2025年春新北师大版数学七年级下册课件 4.3 探索三角形全等的条件

3探索三角形全等的条件第四章三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2三角形全等的条件——边边边已知三边作三角形三角形的稳定性三角形全等的条件——角边角已知两角及其夹边作三角形三角形全等的条件——角角边三角形全等的条件——边角边已知两边及其夹角作三角形知识点三角形全等的条件——边边边知1－讲1

知1－讲特别提醒在列举两个三角形全等的条件时，应把三个条件按顺序排列(一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧)，并用大括号将其括起来.知1－练例1[母题教材P100随堂练习T1]如图4.3-2，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC＝FE，BC＝DE，AD＝FB.试说明：△ABC≌△FDE.解题秘方：紧扣“SSS”找出两个三角形中三边对应相等的条件来判定两个三角形全等.知1－练

知1－练方法：运用“SSS”说明两个三角形全等就是找边相等，常见的隐含的边相等的有：①公共边相等；②等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等；③由中线的定义得出线段相等.知1－练1-1.如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC.试说明：△ABC≌△EDC.知1－练知识点已知三边作三角形知2－讲2已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边边边”来作图的，具体作图的步骤如下：已知：线段a，b，c(如图4.3-3所示)求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.知2－讲作法与图形：作法图形(1)作一条线段BC＝a；(2)分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；(3)连接AB，AC.△ABC就是所求作的三角形.知2－讲特别提醒1.作图的依据：三边分别相等的两个三角形全等.2.作图的方法：先作出一条边(即先确定三角形的两个顶点)，再用两条弧的交点确定所作边所对的顶点(确定第三个顶点).知2－练[母题教材P106习题T1]如图4.3-4，已知线段a，b.求作：△ABC，使AB＝2a，AC＝b，BC＝a.解题秘方：紧扣已知三边作三角形的方法与步骤，利用尺规作出三角形.例2知2－练解：如图4.3-5.(1)作线段BC＝CD＝a(B，C，D在一条直线上)；(2)分别以B和C为圆心，以BD和b的长为半径作弧，两弧交于点A；(3)连接AB，AC.△ABC就是所求作的三角形.知2－练2-1.如图，作一个以线段AB为一边的等边三角形ABC.知2－练解：作法：(1)分别以A，B两点为圆心，以AB的长为半径在AB的同侧画弧，两弧交于点C；(2)连接AC，BC，则△ABC即为所求作的三角形，如图所示.知3－讲知识点三角形的稳定性31.三角形的稳定性只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.四边形具有不稳定性.知3－讲2.三角形的稳定性的应用稳定性是三角形特有的性质，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等.知3－讲特别解读四边形具有不稳定性，为保证其稳定，常在图形中构造三角形.四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，如活动挂架、伸缩门等.知3－练[母题教材P107习题T8]李明家有一个由六根钢管连接而成的钢架ABCDEF，如图4.3-6，为了使这个钢架稳固，李明计划用三根钢管固定它使它不变形，他应该怎样固定呢？请帮李明解决这个问题.例3知3－练解：(答案不唯一)只要将图形分割成三角形即可.如图4.3-7

.解题秘方：根据“三角形的稳定性”进行解答，可以将钢架分割成多个三角形.知3－练3-1.[中考·吉林]如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________________.三角形具有稳定性知4－讲知识点三角形全等的条件——角边角4

知4－讲特别解读1.相等的元素：两角及两角的夹边.2.书写顺序：角→边→角.3.夹边为两个角的公共边.知4－练如图4.3-9，已知AB∥DF，AC∥DE，BC＝FE，且点B，E，C，F

在一条直线上.试说明：△ABC≌△DFE.例4知4－练解题秘方：解题的关键是由两组平行线得出两组角对应相等，构造两角及其夹边对应相等.知4－练

知4－练4-1.如图，点C在线段BD上，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E.试说明：AC＝DC.知4－练知5－讲知识点已知两角及其夹边作三角形5已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤如下：已知：∠α，∠β，线段c(如图4.3-10所示).求作：△ABC，使∠A＝∠α

