2019届中考数学专题复习三角形的内切圆讲义

复习引入1.什么是三角形的外接圆？2.什么叫三角形的外心?外心有什么性质？

圆的内接三角形三角形的外接圆三角形的外心ABCO经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。1。三边垂直平分线的交点2。到三个顶点距离相等三角形外心的性质

三角形的内切圆思考一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？合作探究将上面的实际问题转化为数学问题作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC求作：⊙I使它与△ABC的各边都相切作法分析:ABC┓┗┗┓I●●┓┗┗┓┗┗┓┗┗探究1作法：1.作∠ABC,∠ACB的平分线

BM和CN,交点为I.2.过点I作ID⊥BC,垂足为D.3.以I为圆心,ID为半径作

⊙I,⊙I就是所求作的圆.

ABCI●┓●DMN这样的圆可以作出几个呢?为什么?.与△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.内切圆的圆心叫做三角形的内心.ABCI●┓●D圆的外切三角形三角形的内切圆三角形的内心1.位置特征:内心是三角形三条角平分线的交点,

在三角形内部2.数量特征:内心到三角形三边的距离相等,

都等于内切圆的半径三角形内心的性质分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?画一画OACDB图（1）图（2）说出下列图形中圆与四边形的名称四边形ABCD叫做⊙O的外切四边形四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形

1.如图1，△ABC是⊙O的

三角形。

⊙O是△ABC的

圆，点O叫△ABC的

，它是三角形

的交点。外接内接外心三边中垂线2.如图2，△DEF是⊙I的

三角形，

⊙I是△DEF的

圆，点I是△DEF的

心，它是三角形

的交点。ABCO．图1IDEF．图2外切内切内三个角平分线DEFG.O3.

如上图，四边形DEFG是⊙O的

四边形，

⊙O是四边形DEFG的

圆.内切外切

判断题：1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等2、三角形的外心到三角形各边的距离相等3、等边三角形的内心和外心重合4、三角形的内心一定在三角形的内部5、菱形一定有内切圆6、矩形一定有内切圆错错对对

错

对（2）若∠A=80°，则∠BOC=

度。（3）若∠BOC=100°，则∠A=

度。解:13020（1）∵点O是△ABC的内心，∴∠BOC=180°－(∠1＋∠3)=180°－(25°＋35°)例1如图，在△ABC中，点O是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度数ABCO=120°)1(32)4(同理∠3=∠4=∠ACB=70°=35°∴∠1=∠2=∠ABC=50°=25°理由：∵点O是△ABC的内心，∴∠1＋∠3=（∠ABC+∠ACB）∴∠1=∠ABC，∠3=∠ACB=180°－（90°－∠A）=（180°－∠A）=90°+∠A=90°－∠A答：∠BOC=90°+∠A（4）试探索：∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。ABCO)1(32)4(在△OBC中，∠BOC=180°－（∠1＋∠3）应用迁移解法一：设AF=x(cm),则AE=x(cm)CD=CE=AC﹣AE=13﹣xBD=BF=AB﹣AF=9﹣x由BD+CD=BC可得（13﹣x）+（9﹣x）=14解得X=4因此

AF=4cm

BD=5cm

CE=9cmADCBOFEx13﹣xx13﹣x9﹣x9﹣x例1.如图,△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。13149解法二:设AF=Xcm,CE=Ycm,BD=Zcm,则

AE=AF=Xcm,CE=CD=Ycm,BD=BF=Zcm依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得:X=4Y=9Z=5。、、的长分别是、、cmcmcmBDCEAF594\xxyyzz13149ADCBOFE练习.如图,在△ABC中∠C=900,∠A和∠B的平分线交于点P,又PE⊥AB于E,若BC=2,AC=3,则AE·BE=-----------.BCAPE提示:设AE=xBE=yPE=r,则

x+r=3y+r=2

在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2又∵x+r+y+r=5┓┓例2.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D,E,F.若BC=a,AB=c,AC=b.⊙O半径为r,

求证:ABCO┓●EFABC●┏ObacbacDEFD┓┓┓┓作业：.如图,⊙O内切于△ABC,切点分别为D,E,F.若BC=a,AB=c,AC=b.⊙O半径为r,

求证:ABCO●EFABC●┏ObacbacDEFD（1）图（2）图如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形,切点分别为L，M，N，P。图中有哪几对相等的线段？探究AB+CD与AD+BC的数量关系.ADLMNPOCB由切线长定理得∴AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC即AB+CD=AD+BC探究2LB=MB，DN=DP，NC=MCAL=AP，由此你能发现什么结论？圆的外切四边形的两组对边的和相等ADOCB圆的外切四边形的性质：比较圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形：角的关系圆的外切四边形：边的关系练习1.已知圆外切四边形ABCD中，

AB：BC：CD=4：3：2，它的周长为24cm。则

AB=

，BC=

；

CD=

，DA=

。ADOCB8cm6cm4cm6cm2.等腰梯形各边都与⊙O相切，⊙O的直径为6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则梯形的面积为_____。86848cm2结论:Rt△ABC(∠C=900)的外接圆半径Rt△ABC(∠C=900)的内切圆半径BACacbo┓练习1.如图，△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=75°,

点O是⊙O的内心，求∠BOC的度数。AOCB解：∵点O是⊙O的内心

∴∠OBC=1/2∠ABC=25°

∠OCB=1/2∠ACB=37.5°∴∠BOC=180°﹣25°﹣37.5°=117.5°2.如图,⊙I是Rt△ABC的内切圆,切点为D,E,F,若AF,BE长是方程的两根,则ABCEFD。I提示:设⊙I的半径r,AF>BE∴AF=10,BE=3,∴AC=10+r,BE=3+r∴(10+r)2+(3+r)2=132

∴r=2AC=12BC=5∴S△ABC=303.已知:如图,Rt△ABC的内切圆为⊙I,∠AC=900,∠BIC=1050,AB=8.(1)求△ABC的周长,(2)求⊙I的半径.ABC●┏IEFD分析(2)方法1：代数法设CD=CE=x,AE=AF=y,BD=BF=z

则x+y=AC①

y+z=AB②

x+z=BC③(①+②+③)-②求出x{方法2:面积法方法3:∴⊙I的半径r=x方法4:BC+AC=AB+2r例3.在△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,求证:DE=DBABCDE(((((12345练习.已知如图,⊙O内切于△ABC,切点为D,E,F,∠B=1200,AB=3,AC=7,BC=5,求⊙O的半径OBFDAEC提示:连结OD,OB,则OD⊥BC∵⊙O是△ABC的内切圆切点分别为D,E,F,则

BF=BDCD=CEAE=AF∠OBF=∠OBD=60