2025届高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3讲二项式定理创新教学案含解析新人教版

PAGE第3讲二项式定理[考纲解读]1.会用计数原理证明二项式定理，并会用二项式定理解决与二项绽开式有关的简洁问题．(重点)2．娴熟驾驭二项式的绽开式、绽开式的通项及二项式系数的相关性质．(难点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲为每年高考的常考学问点．预料2024年将会考查：①求二项式的特定项或项的系数；②求二项式系数的最大项或二项式系数的和；③与其他学问进行综合考查．题型以客观题形式考查，难度不大，属中、低档题型.1.二项式定理二项式定理(a＋b)n＝eq\o(□,\s\up1(01))Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二项绽开式的通项公式Tr＋1＝eq\o(□,\s\up1(02))Ceq\o\al(r,n)an－rbr，它表示第eq\o(□,\s\up1(03))r＋1项二项式系数二项绽开式中各项的二项式系数Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)2．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即eq\o(□,\s\up1(01))Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增减性二项式系数Ceq\o\al(k,n)当k＜eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的当k＞eq\o(□,\s\up1(03))eq\f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的最大值当n为偶数时，中间的一项eq\o(□,\s\up1(04))取得最大值当n为奇数时，中间的两项eq\o(□,\s\up1(05))C和eq\o(□,\s\up1(06))取得最大值3．常用结论(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.(3)Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋3Ceq\o\al(3,n)＋…＋nCeq\o\al(n,n)＝n2n－1.(4)Ceq\o\al(r,m)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(r－1,m)Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(0,m)Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r,m＋n).(5)(Ceq\o\al(0,n))2＋(Ceq\o\al(1,n))2＋(Ceq\o\al(2,n))2＋…＋(Ceq\o\al(n,n))2＝Ceq\o\al(n,2n).1．概念辨析(1)(a＋b)n的绽开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(2)二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))6的绽开式的其次项系数是Ceq\o\al(1,6).()(3)二项绽开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(4)若(x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为0.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(x))))8的绽开式中常数项为()A.eq\f(35,16) B.eq\f(35,8)C.eq\f(35,4) D．105答案B解析二项绽开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)(eq\r(x))8－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(x))))k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))kCeq\o\al(k,8)x4－k，令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4Ceq\o\al(4,8)＝eq\f(35,8).(2)若二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))n绽开式的二项式系数之和为8，则该绽开式的系数之和为()A．－1 B．1C．27 D．－27答案A解析依题意，得二项式系数的和为2n＝8，所以n＝3，故二项式为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))3，令x＝1，可求得系数之和为(1－2)3＝－1.(3)(2－x)5的绽开式中x的系数为________．答案－80解析(2－x)5的绽开式中x的系数为Ceq\o\al(1,5)×24×(－1)＝－80.(4)已知(1＋3x)n的绽开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.答案4解析(1＋3x)n的绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(3x)r，令r＝2，得T3＝9Ceq\o\al(2,n)x2.由题意，得9Ceq\o\al(2,n)＝54，解得n＝4.题型一二项绽开式角度1求二项绽开式中的特定项或系数1．(2024·全国卷Ⅲ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的绽开式中x4的系数为()A．10 B．20C．40 D．80答案C解析由题意可得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(x2)5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))r＝Ceq\o\al(r,5)·2r·x10－3r.令10－3r＝4，则r＝2，所以Ceq\o\al(r,5)·2r＝Ceq\o\al(2,5)×22＝40，故选C.2．(2024·广东省六校第一次联考)若a＝eq\i\in(0,π,)(2sinx－cosx)dx，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)－\r(x)))6的绽开式中常数项是________．