八年级数学下册第一部分基础知识篇第16课方程思想的应用例题课件浙教版

重点中学与你有约例1.已知两个单项式的和仍为一个单项式，则x,y的值是（）A.x=-1,y=-1B.x=-1,y=1C.x=1,y=-1D.x=1,y=1解题技巧一读关键词：单项式，同类项，求值.二联重要结论：同类项中相同字母的指数相同.重要方法：方程思想三解解：由题意得：解得：故选D.四悟熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键.例1.已知两个单项式的和仍为一个单项式，则x,y的值是（）A.x=-1,y=-1B.x=-1,y=1C.x=1,y=-1D.x=1,y=1举一反三单项式3ax﹣ybx+y+3和4xa3x+yb2x﹣y的和为一个单项式，则x与y的值分别为（）A．1，﹣1 B．2，1 C．2，﹣2 D．1，﹣2思路分析:由根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出x，y的值．答案：根据题意得：

解得：

故选A．失误防范同类项：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。性质：(1)与系数无关;(2)与字母的排列顺序无关。例2.已知（2x2+ax-y+b）-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的取值无关，求3（a2﹣ab﹣b2）﹣（4a2+ab+b2）的值.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：整式，值与x无关，求值.二联重要结论：整式的加减,合并同类项.重要方法：分析计算三解解：∵（2x2+ax﹣y+b）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）=2x2+ax﹣y+b﹣2bx2+3x﹣5y+1=（2﹣2b）x2+（a+3）x+（b﹣6y+1），由题意，值与字母x的取值无关，∴2﹣2b=0，a+3=0，解得a=﹣3，b=1，∴原式=3a2﹣3ab﹣3b2﹣4a2﹣ab﹣b2=﹣a2﹣4ab﹣4b2．当a=﹣3，b=1时，原式=﹣9﹣4×（﹣3）×1﹣4×12=﹣1．四悟熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．2.已知（2x2+ax-y+b）-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的取值无关，求3（a2﹣ab﹣b2）﹣（4a2+ab+b2）的值.举一反三已知多项式x2+ax﹣y与bx2﹣3x+6y差的值与字母x的取值无关，求代数式4（a2+ab+b2）﹣3（a2﹣2ab﹣b2）的值．思路分析:根据已知多项式之差与字母x取值无关，求出a与b的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值．答案：根据题意得：（x2+ax﹣y）﹣（bx2﹣3x+6y）=x2+ax﹣y﹣bx2+3x﹣6y=（1﹣b）x2+（a+3）x﹣7y，由差的值与字母x的取值无关，得到1﹣b=0，a+3=0，解得：a=﹣3，b=1，则原式=4a2+4ab+4b2﹣3a2+6ab+3b2=a2+10ab+7b2=9﹣30+7=﹣14．失误防范合并同类项：合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。合并同类项实际上就是乘法分配律的逆向运用。即将同类项中的每一项都看成系数与另一个因数的积，由于各项中都含有相同的字母并且它们的指数也分别相同，故同类项中的每一项都是系数与相同的另一个因数的积。合并时将分配律逆向运用，用相同的那个因数去乘以各项系数的代数和。例3.某数学学习小组想利用旗杆上的绳子测量校园内旗杆AB的高度（如图，AB垂直地面BC）．方法如下：先把旗杆绳（AD）垂下，测得绳子底端D距地面刚好1m．然后拉住绳子底端向外走7步（每步距离约为0.6m），刚好能拉住绳子底端放在一高为1.6m的同学头顶上，求旗杆AB的长．重点中学与你有约解题技巧一读关键词：垂直，线段长度，求线段长度二联重要结论：勾股定理，解直角三角行.重要方法：数形结合三解解：作DQ⊥AB于Q，设AD长为x米，则AQ=（x+1﹣1.6）=（x﹣0.6）米又∵QD=0.6×7=4.2米，在Rt△ADQ中，由勾股定理得（x﹣0.6）2+4.22=x2解得x=15米．∴旗杆AB的长为15+1=16米．四悟善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3.某数学学习小组想利用旗杆上的绳子测量校园内旗杆AB的高度（如图，AB垂直地面BC）．方法如下：先把旗杆绳（AD）垂下，测得绳子底端D距地面刚好1m．然后拉住绳子底端向外走7步（每步距离约为0.6m），刚好能拉住绳子底端放在一高为1.6m的同学头顶上，求旗杆AB的长．举一反三小智和小慧想知道学校旗杆AB的高度，他们发现旗杆上的绳子从顶端垂到地面还多了1米（图1），即BC=1米，当他们往外把绳子拉直，发现绳子下端刚好接触地面时，触点D离旗杆下端B的距离为5米（图2），于是，小智和小慧很快算出了旗杆的高度，你能推算出旗杆的高度吗？请写出过程．思路分析:旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．答案：能推算出旗杆的高度；设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理可得：x2+52=（x+1）2，解得，x=12．答：旗杆的高度为12米．失误防范勾股定理：1.定理内容：文字形式：直角三角形的两直角边的平方和，等于斜边的平方。几何形式：如果直角三角形的直角边分别为a,b，斜边为c，那么

