2025届高考数学一轮知能训练第九章概率与统计第7讲计数原理与排列组合含解析

PAGE1-第7讲计数原理与排列组合1.(2024年四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.722.(2024年新课标Ⅱ)如图X9­7­1，小明从街道的E处动身，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参与志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()图X9­7­1A.24条B.18条C.12条D.9条3.若原来站成一排的4个人重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置上，则不同的站法种数为()A.4B.8C.12D.244.(2024年重庆)某次联欢会要支配3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出依次，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72种B.120种C.144种D.168种5.(2024年四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个6.将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有()A.18B.20C.21D.227.(2024年云南昆明模拟)用1,2,3,4,5这5个数字组成无重复数字的五位数，然后由小到大排列，则42351是第()个数.A.80B.81C.82D.838.6名同学站成一排照相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为()A.60B.96C.48D.729.(2024年东北三省三校一模)数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别探讨四个不同课题，且每组只探讨一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的安排方案的种数为()A.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)B.Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34C.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))43D.Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)4310.(2024年浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，一般队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法.(用数字作答)11.(2024年天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________个.(用数字作答)12.(2024年浙江宁波模拟)如图X9­7­2，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法.图X9­7­213.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必需有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的安排方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种14.某学校获得5个高校自主招生举荐名额，其中甲高校2名，乙高校2名，丙高校1名，并且甲高校和乙高校都要求必需有男生参与，学校通过选拔定下3男2女共5个举荐对象，则不同的举荐方法共有()A.36种B.24种C.22种D.20种15.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为()A.eq\f(3,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,20)D.eq\f(1,4)

第7讲计数原理与排列组合1．D2.B3．B解析：依据题意，分两步考虑：第一步，先从4个人里选1人，其位置不变，其他3人都不站在自己原来的位置上，站法有Ceq\o\al(1,4)＝4(种)；其次步，对于都不站在自己原来的位置上的3个人，有2种站法．故不同的站法共有4×2＝8(种)．故选B.4．B5.B6．B解析：当A，C之间为B时，看成一个整体进行排列，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝12种，当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的随意一个，然后B在A之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝8种，∴共有20种不同的排法．7．C解析：万位取1,2,3时，共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72(个)．万位取4时，分两种状况：(1)41×××，此时有Aeq\o\al(3,3)＝6(个)；(2)42×××，此时又分两类．①421××时，有Aeq\o\al(2,2)＝2(个)；②423××时，只有一个数42315小于42351.∴小于42351的数共有72＋6＋2＋1＝81(个)，从而42351是第82个数．8．C解析：把乙和丙，丁和戊看作两个整体，和己进行全排列有Aeq\o\al(3,3)种方法，∵甲不站在两侧，再把甲插入他们形成的中间两个空中，故有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,2)种方法，再考虑乙和丙、丁和戊的排列可得不同的站法种数为Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝48.故选C.9．B解析：将12名同学平均分成四组，共有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))，分别探讨四个不同课题，共有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))×Aeq\o\al(4,4)，从四组中每组选出一名组长，共有34，共计eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))×Aeq\o\al(4,4)×34＝Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34种．故选B.10．660解析：第一类，先选1女3男，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(1,2)＝40种，这4人选2人作为队长和副队有Aeq\o\al(2,4)＝12种，故有40×12＝480种；其次类，先选2女2男，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,2)＝15种，这4人选2人作为队长和副队有Aeq\o\al(2,4)＝12种，故有15×12＝180种；依据分类计数原理共有480＋180＝660种．11．1080解析：依据题意，分2种状况探讨：①四位数中没有一个偶数数字，即在1,3,5,7,9中任选4个，组成一个四位数即可．有Aeq\o\al(4,5)＝120种状况，即有120个没有一个偶数数字的四位数；②四位数中只有一个偶数数字，在1,3,5,7,9种选出3个，在2,4,6,8中选出1个，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)＝40种取法，将取出的4个数字全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24种依次，则有40×24＝960个只有一个偶数数字的四位数．综上所述，至多有一个数字是偶数的四位数有120＋960＝1080个．12．260解析：区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．∴共有5×4×4＋5×4×3×3＝260(种)涂色方法．13．C解析：自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的安排方案有43－33＝37(种)．14．B解析：解法一：若甲高校和乙高校的举荐名额分别为两男、一男一女，选择两男为一组，再从两个女生中抽一个与剩下的一个男生组成一组，共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)种分组方法，此时，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝12种举荐方法；若甲高校和乙高校的举荐名额分别是一男一女，先考虑甲高校的举荐方法，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6种方法，其次考虑乙高校的举荐名额，有Ceq\o\al(1,2)＝2种举荐方法．因此，共有12＋12＝24种举荐方法，故选B.解法二：若不考虑任何限制，先考虑甲高校的举荐方法，有Ceq\o\al(2,5)＝10种举荐方法，其次考虑乙高校的举荐方法，有Ceq\o\al(2,3)＝3种举荐方法，总共有10×3＝30种举荐方法；考虑甲高校或乙高校没有男生参与，则举荐名额中，丙高校的举荐名额肯定是一个男生，甲高校和乙高校的举荐名额分别是两男和两女，此时有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6种举荐方法．因此