答案240解析∵a＝eq\i\in(0,π,)(2sinx－cosx)dx＝(－2cosx－sinx)|eq\o\al(π,0)＝4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)－\r(x)))6的绽开式的第r＋1项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x)))6－r(－eq\r(x))r＝46－r·(－1)rCeq\o\al(r,6)xeq\f(3r,2)－6.令eq\f(3r,2)－6＝0，得r＝4，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)－\r(x)))6的绽开式中常数项是46－4×(－1)4Ceq\o\al(4,6)＝240.角度2求多项绽开式的特定项或系数3．(2024·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的绽开式中x3的系数为()A．12 B．16C．20 D．24答案A解析解法一：(1＋2x2)(1＋x)4的绽开式中x3的系数为1×Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝12.故选A.解法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.4．(2024·陕西黄陵中学模拟)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋2))5的绽开式中x2的系数为()A．120 B．80C．20 D．45答案A解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋2))5＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))2))5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))10.Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r(x))10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,10)x5－r.令5－r＝2解得r＝3.T4＝Ceq\o\al(3,10)x2＝120x2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋2))5的绽开式中x2的系数为120.角度3已知二项绽开式某项的系数求参数5．(2024·黄山模拟)已知(1＋x)(1－ax)5的绽开式中x2的系数为－eq\f(5,8)，则a＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)答案D解析(1＋x)(1－ax)5＝(1＋x)(1－5ax＋10a2x2－10a3x3＋5a4x4－a5x5)的绽开式中x2的系数为10a2－5a＝－eq\f(5,8)，解得a＝eq\f(1,4).1．求二项绽开式中的特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tr＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r.(3)代回通项得所求．见举例说明1,2.2．求解形如(a＋b)m(c＋d)n的绽开式问题的思路(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它绽开，如(a＋b)2(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．(2)视察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项公式，综合考虑．3．求形如(a＋b＋c)n的绽开式中特定项的四步骤1．(2024·华中师范高校第一附中模拟)已知(x＋1)5＋(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，则a7＝()A．9 B．36C．84 D．243答案B解析令t＝x－1，则(x＋1)5＋(x－2)9＝(t＋2)5＋(t－1)9，只有(t－1)9的绽开式中含有t7项，所以a7＝Ceq\o\al(2,9)(－1)2＝36.2．若(1＋ax)7(a≠0)的绽开式中x5与x6的系数相等，则a＝________.答案3解析绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)(ax)r，因为x5与x6的系数相等，所以Ceq\o\al(5,7)a5＝Ceq\o\al(6,7)a6，解得a＝3.3．(2024·浙江高考)在二项式(eq\r(2)＋x)9的绽开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．答案16eq\r(2)5解析由二项绽开式的通项公式可知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(eq\r(2))9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，当为常数项时，r＝0，T1＝Ceq\o\al(0,9)·(eq\r(2))9·x0＝(eq\r(2))9＝16eq\r(2).当项的系数为有理数时，9－r为偶数，可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.题型二二项式系数的性质或各项系数的和1．(2024·东北三校联考)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝()A．0 B．1C．32 D．－1答案A解析由(1－x)5的绽开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－x)r＝Ceq\o\al(r,5)(－1)rxr，可知a1，a3，a5都小于0.则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.在原二项绽开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.结论探究1本例中的条件不变，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝________.答案32解析因为(1＋x)5的绽开式的各项系数之和为|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝25＝32.结论探究2本例中的条件不变，则a0＋a2＋a4＝________.答案16解析令x＝1，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，令x＝－1，得25＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，两式相加，得32＝2(a0＋a2＋a4)，所以a0＋a2＋a4＝16.2．