2025届高考数学一轮复习第六章数列第2节等差数列及其前n项和教学案含解析新人教A版

PAGE1-第2节等差数列及其前n项和考试要求1.理解等差数列的概念；2.驾驭等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在详细的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关学问解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知识梳理1.等差数列的概念(1)假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝eq\f(a＋b,2).2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.[常用结论与微点提示]1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}肯定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).5.用等差数列的定义推断数列是否为等差数列，要留意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”.诊断自测1.推断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对随意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d确定的.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()解析(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(4)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.答案(1)√(2)√(3)×(4)×2.(老教材必修5P46AT2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()A.31 B.32 C.33 D.34解析由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝2，,5a1＋10d＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(26,3)，,d＝－\f(4,3)，))∴S8＝8a1＋eq\f(8×7,2)d＝32.答案B3.(老教材必修5P68T8改编)在等差数列{an}中a3＋a4＋a5＝6，则S7＝()A.8 B.12 C.14 D.18解析a3＋a4＋a5＝3a4＝6，∴a4＝2，S7＝eq\f(1,2)×7×(a1＋a7)＝7a4＝14.答案C4.(2024·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A.－12 B.－10 C.10 D.12解析设等差数列{an}的公差为d，则3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即d＝－eq\f(3,2)a1.又a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.答案B5.(2024·上饶模拟)已知等差数列{an}，a10＝10，其前10项和S10＝70，则公差d＝()A.－eq\f(2,9) B.eq\f(2,9) C.－eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)解析因为S10＝eq\f(1,2)×10×(a1＋a10)＝eq\f(1,2)×10×(a1＋10)＝70，所以a1＝4，因为a10＝a1＋9d＝10，所以d＝eq\f(2,3).答案D6.(2024·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0，a2＝3a1，则eq\f(S10,S5)＝________.解析由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，所以S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝100a1，S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝25a1，所以eq\f(S10,S5)＝4.答案4考点一等差数列基本量的运算【例1】(1)(一题多解)(2024·江苏卷)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________.(2)(2024·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则()A.an＝2n－5 B.an＝3n－10C.Sn＝2n2－8n D.Sn＝eq\f(1,2)n2－2n解析(1)法一由S9＝27⇒eq\f(9（a1＋a9）,2)＝27⇒a1＋a9＝6⇒2a5＝6⇒a5＝3，即a1＋4d＝3.又a2a5＋a8＝0⇒2a1＋5d＝0，解得a1＝－5，d＝2.故S8＝8a1＋eq\f(8×（8－1）,2)d＝16.法二同法一得a5＝3.又a2a5＋a8＝0⇒3a2＋a8＝0⇒2a2＋2a5＝0⇒a2＝－3.∴d＝eq\f(a5－a2,3)＝2，a1＝a2－d＝－5.故S8＝8a1＋eq\f(8×（8－1）,2)d＝16.(2)设首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝5，,4a1＋6d＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝n2－4n.答案(1)16(2)A规律方法1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】(2024·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围.解(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得9a1＋eq\f(9×8,2)d＝－(a1＋4d)，即a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝eq\f(n（n－9）d,2).由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于eq\f(n（n－9）,2)≤n－5，即n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}.考点二等差数列的判定与证明典例迁移【例2】(经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满意an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,2).(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2，又eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝2，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首项为2，公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得eq\f(1,Sn)＝2n，∴Sn＝eq\f(1,2n).当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,2（n－1）)＝eq\f(n－1－n,2n（n－1）)＝－eq\f(1,2n（n－1）).当n＝1时，a1＝eq\f(1,2)不适合上式.故数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1，,－\f(1,2n（n－1）)，n≥2.))【迁移1】本例条件不变，推断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.解因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2).所以eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2(n≥2).又eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝2，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以2为首项，2为公差的等差数列.