2025届高考数学一轮复习第11章算法复数与推理证明第3讲合情推理与演绎推理创新教学案含解析新人教版

PAGE第3讲合情推理与演绎推理[考纲解读]1.了解合情推理和演绎推理的含义，能进行简洁的归纳推理和类比推理．(重点)2．驾驭演绎推理的三段论，并能运用三段论进行一些简洁的推理．3．弄清推理的一般步骤：①试验、视察、比较；②概括、联想、类推、推广；③猜想新结论．[考向预料]从近三年高考状况来看，演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，而合情推理时有考查．预料2024年将会考查归纳猜想及类比推理的应用．题型为客观题，试题具有肯定的综合性，属中等难度试题.1.推理(1)定义：依据一个或几个eq\o(□,\s\up1(01))已知的推断来确定一个新的推断的eq\o(□,\s\up1(02))思维过程就是推理．(2)分类：推理一般分为eq\o(□,\s\up1(03))合情推理和eq\o(□,\s\up1(04))演绎推理．2．合情推理(1)定义：依据已有的事实，经过视察、分析、比较、联想，再进行eq\o(□,\s\up1(01))归纳、类比，然后提出eq\o(□,\s\up1(02))猜想的推理叫做合情推理．(2)分类：数学中常用的合情推理有eq\o(□,\s\up1(03))归纳推理和eq\o(□,\s\up1(04))类比推理．(3)归纳和类比推理的定义、特征名称归纳推理类比推理定义由某类事物的eq\o(□,\s\up1(05))部分对象具有某些特征，推出该类事物的eq\o(□,\s\up1(06))全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理由两类对象具有eq\o(□,\s\up1(07))某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理特征由eq\o(□,\s\up1(08))部分到eq\o(□,\s\up1(09))整体、由eq\o(□,\s\up1(10))个别到eq\o(□,\s\up1(11))一般的推理由eq\o(□,\s\up1(12))特别到eq\o(□,\s\up1(13))特别的推理3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理动身，推出某个特别状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到eq\o(□,\s\up1(01))特别的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所探讨的特别状况；③结论——依据一般原理，对特别状况做出的推断．1．概念辨析(1)归纳推理得到的结论不肯定正确，类比推理得到的结论肯定正确．()(2)由平面三角形的性质推想空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny，此推理是正确的．()(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论肯定正确．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)①已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是eq\f(1,2)ah，假如把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为eq\f(1,2)lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，则①②两个推理过程分别属于()A．类比推理、归纳推理 B.类比推理、演绎推理C．归纳推理、类比推理 D.归纳推理、演绎推理答案A解析①由三角形的面积公式得到扇形的面积公式有相像之处，此种推理为类比推理；②由特别到一般，此种推理为归纳推理．(2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确 B.大前提不正确C．小前提不正确 D.全不正确答案C解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．(3)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．an＝3n－1 B.an＝4n－3C．an＝n2 D.an＝3n－1答案C解析a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.(4)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案1∶8解析eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S1,S2)))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).

题型一类比推理1．等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，公差为eq\f(d,2).类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{eq\r(n,Tn)}的公比为()A.eq\f(q,2) B.q2C.eq\r(q) D.eq\r(n,q)答案C解析∵在等差数列{an}中前n项的和为Sn的通项，且可写成eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)×eq\f(d,2).所以在等比数列{bn}中应探讨前n项的积为Tn的开n次方的形式．类比可得eq\r(n,Tn)＝b1(eq\r(q))n－1，其公比为eq\r(q).2．(2024·揭阳模拟)已知结论：“在△ABC中，各边和它所对角的正弦比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在三棱锥A－BCD中，侧棱AB与平面ACD，平面BCD所成的角为α，β”，则有()A.eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AD,sinβ) B.eq\f(AD,sinα)＝eq\f(BC,sinβ)C.eq\f(S△BCD,sinα)＝eq\f(S△ACD,sinβ) D.eq\f(S△ACD,sinα)＝eq\f(S△BCD,sinβ)答案C解析分别过B，A作平面ACD、平面BCD的垂线，垂足分别为E，F，则∠BAE＝α，∠ABF＝β，VB－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·BE＝eq\f(1,3)S△ACD·AB·sinα，VA－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·AF＝eq\f(1,3)S△BCD·AB·sinβ，又eq\f(1,3)S△ACD·AB·sinα＝eq\f(1,3)S△BCD·AB·sinβ，即eq\f(S△BCD,sinα)＝eq\f(S△ACD,sinβ).1．类比推理的四个角度和四个原则(1)四个角度类比推理是由特别到特别的推理，可以从以下几个方面考虑类比：①类比的定义：如等差、等比数列的定义，见举例说明1；②类比的性质：如椭圆、双曲线的性质；③类比的方法：如基本不等式与柯西不等式；④类比的结构：如三角形的内切圆与三棱锥的内切球．(2)四个原则①长度类比面积；②面积类比体积；③平面类比空间见举例说明2；④和类比积，差类比商．2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相像性或一样性．(2)用一类事物的性质去推想另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．常见的类比推理题型的求解策略在进行类比推理时，不仅要留意形式的类比，还要留意方法的类比，且要留意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．(2024·榆林一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(2,3,4)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________．答案x＋2y－z－4＝0解析将平面中的运算类比到空间中的运算有：经过点B(2,3,4)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为(－1)×(x－2)＋(－2)×(y－3)＋1×(z－4)＝0，化简得x＋2y－z－4＝0.题型二归纳推理角度1与数字有关的归纳推理1．(2024·新乡模拟)视察下列各式110×248＝248,11×248＝2728,112×248＝30008,113×248＝330088,114×248＝3630968，…，则1199×248的十位数是()A．2 B.4C．