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的绽开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求n；(2)求绽开式中的有理项；(3)求绽开式中系数最大的项．解(1)由二项绽开式，知前三项的系数分别为Ceq\o\al(0,n)，eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)，eq\f(1,4)Ceq\o\al(2,n)，由已知，得2×eq\f(1,2)Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(0,n)＋eq\f(1,4)Ceq\o\al(2,n)，解得n＝8(n＝1舍去)．(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))8的绽开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(x))8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(4,x))))r＝2－rCeq\o\al(r,8)x4－eq\f(3r,4)(r＝0,1，…，8)，要求有理项，则4－eq\f(3r,4)必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝eq\f(35,8)x，T9＝eq\f(1,256x2).(3)设第r＋1项的系数为ar＋1最大，则ar＋1＝2－rCeq\o\al(r,8)，则eq\f(ar＋1,ar)＝eq\f(2－rC\o\al(r,8),2－r－1C\o\al(r－1,8))＝eq\f(9－r,2r)≥1，eq\f(ar＋1,ar＋2)＝eq\f(2－rC\o\al(r,8),2－r＋1C\o\al(r＋1,8))＝eq\f(2r＋1,8－r)≥1，解得2≤r≤3.当r＝2时，a3＝2－2Ceq\o\al(2,8)＝7，当r＝3时，a4＝2－3Ceq\o\al(3,8)＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T3＝7xeq\s\up10(\f(5,2))，T4＝7xeq\s\up10(\f(7,4)).1．赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特别的值．在运用赋值法时，令a，b等于多少时，应视详细状况而定，一般取“1，－1或0”(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其绽开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．见举例说明1.(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其绽开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．2．二项绽开式的各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法(1)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的绽开式中各项系数之和为f(1)．(2)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2).(3)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).3．求解二项式系数或绽开式系数的最值问题的一般步骤第一步，要弄清所求问题是“绽开式系数最大”“二项式系数最大”两者中的哪一个．其次步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求绽开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项绽开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过推断数列增减性的方法从而推断系数的增减性，并依据系数的增减性求出系数的最值．见举例说明2.思路二：由于绽开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案.1．(2024·广东揭阳模拟)已知(2x＋eq\r(2))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________.答案16解析解法一：由题意，取x＝1，得(eq\r(2)＋2)4＝(a0＋a2＋a4)＋(a1＋a3)；①取x＝－1，得(eq\r(2)－2)4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)．②①②相乘，得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(eq\r(2)＋2)4×(eq\r(2)－2)4＝[(eq\r(2))2－22]4＝16.解法二：由题意及二项式定理，得a0＝4，a1＝16eq\r(2)，a2＝48，a3＝32eq\r(2)，a4＝16.所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(4＋48＋16)2－(16eq\r(2)＋32eq\r(2))2＝16.2．已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的绽开式的二项式系数和比(3x－1)n的绽开式的二项式系数和大992，则在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2n的绽开式中，二项式系数最大的项为________，系数的肯定值最大的项为________．答案－8064－15360x4解析由题意，知22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质，知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))10的绽开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝Ceq\o\al(5,10)·(2x)5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－8064.