所以eq\f(1,Sn)＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝eq\f(1,2n).所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,2（n－1）)＝eq\f(－1,2n（n－1）)，所以an＋1＝eq\f(－1,2n（n＋1）)，又an＋1－an＝eq\f(－1,2n（n＋1）)－eq\f(－1,2n（n－1）)＝eq\f(－1,2n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋1)－\f(1,n－1)))＝eq\f(1,n（n－1）（n＋1）).所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是等差数列.【迁移2】本例中，若将条件变为a1＝eq\f(3,5)，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.解由已知可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)＋1，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，又a1＝eq\f(3,5)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是以eq\f(a1,1)＝eq\f(3,5)为首项，1为公差的等差数列，∴eq\f(an,n)＝eq\f(3,5)＋(n－1)·1＝n－eq\f(2,5)，∴数列{an}的通项公式为an＝n2－eq\f(2,5)n.规律方法1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的随意自然数，验证an－an－1为同一常数.(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并推断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.解(1)设{an}的公比为q，由题设可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1（1＋q）＝2，,a1（1＋q＋q2）＝－6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝－2，,a1＝－2.))故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝－eq\f(2,3)＋(－1)neq\f(2n＋1,3).由于Sn＋2＋Sn＋1＝－eq\f(4,3)＋(－1)neq\f(2n＋3－2n＋2,3)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＋（－1）n·\f(2n＋1,3)))＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.考点三等差数列的性质及应用【例3】(1)(2024·安阳联考)在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则(a3＋a7)2－a5＝()A.60 B.56 C.12 D.4(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27解析(1)∵在等差数列{an}中，a2＋a8＝8，∴a2＋a8＝a3＋a7＝2a5＝8，解得a5＝4，所以(a3＋a7)2－a5＝82－4＝60.(2)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，所以a7＋a8＋a9＝45.答案(1)A(2)B规律方法1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.【训练3】(1)(2024·广东六校联考)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f(1,3)a11的值是()A.14 B.15 C.16 D.17(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－2,2n＋1)，则eq\f(a7,b7)等于()A.eq\f(37,27) B.eq\f(19,14) C.eq\f(39,29) D.eq\f(4,3)解析(1)依题意，由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，得5a8＝120，即a8＝24，所以a9－eq\f(1,3)a11＝eq\f(1,3)(3a9－a11)＝eq\f(1,3)(a9＋a7＋a11－a11)＝eq\f(1,3)(a9＋a7)＝eq\f(2,3)a8＝eq\f(2,3)×24＝16.(2)eq\f(a7,b7)＝eq\f(2a7,2b7)＝eq\f(a1＋a13,b1＋b13)＝eq\f(\f(a1＋a13,2)×13,\f(b1＋b13,2)×13)＝eq\f(S13,T13)＝eq\f(3×13－2,2×13＋1)＝eq\f(37,27).答案(1)C(2)A考点四等差数列的最值问题多维探究角度1等差数列前n项和的最值【例4－1】(2024·北京卷)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.解(1)设{an}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).解得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，an＝2n－12.则当n≥7时，an>0；当n＝6时，an＝0，当n<6时，an<0；所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.角度2等差数列项的最值【例4－2】(2024·淮北模拟)Sn是等差数列{an}的前n项和，S2020<S2018，S2019<S2020，则Sn<0时n的最大值是()A.2019 B.2020 C.4037 D.4038解析因为S2020<S2018，S2019<S2020，所以a2020＋a2019<0，a2020>0.所以S4038＝eq\f(4038（a1＋a4038）,2)＝2019(a2020＋a2019)<0，S4039＝eq\f(4039（a1＋a4039）,2)＝4039a2020>0，可知Sn<0时n的最大值是4038.答案D规律方法本题借助等差数列的性质求出Sn<0中n的取值范围，从而求出n的最大值，这种题型要与Sn的最值区分开来.【训练4】(1)(角度1)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时n的值为()A.6 B.7 C.8 D.9(2)(角度2)设等差数列{an}满意a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________.解析(1)由d>0可得等差数列{an}是递增数列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－eq\f(15d,2)，则a8＝－eq\f(d,2)<0，a9＝eq\f(d,2)>0，所以前8项和为前n项和的最小值.故选C.(2)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a7＝36，所以a4＋a6＝36，又a4a6＝275，联立，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝11，,a6＝25))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝25，,a6＝11，))当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝11，,a6＝25))时，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－10，,d＝7，))此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，所以a2a3＝－12为anan＋1的最小值；当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＝25，,a6＝11))时，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝46，,d＝－7，))此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，所以a7a8＝－12为anan＋1的最小值.综上，anan＋1的最小值为－12.答案(1)C(2)－12A级基础巩固一、选择题1.