年青岛市初中学业水平考试数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）说明：1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分．2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．第Ⅰ卷（共27分）一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）1.“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（）Aa B.b C.c D.d4.如图所示的正六棱柱，其俯视图是（）A. B. C. D.5.下列计算正确的是（）A. B.C. D.6.如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A对应点的坐标是（）A. B. C.2,1 D.7.为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（）A. B. C. D.8.如图，是上的点，半径，，，连接AD，则扇形的面积为（）A. B. C. D.9.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限第Ⅱ卷（共93分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）10.计算：______．11.图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则______．（填“”，“”，“”）12.如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______．13.如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．14.如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为______．15.如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．16.已知：如图，四边形，E为边上一点．求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等．四、解答题（本大题共9小题，共71分）17.（）解不等式组：；（）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．18.某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°；（2）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；（3）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）19.学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．20.“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．方案名称滑梯安全改造测量工具测角仪、皮尺等方案设计如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）测量数据【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度；【步骤二】在点处用测角仪测得；【步骤三】在点处用测角仪测得．解决问题调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）（参考数据：）21.为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．（1）求航空和航海模型的单价；（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？22.如图，点为反比例函数图象上点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为．（1）当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）；（2）当时，______（用含n的代数式表示）．23.如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？请说明理由，并直接写出此时值．24.5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下表：单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天10x+10第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．B樱桃园第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：（1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；（2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）（3）①与x的函数关系式是______；②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？（4）这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．25.如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段垂直平分线上？（2）设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

2024年青岛市初中学业水平考试数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）说明：1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分．2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．第Ⅰ卷（共27分）一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）1.“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达立方米．将用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：，故选：D．2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握相关定义是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可．【详解】解：A．不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故不符合题意；B．是轴对称图形，但它不是中心对称图形，故不符合题意；C．不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故不符合题意；D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；故选：D．3.实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（）A.a B.b C.c D.d【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据绝对值的几何意义可知，一个实数的绝对值表示的是这个实数在数轴上与原点的距离，故离原点越近，其绝对值越小，据此可得答案．【详解】解：由数轴上点的位置可知，，∴这四个实数中绝对值最小的是，故选：C．4.如图所示的正六棱柱，其俯视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．【详解】解：从上面看，看到的图形是一个正六边形，即看到的图形如下：，故选：C．5.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方逐项运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．【详解】解：、，该选项错误，不合题意；、，该选项正确，符合题意；、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；故选：．6.如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（）A. B. C.2,1 D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是．【详解】解：由题意得，平移前，∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，∴平移方式为向右平移3个单位长度，∴平移后点A的对应点坐标为，如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，∴，由旋转的性质可得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴点A的对应点的坐标是，故选：A．7.为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键．根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可．【详解】解：∵五边形是正五边形，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，，∴，故选：B．8.如图，是上的点，半径，，，连接AD，则扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键．【详解】解：连接，则，∵，∴，∴，故选：．9.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案．【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴，∴，∵对称轴是直线，∴，∴，∴，∴在x轴正半轴上；∵二次函数顶点在第二象限，∴当时，，∵二次函数与x轴无交点，∴，∴点在第二象限，∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．第Ⅱ卷（共93分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）10.计算：______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】解：，故答案为：．