a2＋b2＝c22.

相关知识链接：1）我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦；2）汉代数学家赵爽把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦；3）国外称之为毕达哥拉斯定理；4）也有人称勾股定理为千古第一定理。失误防范勾股定理：3.

勾股定理的作用：1）已知直角三角形的两边长，求第三边长；2）知道一边长时，能够确定直角三角形的其余两个边长之间的关系；3）在证明含平方问题时，有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题。例4.如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．（1）求x，y的值；（2）在备用图中完成此方阵图．重点中学与你有约解题技巧一读关键词：代数式，表格数字满足的条件，完成表格.二联重要结论：二元一次方程组的应用.重要方法：分析计算三解解：（1）由题意，（2）如图四悟理解题意，正确列出关于x，y的方程组是解题的关键举一反三在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式表示一个数）使得每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数之和均相等．（1）求x、y的值；（2）将方阵中的空格部分填上正确的数．思路分析:（1）根据每行3个数、每列3个数和斜对角的3个数之和均相等，可得出方程组，解出即可；（2）根据（1）的结果，填写表格即可．答案：（1）由题意得：（2）填表如下：失误防范列二元一次方程组求解简单问题：解决问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组执行计划：列出方程组并求解，得到答案回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意例5.佳佳果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该果品店在这两次销售中，总体是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？重点中学与你有约解题技巧一读关键词：分式方程，进价，盈利，亏损.二联重要结论：根据等量关系列出分式方程，总利润等于两次利润之和.重要方法：方程思想三解解：（1）设第一次水果的进价为每千克x元由题意得：解得：x=6，经检验，x=6是原方程的解，且符合题意答：第一次水果的进价为每千克6元.