(2024·衡阳一模)在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则a2＋a14的值为()A.6 B.12 C.24 D.48解析∵在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，由等差数列的性质，a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，∴a2＋a14＝2a8＝48.答案D2.(2024·河南名校联盟联合调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a8＋a13＝eq\f(2π,21)，则tanS14＝()A.－eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),3) C.－eq\r(3) D.eq\r(3)解析∵{an}是等差数列，且a2＋a7＋a8＋a13＝eq\f(2π,21)，∴a7＋a8＝eq\f(π,21)，∴S14＝eq\f(14（a1＋a14）,2)＝7(a7＋a8)＝eq\f(π,3)，∴tanS14＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).答案D3.(2024·武汉调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对随意n>1，n∈N*，满意Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则S10的值为()A.90 B.91 C.96 D.100解析∵对随意n>1，n∈N*，满意Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2.∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1＝1，a2＝2，∴S10＝1＋9×2＋eq\f(9×8,2)×2＝91.故选B.答案B4.(2024·合肥质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，根据年龄从大到小的依次依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤解析用a1，a2，…，a8表示8个儿子根据年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a1＋eq\f(8×7,2)×17＝996，解之得a1＝65.∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案B5.(2024·昆明诊断)等差数列{an}中，a1＝2019，a2019＝a2015－16，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时n的值为()A.504 B.505 C.506 D.507解析∵数列{an}为等差数列，a2019＝a2015－16，∴数列{an}的公差d＝－4，∴an＝a1＋(n－1)d＝2023－4n，令an≥0，得n≤eq\f(2023,4).又n∈N*，∴Sn取最大值时n的值为505.答案B二、填空题6.(2024·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.解析∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，∴公差d＝eq\f(a7－a3,7－3)＝eq\f(13－5,4)＝2，首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，∴S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝100.答案1007.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.解析依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝eq\f(8,9)，因此S100＝10S10＋eq\f(10×9,2)d＝10×16＋eq\f(10×9,2)×eq\f(8,9)＝200.答案2008.(多填题)(2024·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________.解析由题意得a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，解得a1＝－4，d＝1，所以a5＝a1＋4d＝0，故an＝a1＋(n－1)d＝n－5.令an≤0，则n≤5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后项为正.∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10.答案0－10三、解答题9.已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.解(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式，解得d＝2或d＝－5.因为d>0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*).(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋k－1＝13，,k＋1＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝5，,k＝4.))即所求m的值为5，k的值为4.10.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项公式bn＝eq\f(Sn,n)，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.(1)解设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋eq\f(k（k－1）,2)·d＝2k＋eq\f(k（k－1）,2)×2＝k2＋k，由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)证明由(1)得Sn＝eq\f(n（2＋2n）,2)＝n(n＋1)，则bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝eq\f(n（2＋n＋1）,2)＝eq\f(n（n＋3）,2).B级实力提升11.(2024·济宁模拟)设数列{an}满意a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝()A.eq\f(25,9) B.eq\f(26,9) C.3 D.eq\f(28,9)解析令bn＝nan，则2bn＝bn－1＋bn＋1(n≥2)，所以{bn}为等差数列，因为b1＝1，b2＝4，所以公差d＝3，则bn＝3n－2，所以b18＝52，则18a18＝52，所以a18＝eq\f(26,9).答案B12.(2024·济南调研)已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满意eq\f(a1,b1)＋eq\f(a2,b2)＋eq\f(a3,b3)＋…＋eq\f(an,bn)＝eq\f(1,2n)，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为()A.－454 B.－450 C.－446 D.－442解析∵数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∵数列{bn}满意eq\f(a1,b1)＋eq\f(a2,b2)＋eq\f(a3,b3)＋…＋eq\f(an,bn)＝eq\f(1,2n)，∴n≥2时，eq\f(a1,b1)＋eq\f(a2,b2)＋…＋eq\f(an－1,bn－1)＝eq\f(1,2n－1)，两式相减可得eq\f(an,bn)＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,2n＋1)，可得bn＝(1－2n)·2n(n≥2).n＝1时，eq\f(1,b1)＝eq\f(1,2)，解得b1＝2，不符合上式，∴bn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，n＝1，,（1－2n）2n，n≥2，))∴S5＝2－3×22－5×23－7×24－9×25＝－450.答案B13.(2024·广州质检)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且对随意正整数n都有eq\f(an＋1,SnSn＋1)＝－1，则Sn＝___