设第k＋1项的系数的肯定值最大，则Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)·(2x)10－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝(－1)kCeq\o\al(k,10)·210－k·x10－2k，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,10)·210－k≥C\o\al(k－1,10)·210－k＋1，,C\o\al(k,10)·210－k≥C\o\al(k＋1,10)·210－k－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,10)≥2C\o\al(k－1,10)，,2C\o\al(k,10)≥C\o\al(k＋1,10)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11－k≥2k，,2k＋1≥10－k，))解得eq\f(8,3)≤k≤eq\f(11,3).∵k∈Z，∴k＝3.故系数的肯定值最大的项是第4项，T4＝－Ceq\o\al(3,10)·27·x4＝－15360x4.题型三二项式定理的应用1．已知n为满意S＝a＋Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋Ceq\o\al(3,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)(a≥3)能被9整除的正数a的最小值，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n的绽开式中，二项式系数最大的项为()A．第6项 B．第7项C．第11项 D．第6项和第7项答案B解析由于S＝a＋Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋Ceq\o\al(3,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)＝a＋227－1＝89＋a－1＝(9－1)9＋a－1＝Ceq\o\al(0,9)×99－Ceq\o\al(1,9)×98＋…＋Ceq\o\al(8,9)×9－Ceq\o\al(9,9)＋a－1＝9×(Ceq\o\al(0,9)×98－Ceq\o\al(1,9)×97＋…＋Ceq\o\al(8,9))＋a－2，a≥3，所以n＝11，从而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))11的绽开式中的系数与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第6项和第7项，且第6项系数为负，第7项系数为正，所以第7项系数最大．2．计算1.056.(精确到0.01)解1.056＝(1＋0.05)6＝1＋6×0.05＋15×0.052＋…≈1＋0.3＋0.0375≈1.34.二项式定理应用的常见题型及求解策略(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中关注绽开式的最终几项，而求近似值则关注绽开式的前几项．见举例说明1.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，留意选择合适的形式．(3)利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.若精确度要求较高，则可运用更精确的公式(1＋x)n≈1＋nx＋eq\f(nn－1,2)x2.1．(2024·银川模拟)Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋4Ceq\o\al(3,n)＋…＋2n－1Ceq\o\al(n,n)等于()A．3n B．2·3nC.eq\f(3n,2)－1 D.eq\f(3n－1,2)答案D解析Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋4Ceq\o\al(3,n)＋…＋2n－1Ceq\o\al(n,n)＝eq\f(1,2)(Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n))－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(1＋2)n－eq\f(1,2)＝eq\f(3n－1,2).2．883＋6被49除所得的余数是()A．－14 B．0C．14 D．35答案B解析由二项式定理绽开，得883＋6＝(7＋1)83＋6＝783＋Ceq\o\al(1,83)×782＋…＋Ceq\o\al(81,83)×72＋Ceq\o\al(82,83)×7＋1＋6＝72M＋83×7＋7(＝49M＋49×＝49N(N是正整数)．∴883＋6被49除所得的余数是0.3．求0.9986的近似值．(精确到0.001)解0.9986＝(1－0.002)6＝1－6×0.002＋15×0.0022＋…≈1－0.012＋0.00006≈0.988.易错防范二项绽开式中项的系数与二项式系数[典例]设(5x－eq\r(x))n的绽开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则绽开式中二项式系数最大的项为________．答案150x3解析依题意，得M＝4n＝(2n)2，N＝2n，于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0，∴2n＝16＝24，解得n＝4.要使二项式系数Ceq\o\al(r,4)最大，只有r＝2，故绽开式中二项式系数最大的项为T3＝Ceq\o\al(2,4)(5x)2·(－eq\r(x))2＝150x3.防范措施明确二项式系数与项的系数的区分(a＋bx)n的绽开式中，二项式系数是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它们是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如第r＋1项的二项式系数是Ceq\o\al(r,n)，而该项的系数是Ceq\o\al(r,n)an－rbr.当然，在某些特别的二项绽开式(如(1＋x)n)中，各项的系数与二项式系数是相等的．组基础关1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))6的绽开式中()A．不含x9项 B．含x4项C．含x2项 D．不含x项答案D解析Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,6)x12－2rx－r＝(－1)rCeq\o\al(r,6)x12－3r，故x的次数为12,9,6,3,0，－3，－6.故选D.2．(2024·合肥一模)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))6绽开式的常数项为60，则a的值为()A．4 B．±4C．2 D．±2答案D解析Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(ax)6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))r＝(－1)rCeq\o\al(r,6)a6－r·x6－eq\s\up4(\f(3,2))r，令6－eq\f(3,2)r＝0，解得r＝4，∴(－1)4Ceq\o\al(4,6)a2＝60，解得a＝±2.3．