11.图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则______．（填“”，“”，“”）【答案】【解析】【分析】本题考查了折线统计图和方差，根据折线统计图和方差的意义进行求解即可，掌握方差的意义是解题的关键．【详解】解：由图象可知，甲地的气温波动小，比较稳定，乙地的气温波动大，更不稳定，∴，故答案：．12.如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．【详解】解：∵四边形为菱形，∴，，∵，∴，∴．∵，∴，∴（负值已舍去），∴，∴，∴，∴，CO＝3（舍去）．∵AE⊥BC，，∴．故答案为：．13.如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，由题意得，，同理得，解得或（舍去），∴小路的宽为，故答案为：．14.如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为______．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可．【详解】解：如图所示，连接，∵，∴，∴，∴，∴，∵是的切线，∴，∴在中，，∴，∴半径的长为6，故答案为：．15.如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要______块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要______块．【答案】①.12②.144【解析】【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答．【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6，的最小公倍数是6，如图，6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6，需图②的个数：（个）；同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4,3,2的长方体，用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体，此时需要：（个）．故答案为：12；144．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．16.已知：如图，四边形，E为边上一点．求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求．【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求．四、解答题（本大题共9小题，共71分）17.（）解不等式组：；（）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．【答案】（）；（），当时，原式【解析】【分析】（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可；（）利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，根据分式有意义的条件可知，，，再从−2和任选一个数代入化简后的结果中计算即可；本题考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：（），由①得，，由②得，，∴不等式组的解集为；（）原式，，，∵，∴当时，原式当时，原式．18.某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°；（2）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；（3）根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）【答案】（1）补全条形统计图见解析，54（2）640人（3）甲【解析】【分析】（1）用B的人数除以求得本次调查的学生总数，进而得出D组的人数，画出统计图，用乘“A”所占比例可以求得“A”部分所占圆心角的度数；（2）用1600乘样本中D所占比例即可；（3）求出甲班的平均数，众数，中位数，再对比，即可解答．【小问1详解】解：总人数：（人），D组人数：；如图：A所对应的圆心角的度数为：，故答案：54；【小问2详解】解：去海洋馆：（人）答：该校约有640名学生想去海洋馆；【小问3详解】解：∵甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95，∴甲班10名学生的成绩的平均数：，甲班10名学生的成绩的众数：90；甲班10名学生的成绩的中位数：，∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．∴甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班，∴甲班的竞赛成绩更好．故答案为：甲．【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题．19.学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．【答案】（1）（2）树状图见解析，该游戏对双方公平【解析】【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：（1）根据概率计算公式求解即可；（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．【小问1详解】解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，故答案为：；【小问2详解】解：画树状图如下所示：由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，∴小明和小红获胜的概率相同，∴该游戏对双方公平．20.“滑滑梯”是同学们小时候经常玩游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．方案名称滑梯安全改造测量工具测角仪、皮尺等方案设计如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）测量数据【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度；【步骤二】在点处用测角仪测得；【步骤三】在点处用测角仪测得．解决问题调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）（参考数据：）【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，答：调整后的滑梯会多占的一段地面．21.为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．（1）求航空和航海模型的单价；（2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？【答案】（1）航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；（2）当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可；（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，由题意得，，解得，检验，当时，，∴是原方程的解，且符合题意，∴，答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；【小问2详解】解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，由题意得，，解得，，∵，∴y随m增大而增大，∴当时，y有最小值，最小值为，此时有，答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．22.如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为．（1）当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）；（2）当时，______（用含n的代数式表示）．【答案】（1）；；；（2）【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索：（1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可；（2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可．【小问1详解】解：当时，反比例函数解析式为，在中，当时，；当时，；当时，，∴，∵轴，∴，∵，∴，∴；同理可得，，，∴，，，∴，，……以此类推可得，；故答案为：；；；；小问2详解】解：当时，反比例函数解析式为，在中，当时，；当时，；当时，，∴，∵轴，∴，∵，∴，同理可得，，，∴，，，以此类推可得，．23.如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值．【答案】（1）证明见解析（2）当时，四边形是矩形，理由见解析，此时【解析】【分析】（1）先证明得到，再由垂线的定义得到，据此证明，得到，由此即可证明四边形是平行四边形；（2）当时，四边形是矩形，利用三角形内角和定理得到，则可证明是等边三角形，得到，进而可证明，则四边形是矩形，在中，．【小问1详解】证明：∵，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下：∵，∴，∵，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴四边形是矩形，即当时，四边形是矩形，∴，∴在中，．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键．24.5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下表：单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天10x+10第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．B樱桃园第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：（1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；（2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）（3）①与x的函数关系式是______；②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？（4