6 D.8答案C解析记11n×248的十位数为an，经视察易得：a0＝4，a1＝2，a2＝0，a3＝8，a4＝6，a5＝4，a6＝2，…，则可归纳出{an}的周期为5，则a99＝a4＝6.角度2与式子有关的归纳推理2．(2024·洛阳模拟)有下列一组不等式：eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)>eq\f(1,2)，eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)>eq\f(1,2)，eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＋eq\f(1,8)>eq\f(1,2)，eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,10)>eq\f(1,2)，…，依据这一规律，若第19个不等式为eq\f(1,m)＋eq\f(1,m＋1)＋eq\f(1,m＋2)＋…＋eq\f(1,n)>eq\f(1,2)，则m＋n＝________.答案61解析因为由eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)>eq\f(1,2)，eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)>eq\f(1,2)，eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＋eq\f(1,8)>eq\f(1,2)，eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,10)>eq\f(1,2)，…，依据这一规律，则第k个不等式为eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k＋2)>eq\f(1,2)，若第19个不等式为eq\f(1,m)＋eq\f(1,m＋1)＋eq\f(1,m＋2)＋…＋eq\f(1,n)>eq\f(1,2)，即m＝k＋2＝21，n＝2k＋2＝40，所以m＝21，n＝40，即m＋n＝61.角度3与图形有关的归纳推理3．(2024·马鞍山模拟)毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系，探讨了各种平面数(包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数等)，甚至将平面数推广到了立体数，如图所示：其中三棱锥数依次为1,4,10，…，则第20个三棱锥数为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(附：\i\su(k＝1,n,k)2＝12＋22＋32＋…＋n2＝\f(1,6)nn＋12n＋1))答案1540解析由棱锥数依次为1,1＋3,1＋3＋6,1＋3＋6＋10,1＋3＋6＋10＋15，则S1＝1，S2＝3，S3＝6，S4＝10，S5＝15，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)(n2＋n)，则Tn＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝eq\f(1,2)×(12＋1＋22＋2＋32＋3＋…＋n2＋n)，＝eq\f(1,2)×[(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝eq\f(1,12)n(n＋1)(2n＋1)＋eq\f(1,4)n(n＋1)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)，∴T20＝eq\f(1,6)×20×21×22＝1540.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．视察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．见举例说明1.(2)与式子有关的归纳推理①与不等式有关的推理．视察每个不等式的特点，留意是纵向看，找到规律后可解．见举例说明2.②与数列有关的推理．通常是先求出几个特别项，采纳不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(3)与图形改变有关的推理．合理利用特别图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．见举例说明3.1．(2024·萍乡一模)对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是________，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为________．答案915解析依据所给的数据，不难发觉：在n2中所分解的最大的数是2n－1；在n3中，所分解的最小数是n2－n＋1.依据发觉的规律可求52分裂中，最大数是5×2－1＝9；若m3的“分裂”中最小数是211，则n2－n＋1＝211，解得n＝15或－14(舍去)．2．(2024·山东省试验中学模拟)视察下列式子，ln2>eq\f(1,3)，ln3>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)，ln4>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)，….依据上述规律，第n个不等式应为________．答案ln(n＋1)>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N*)解析由ln2>eq\f(1,3)，ln3>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)，ln4>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)，…，归纳得到ln(n＋1)>eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N*)．3．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年头创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题供应了全新的思路．依据如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，则a2024＝________.答案eq\f(32024－1,2)解析依据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1，3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n行的黑圈数an＝eq\f(3n－1－1,2)(n∈N*)，所以a2024＝eq\f(32024－1,2).题型三演绎推理1．(2024·全国卷Ⅱ)在“一带一路”学问测验后，甲、乙、丙三人对成果进行预料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一个人预料正确，那么三人按成果由高到低的次序为()A．甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D.甲、丙、乙答案A解析由于三人成果互不相同且只有一个人预料正确．若甲预料正确，则乙、丙预料错误，于是三人按成果由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预料错误，则甲、乙按成果由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预料正确，则乙、丙按成果由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成果由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预料也正确，与事实冲突；若甲、丙预料错误，则可推出乙的预料也错误．综上所述，三人按成果由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.2．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N*)．证明：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，又eq\f(S1,1)＝1≠0，(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1∴对于随意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)1．推理案例问题比类问题条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，肯定要细致阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和冲突之处，多次应用假设、解除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得到解决．