(2)第一次购买水果的数量为1200÷6=200(千克).第一次的利润为200×（8﹣6）=400（元）．第二次购买水果的数量为200+20=220（千克）．第二次的进价为6×(1+10%)=6.6(元)第二次的利润为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6.6）=﹣12（元）．两次总利润为400﹣12=388（元），答：两次总体上盈利，盈利388元．四悟找到关键描述语，找到合适的等量关系是解题的关键举一反三果品店刚试营业，就在批发市场购买某种水果销售，第一次用500元购进若干千克水果，并以每千克定价7元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了20%，用660元所购买的数量比第一次多10千克．仍以原来的单价卖完．求第一次该种水果的进价是每千克多少元？思路分析:第一次该种水果的进价是每千克x元，第二次该种水果的进价是每千克1.2x元．根据用660元所购买的数量比第一次多10千克，列出方程即可解决问题．答案：第一次该种水果的进价是每千克x元，第二次该种水果的进价是每千克1.2x元．由题意，得解方程得到：x=5，经检验：x=5是用方程的解，且符合题意．答：第一次该种水果的进价是每千克5元失误防范分式方程的应用：等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程。列分式方程解应用题的一般步骤是：找等量关系-设-列-解-检验-答。1、审：审清题意，找出相等关系和数量关系；2、设：根据所找的数量关系设出未知数；3、列：根据所找的相等关系和数量关系列方程；4、解：解方程；5、检：对所解的分式方程进行检验，包括两层，不仅要对实际问题有意义，还要对分式方程有意义；6、答：写出分式方程的解。例6.为了节约用水，某水厂规定，某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费，如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨x/100元交费．（1）该单元居民8月份用水80吨，超过了规定的x吨，则超过部分应交水费____元（用含x的式子表示）．（2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：根据上表的数据，求该水厂规定的x吨是多少？重点中学与你有约解题技巧一读关键词：分式方程，进价，盈利，亏损.二联重要结论：根据等量关系列出方程，最后一定要判断所求的解是否符合题意.重要方法：方程思想三解解：（1）（2）根据表格提供的数据，可以知道x≥50，根据9月份用水情况可以列出方程：解得，x1=60，x2=25，∵x≥50，∴x=60．∴该水厂规定的x吨是60吨．四悟找到关键描述语，找到合适的等量关系是解题的关键举一反三某公司设有单身公寓，每套单身公寓都住有5位单身职工．为了节约用水，该公司规定：每套单身公寓如果一个季度的用水量不超过x吨，那么这个季度每套单身公寓需交水费共120元．如果超过x（x＞50）吨，则这个季度每套单身公寓除了交120元的水费外，超过那部分按每吨x/15元交费．（1）某套单身公寓第三季度用水85吨，超过了规定的x吨，共交水费220元，求该公司规定的x吨是多少？（2）该公司的单身公寓共有20套，第四季度交水费共3062元，且该季度每套单身公寓用水量均不超过75吨（含75吨），求第四季度用水量不超过x吨的单身公寓最多可能是多少套？举一反三思路分析:（1）根据交的水费包括120元和超出的按每吨x/15元交费是共交的水费列出方程解决问题；（2）设第四季度用水量不超过60吨的单身公寓最多可能是y套，则有20﹣y套按120元交费，根据交水费3062元列出不等式解决问题即可．答案：（1）由题意得，整理得x2﹣85x+1500=0，解得x1=60，x2=25（不合题意舍去），答：公司规定的x吨是60吨．（2）设第四季度用水量不超过60吨的单身公寓最多可能是y套，由题意得120×20+（20﹣y）×

≤3062，解得y≥38/5，则y最小取8，用水量不超过60吨的单身公寓最多可能是8套．答：用水量不超过x吨的单身公寓最多可能是8套．失误防范一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．例7.【背景资料】一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机(如图)，采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时．[问题解决]（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值；（3）在（2）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有2/3的人自带采棉机采摘，1/3的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为14400元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？重点中学与你有约解题技巧一读关键词：效率，工作时间，工钱，求解实际问题.二联重要结论：代数式求解，一元一次方程的应用.重要方法：方程思想三解解：（1）35÷3.5×8=50（公斤）.（2）7.5×80·a=900，解得a=1.5（元）.（3）解法一：设张家雇工有x人，则王家雇工有2x人，其中机器采摘的有x人，手工采摘的有x人，设两家雇工工作的天数为y天．∵张家付给雇工工资总额为14400元，∴.80×1.5·x·y=14400，∴xy=120.∴王家采摘棉花总重量=8×35×xy+8×10×

xy，当xy=120时，原式=8×35×

×120+8×10×

×120=51200（公斤）.∴这次王家采摘的棉花总重量是51200公斤.四悟找到关键描述语，找到合适的等量关系是解题的关键解题技巧一读关键词：效率，工作时间，工钱，求解实际问题.二联重要结论：代数式求解，一元一次方程的应用.重要方法：方程思想三解解：解法二：设张家雇工有x人，则王家雇工有2x人，其中机器采摘的有x人，手工采摘的有x人，设王家这次采摘的棉花总量为m公斤．由题意得：

解得，m=51200（公斤）.∴这次王家采摘的棉花总重量是51200公斤.四悟找到关键描述语，找到合适的等量关系是解题的关键举一反三一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机，效率高，能耗低．经测试，一个人操作