福建省南平市邵武第三中学高三数学理联考试题含解析

福建省南平市邵武第三中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若关于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，且满足x1＜x2＜x3，则a的取值范围为（）A．a＞ B．﹣＜a＜1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，构造函数f（x）=x3﹣x2﹣x，利用导数求出函数f（x）的极值，即可得到结论．【解答】解：由x3﹣x2﹣x+a=0得﹣a=x3﹣x2﹣x，设f（x）=x3﹣x2﹣x，则函数的导数f′（x）=3x2﹣2x﹣1，由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减，即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）3﹣（﹣）2﹣（﹣）=，要使方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，则﹣1＜﹣a＜，即﹣＜a＜1，故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．2.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且，直线MN交l于点P，，垂足为，若的面积为，则F到l的距离为（

）A.12 B.10 C.8 D.6参考答案：D【分析】作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则，结合图形可得，，从而可求出，进而可求得，，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离．【详解】如图所示，作，垂足为，设，由，得，则，.过点N作，垂足为G，则，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因为，所以为线段的中点，所以F到l的距离为．故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．3.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，．故选：B．【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题4.从10名高三年级优秀学生中挑选3人担任校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有

入选的不同选法的种数为(

)

A．85

B．56

C．49

D．28参考答案：【知识点】排列、组合J2C丙没有入选共种,其中甲乙都没有入选有种,故共种.【思路点拨】先求出丙没有入选，再求甲乙都没有入选，求得。5.若P是双曲线和圆的一个交点，且,，其中是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为（

）A.

B.3

C.2

D.参考答案：D6.若向量满足，与的夹角为，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则?UP=（）A．[，+∞） B．（0，） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）参考答案：A【考点】对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算．【分析】先求出集合U中的函数的值域和P中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．【解答】解：由集合U中的函数y=log2x，x＞1，解得y＞0，所以全集U=（0，+∞），同样：P=（0，），得到CUP=[，+∞）．故选A．【点评】此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．8.设f(x)是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据不等式的特点构造函数，再利用导数研究函数的单调性，进而解不等式.【详解】令，∵是定义在上的奇函数，∴是定义在上的偶函数，当时，，由，得，∴，则在上单调递减将化为，即，则.又是定义在上的偶函数，∴在上单调递增，且.当时，，将化为，即，则.综上，所求不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、奇偶性进行不等式求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键在于根据的给不等式的特点，构造新函数，且所构造的函数能利用导数研究单调性，难度较大.9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（，，，），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道…，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由题意：第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，第二次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第三次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第四次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,故选A.考点：合情推理.【易错点晴】本题主要考查了合情推理这个知识点,属于中档题.本题易错的地方:没有读懂题意,题目中“第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值”的等于，那第二次第三次第四次都是用这个公式计算的.在2016年高考考纲中增加了“数学文化”.考查了学生的读题和计算能力,属于基础题.10.在等差数列{an}中，若a6+a8+a10=72，则2a10﹣a12的值为（）A．20 B．22 C．24 D．28参考答案：C【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由等差数列通项公式求出a8=24，2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8，由此能求出结果．【解答】解：∵在等差数列{an}中，a6+a8+a10=72，∴a6+a8+a10=3a8=72，解得a8=24，∴2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=a8=24．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的前n项和Sn满足an+3SnSn﹣1=0（n≥2，n∈N+），a1=，则nan的最小值为

．参考答案：考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得数列{}是以3为首项，以3为公差的等差数列，求出其前n项和后代入nan，然后由数列的函数特性求得nan的最小值．解答： 解：∵an+3SnSn﹣1=0（n≥2，n∈N+），∴Sn﹣Sn﹣1+3SnSn﹣1=0，∵a1=，∴Sn?Sn﹣1≠0，化简得：，（n≥2，n∈N+），∴数列{}是以3为首项，以3为公差的等差数列，则，，从而=（n≥2），要使nan最小，则需最小，即n=2时最小，此时．当n=1时，，故对任意n∈N*，nan的最小值为．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，是中档题．12.已知=

参考答案：13.已知△ABC的面积为2，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，A=，则a的最小值为

．参考答案：【分析】利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，利用基本不等式求出a的最小值即可．【解答】解：由三角形面积公式得：S=bcsinA=bc=2，即bc=8，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，则a≥2，即a的最小值为2，故答案为：2．【点评】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14.如图，已知幂函数的图象过点，则图中阴影部分的面积等于

．参考答案：15.函数的定义域是

参考答案：16.（5分）已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若CD2+CE2+DE2=，则OD+OE的最大值是．参考答案：【考点】：向量在几何中的应用；余弦定理．【专题】：计算题．【分析】：设OD=a且OE=b，由余弦定理加以计算，可得CD2+CE2+DE2=2（a2+b2）﹣（a+b）+ab+2=，配方整理得3ab=2（a+b）2﹣（a+b）﹣，结合基本不等式建立不等关系，得2（a+b）2﹣（a+b）﹣≤（a+b）2，最后以a+b为单位解一元二次不等式，即可得到OD+OE的最大值．解：设OD=a，OE=b，由余弦定理，得CD2=CO2+DO2﹣2CO?DOcos60°=a2﹣a+1．同理可得CE2=b2﹣b+1，DE2=a2+ab+b2从而得到CD2+CE2+DE2=2（a2+b2）﹣（a+b）+ab+2=∴2（a2+b2）﹣（a+b）+ab﹣=0，配方得2（a+b）2﹣（a+b）﹣3ab﹣=0，即3ab=2（a+b）2﹣（a+b）﹣…（*）又∵ab≤[（a+b）]2=（a+b）2，∴3ab≤（a+b）2，代入（*）式，得2（a+b）2﹣（a+b）﹣≤（a+b）2，设a+b=m，代入上式有2m2﹣m﹣≤m2，即m2﹣m﹣≤0，得到﹣≤m≤，∴m最大值为，即OD+OE的最大值是．【点评】：本题给出扇形AOB的中心角为120°，弧AB中点为C，半径OA、OB上的点D、E满足CD2+CE2+DE2=时，求OD+OE的最大值．着重考查了余弦定理、用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法等知识，属于中档题．17.是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的大小；（2）若，求的周长的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，从而，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由正弦定理得：.∴，，．．．．．．．．．．．．．．．．．7分.．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∵．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴，即（当且仅当时，等号成立）从而的周长的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

法二：由已知：，由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）∴（，又，∴，从而的周长的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

略19.在中，角，，的对边分别是，，，，．（）求边的值．（）若，求的面积．参考答案：（）（）（）∵，∴．（）∵，代入，，解出，∴，．20.

在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为

（为参数,为直线的倾斜角）．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线有唯一的公共点,求角的大小．参考答案：（1）当时,直线的普通方程为；当时,直线的普通方程为.………………2分

由,得,所以曲线的直角坐标方程是

…………….5分（2）把,代入,整理得.由,得,所以或,故直线倾斜角为或.

………………….10分21.如图,内接于⊙,是⊙的直径,是过点的直线,且.

(Ⅰ)求证:是⊙的切线;(Ⅱ)如果弦交于点,,

,,求.参考答案：（Ⅰ）证明：

为直径，，为直径，为圆的切线……

4分（Ⅱ）

∽∽在直角三角形中

……

10分22.某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．（2）由频率分布直方图，得第三组[14，15）的频率为0.38，由此能估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数．（2）由频率分布直方图及题设条件得到第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，由此能求出所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，∴该样本在这次百米测试中