见举例说明1.2．三段论的应用(1)三段论推理的依据是：假如集合M的全部元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中全部元素都具有性质P.(2)应用三段论的留意点：解决问题时，首先应当明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．见举例说明2.提示：合情推理的结论是猜想，不肯定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论肯定正确.1．(2024·宁夏平罗中学模拟)2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期实行，依据规则：本场竞赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前竞赛中的表现，结合自己的推断，对本场竞赛的冠军进行了如下揣测：爸爸：冠军是乙或丁；妈妈：冠军肯定不是丙和丁；孩子：冠军是甲或戊．竞赛结束后发觉：三人中只有一个人的揣测是对的，那么冠军是________．答案丁解析若冠军是甲或戊，孩子与妈妈推断都正确，不符合题意；若冠军是乙，爸爸与妈妈推断都正确，不符合题意；若冠军是丙，三个人推断都不正确，不符合题意；若冠军是丁，只有爸爸推断正确，符合题意，故答案为丁．2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对随意实数x有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋x))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))成立．证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期．证明由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋x))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))，且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋x))))＝－feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋x))))＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．组基础关1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案B解析对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．2．已知13＋23＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2,13＋23＋33＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))2,13＋23＋33＋43＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝()A．8 B.9C．10 D.11答案C解析视察所供应的式子可知，等号左边最终一个数是n3时，等号右边的数为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2，因此，令eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝3025，则eq\f(nn＋1,2)＝55，n＝10或n＝－11(舍去)．3．我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为()A．3 B.5C.eq\f(5\r(21),7) D.3eq\r(5)答案B解析利用类比的方法，在空间中，点(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离d′＝eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))，所以点(2,4,1)到平面x＋2y＋2z＋3＝0的距离d＝eq\f(2＋8＋2＋3,\r(1＋4＋4))＝eq\f(15,3)＝5.4．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，类比这个结论可知，四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R等于()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)答案C解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，由平面图形中r的求解过程类比空间图形中R的求解过程可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V＝V四面体S－ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).故选C.5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，试归纳猜想出Sn的表达式为()A．Sn＝eq\f(2n,n＋1) B.Sn＝eq\f(2n－1,n＋1)C．Sn＝eq\f(2n＋1,n＋1) D.Sn＝eq\f(2n,n＋2)答案A解析∵Sn＝n2an＝n2(Sn－Sn－1)，∴Sn＝eq\f(n2,n2－1)·Sn－1，又S1＝a1＝1，则S2＝eq\f(4,3)，S3＝eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，S4＝eq\f(8,5).∴猜想得Sn＝eq\f(2n,n＋1)，故选A.6．若数列{an}是等差数列，对于bn＝eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn>0，则dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．答案eq\r(n,c1c2·…·cn)解析在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{an}是等差数列，则当bn＝eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)时，数列{bn}也是等差数列．类比推断：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn＝eq\r(n,c1c2·…·cn)时，数列{dn}也是等比数列．7．甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后相互交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最终读的书与丙读的其次本书相同．”乙说：“我读的其次本书与甲读的第一本书相同．”依据以上说法，推断乙读的最终一本书是________读的第一本书．答案丙解析因为共有三本书，而乙读的第一本书与其次本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最终一本书是丙读的第一本书．8．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax的图象上随意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有eq\f(ax1＋ax2,2)>aeq\f(x1＋x2,2)成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上随意不同的两点，则类似地有______________成立．答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2)解析由题意知，点A，B是函数y＝ax的图象上随意不同的两点，该函数是一个改变率渐渐变大的函数，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有eq\f(ax1＋ax2,2)>aeq\f(x1＋x2,2)成立；而函数y＝sinx(x∈(0，π))，其改变率渐渐变小，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2).组实力关1．已知f(x)＝eq\f(2x,2－x)，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1，n∈N*)，若fm(x)＝eq\f(x,1－256x)(m∈N*)，则m＝()A．9 B.10C．11