已知(1－2x)n(n∈N*)绽开式中x3的系数为－80，则绽开式中全部项的二项式系数之和为()A．64 B．32C．1 D．－1答案B解析依题意，(1－2x)n的绽开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)·1n－r·(－2x)r＝Ceq\o\al(r,n)·(－2)r·xr，于是有Ceq\o\al(3,n)·(－2)3＝－80，即Ceq\o\al(3,n)＝10＝Ceq\o\al(3,5)，n＝5.因此(1－2x)n的绽开式中全部项的二项式系数之和为25＝32，故选B.4．(2024·荣成摸底)在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的绽开式中，含x2项的系数是()A．10 B．15C．20 D．25答案C解析含x2项的系数为Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＝20.5．(2024·宁波模拟)在(x－2)2024的二项绽开式中，含x的奇次幂的项的系数之和为M，含x的偶次幂的项的系数之和为N，则当x＝－1时，M－N＝()A．(－3)2024 B．－1C．1 D．32024答案D解析设(x－2)2024＝a0x2024＋a1x2024＋…＋a2024x＋a2024，则当x＝－1时，有a0(－1)2024＋a1(－1)2024＋…＋a2024(－1)＋a2024＝－a0＋a1＋…－a2024＋a2024＝(－3)2024，即M－N＝(a0＋a2＋…＋a2024)－(a1＋a3＋…＋a2024)＝32024.6．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于()A.eq\f(3,4)(3n－1) B.eq\f(3,4)(3n－2)C.eq\f(3,2)(3n－2) D.eq\f(3,2)(3n－1)答案D解析在绽开式中，令x＝2，得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝eq\f(31－3n,1－3)＝eq\f(3,2)(3n－1)．7．(2024·湘赣十四校第一次联考)(x3－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x)))6的绽开式中的常数项为()A．－60 B．240C．－80 D．180答案D解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x)))6的通项为Ceq\o\al(r,6)2rxeq\s\up4(\f(6－3r,2))，所以(x3－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x)))6的绽开式中的常数项为x3Ceq\o\al(4,6)24xeq\s\up4(\f(6－12,2))＋(－1)·Ceq\o\al(2,6)22xeq\s\up4(\f(6－6,2))，即Ceq\o\al(4,6)24－Ceq\o\al(2,6)22＝240－60＝180，所以(x3－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x)))6的绽开式中的常数项为180.8．(2024·天津高考)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,8x3)))8的绽开式中的常数项为________．答案28解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,8x3)))8的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x))8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8x3)))r＝Ceq\o\al(r,8)28－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))r·x8－4r.令8－4r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝Ceq\o\al(2,8)26eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))2＝28.9．已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝________.答案24解析(2x－1)4＝[2(x－1)＋1]4，T2＋1＝Ceq\o\al(2,4)[2(x－1)]2＝24(x－1)2.10．(2024·福州市高三期末测试)设n为正整数，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x3)))n的绽开式中仅有第5项的二项式系数最大，则绽开式中的常数项为________．答案112解析依题意，得n＝8，所以绽开式的通项Tr＋1Ceq\o\al(r,8)x8－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x3)))r＝Ceq\o\al(r,8)x8－4r(－2)r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以绽开式中的常数项为T3＝Ceq\o\al(2,8)(－2)2＝112.组实力关1．设m为正整数，(x＋y)2m的绽开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的绽开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7bA．5 B．6C．7 D．8答案B解析由题意，得a＝Ceq\o\al(m,2m)，b＝Ceq\o\al(m,2m＋1)，所以13Ceq\o\al(m,2m)＝7Ceq\o\al(m,2m＋1)，所以eq\f(13·2m！,m！·m！)＝eq\f(7·2m＋1！,m！·m＋1！)，所以eq\f(72m＋1,m＋1)＝13，解得m＝6，故选B.2．(2024·洛阳模拟)若(1－2024x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024(x∈R)，则eq\f(a1,2024)＋eq\f(a2,20242)＋…＋eq\f(a2024,20242024)的值为()A．20242024 B．1C．0 D．－1答案D解析令x＝0，得a0＝1，令x＝eq\f(1,2024)，得0＝a0＋eq\f(a1,2024)＋eq\f(a2,20242)＋…＋eq\f(a2024,20242024)，所以eq\f(a1,2024)＋eq\f(a2,20242)＋…＋eq\f(a2024,20242024)＝－1.3．设a∈Z，且0≤a<13，若512024＋a能被13整除，则a＝()A．