，∠B＝∠β

，AB＝c.知5－讲作法与图形：作法图形(1)作∠DAF＝∠α；(2)在射线AF上截取线段AB＝c；(3)以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形.知5－讲特别提醒1.作图的依据：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.2.作图的方法有两种：一种是先作角，然后作边，最后作另一个角；另一种是先作一边(作一边等于已知线段)，再在边的两端分别作角.知5－练[母题教材P106习题T4]如图4.3-11，已知线段a和∠α.求作：△ABC，使BC＝a，∠B＝∠C＝∠α.例5解题秘方：紧扣基本作图的步骤，将作三角形转化为作线段和角.知5－练解：如图4.3-12所示.(1)作∠MBN＝∠α

；(2)在射线BN上截取BC＝a；(3)以C为顶点，以CB为一边，作∠DCB＝∠α

，CD与BM

交于点A.△ABC就是所求作的三角形.知5－练5-1.如图，小强在纸上画了一个三角形，不料被墨迹污染了一部分，请你画出一个与小强画的三角形一模一样的三角形.知5－练解：如图所示，(1)作射线B′D，在射线B′D上截取B′A′＝BA；(2)以B′，A′为顶点，以B′A′为一边，在B′A′的同侧分别作∠A′B′E＝∠B，∠B′A′F＝∠A；(3)B′E与A′F的交点为C′，则△A′B′C′就是所求作的三角形．知6－讲知识点三角形全等的条件——角角边61.角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.知6－讲

知6－讲3.“ASA”与“AAS”的区别与联系“S”的意义书写格式联系ASA“S”是两角的夹边将夹边相等写在两角相等的中间“AAS”可由“ASA”结合三角形的内角和推导得出AAS“S”是其中一角的对边将两角相等写在一起，边相等放在最后特别解读1.判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的.2.将“角角边”和“角边角”合起来可得，如果两个三角形的两个角和一条边对应相等，那么这两个三角形全等.3.找等角的几个方法：公共角，对顶角，角平分线，垂直，同角或等角的余(或补)角，等角加(或减)等角，平行线得同位角或内错角，全等三角形的对应角.知6－讲知6－练如图4.3-14，已知AB＝AC，∠ADC＝∠AEB.试说明：△BOD≌△COE.例6解题秘方：找出两个三角形中两个角及其中一组等角的对边对应相等，利用“AAS”判定两个三角形全等.

知6－练知6－练6-1.如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D.试说明：△ABC≌△AED.知6－练知7－讲知识点三角形全等的条件——边角边7

知7－讲要点提醒1.相等的元素：两边及这两边的夹角.2.书写顺序：边→角→边.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.知7－练如图4.3-16，点C是AB的中点，AD＝CE，且AD∥CE.试说明：△ACD≌△CBE.解题秘方：根据条件找出两个三角形中两条边及其夹角对应相等，利用“SAS”判定两个三角形全等.例7

知7－练知7－练7-1.[中考·大连]如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F，BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°.试说明：AB＝AD.知7－练知8－讲知识点已知两边及其夹角作三角形8已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体作图的步骤如下：已知：线段a，c，∠α(如图4.3-17).求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.知8－讲作法与图形如下：作法图形(1)作一条线段BC＝a；(2)以点B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α；(3)在射线BD上截取线段BA＝c；(4)连接AC.△ABC就是所求作的三角形.知8－讲特别提醒1.作图依据：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.2.作图的方法有两种：一种是先作角，再截取两边；另一种是先作一边(作一边等于已知线段)，然后作角，再截取另一边.知8－练[母题教材P106习题T6]如图4.3-18，已知线段m，n，∠α.求作△ABC，使AB＝2m，AC＝2n，∠A＝∠α.解题秘方：紧扣已知两边及其夹角作三角形的步骤进行尺规作图.例8解：如图4.3-19所示.(1)作∠A＝∠α

；(2)分别在∠A的两边上截取AB＝2m，AC＝2n；(3)连接BC，△ABC就是所求作的三角形.知8－练知8－练8-1.如图，已知线段a，∠α，求作