2025届高考数学一轮知能训练第二章函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性与周期性含解析

PAGE4-第4讲函数的奇偶性与周期性1．(2024年湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2024)＋f(2024)的值为()A．0B．－4C．－2D．23．(2024年河北衡水高三联考)下列函数中，与函数y＝eq\f(1,2x)－2x的定义域，单调性与奇偶性均一样的函数是()A．y＝sinxB．y＝x3C．y＝eq\f(1,x)D．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2x≥0，,x2x<0))4．(2024年山东齐鲁名校模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝()A．－3B．－eq\f(5,4)C.eq\f(5,4)D．35．(多选)定义在R上的奇函数f(x)满意f(x－3)＝－f(x)，当x∈[0,3]时，f(x)＝x2－3x，下列等式成立的是()A．f(2024)＋f(2024)＝f(2024)B．f(2024)＋f(2024)＝f(2024)C．2f(2024)＋f(2024)＝f(2024)D．f(2024)＝f(2024)＋f(2024)6．(2024年辽宁沈阳模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．7．(2024年新课标Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝__________.8．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2＋m)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．a<c<bC．c<a<bD．c<b<a9．(多选)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)B．y＝ex＋e－xC．y＝x2＋1D．y＝cosx＋310．当x∈[－2π，2π]时，下列有关函数f(x)＝eq\f(3,2)－xcosx，g(x)＝eq\f(3,2)＋x的结论正确的个数为()①f(x)是偶函数；②f(x)与g(x)有相同的对称中心；③函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标之和为0；④函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的纵坐标之和为eq\f(9,2).A．1B．2C．3D．411．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么不等式f(x＋2)<5的解集是__________．12．已知函数f(x)在R上满意f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)试推断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上的根的个数，并证明你的结论．

第4讲函数的奇偶性与周期性1．A解析：明显，f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称．又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．明显，f(x)在(0,1)上单调递增．故选A.2．A解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2024)＝f(2024)＝f(1)＝log22＝1，f(2024)＝f(3)＝－eq\f(1,f1)＝－1，∴f(－2024)＋f(2024)＝0.故选A.3．D解析：函数y＝eq\f(1,2x)－2x为奇函数，且在R上单调递减；对于A，y＝sinx是奇函数，但不在R上单调递减；对于B，y＝x3是奇函数，但在R上单调递增；对于C，y＝eq\f(1,x)的定义域不同；对于D，画出函数图象可知函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2x≥0，,x2x<0))是奇函数，且在R上单调递减．故选D.4．A解析：(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.5．ABC6．(－1,3)解析：∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)．又∵f(x)是偶函数，∴f(|x－1|)>f(2)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴|x－1|<2.∴－2<x－1<2.∴－1<x<3.∴x∈(－1,3)．7．－3解析：f(x)是奇函数，若f(ln2)＝8，有f(－ln2)＝－8，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)))＝－e＝－(e)a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＝－8，则a＝－3.8．B解析：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)在R上恒成立，∴m＝0，∴当x≥0时，易得f(x)＝2|x|－1为增函数，∴a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(2)，∵log23<2<log25，∴a<c<b，故选B.9．BC10．C解析：f(－x)≠－f(x)，故①不正确；f(－x)＋f(x)＝3，f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))对称，g(x)的图象也关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))对称，∴f(x)与g(x)有相同的对称中心，故②正确；∵f(x)与g(x)有相同的对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，∴函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标之和为0，故③正确；∵eq\f(3,2)－xcosx＝eq\f(3,2)＋x，x(cosx＋1)＝0，∴x＝0或cosx＝－1，∴函数y＝f(x)与g＝g(x)的图象在x∈[－2π，2π]有3个交点，纵坐标之和为eq\f(9,2)，故④正确．11．{x|－7<x<3}解析：方法一，当x≤0时，－x≥0，f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝x2＋4x.当x∈[－2，＋∞)时，x＋2≥0，f(x＋2)＝(x＋2)2－4(x＋2)<5，解得－3<x<3，∴－2≤x<3；当x∈(－∞，－2)时，x＋2<0，f(x＋2)＝(x＋2)2＋4(x＋2)<5，解得－7<x<－1，∴－7<x<－2.综上所述－7<x<3，故f(x＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．方法二，如图D118，可知f(x)<5的解集为{x|－5<x<5}，∴－5<x＋2<5，即－7<x<3，故f(x＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．图D11812．解：(1)若y＝f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(2－(x＋2))＝f(2＋(x＋2))＝f(4＋x)＝f(x)．∴f(7)＝f(3)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0冲突；因此f(x)不是偶函数．若y＝f(x)为奇函数，则f(0)＝f(－0)＝－f(0)．∴f(0)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0冲突．因此f(x)不是奇函数．综上所述，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)∵f(x)＝f(2＋(x－2))＝f(2－(x－2))＝f(4－x)，f(x)＝f(7＋(x－7))＝f(7－(x－7))＝f(14－x)，∴f(14－x)＝f(4－x)，即f(10＋(4－x))＝f(4－x)．∴f(x＋10)＝f(x)，即函数f(x)的周期为10.又f(1)＝f(3)＝0，∴f(1)＝f(1＋10n)＝0(n∈Z)，f(3)＝f(3＋10