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文档简介
有道考神考研数学
常用公式手册
未来------是你的正无穷
oooo|oooo
录
第一部分高等数学.......................................1
第一章函数、极限、连续................................1
第二章一元函数微分学...............................12
第三章一元函数积分学..............................21
第四章微分方程.....................................32
第五章多元函数微分学..............................37
第六章二重积分.....................................41
第七章无穷级数(数学一、三)..........................44
第八章向量代数与空间几何(数学一).................50
第九章三重积分(数学一)............................58
第十章曲线积分(数学一)............................61
第十一章曲面积分(数学一)..........................63
第十二章场论初步(数学一)..........................66
第二部分线性代数.....................................68
第一章行列式.......................................68
第二章矩阵.........................................69
第三章向量组.......................................73
第四章线性方程组...................................76
第五章特征值与特征向量............................78
第六章二次型.......................................79
第三部分概率论与数理统计(数学一、三).................82
第一章随机事件与概率..............................82
第二章随机变量及其分布............................85
第三章多维随机变量及其分布.......................88
第四章随机变域的数字特征.........................90
第五章大数定律与中心极限定理.....................92
第六章数理统计的基本概念..........................93
第七章参数估计.....................................95
第八章假设检验.....................................98
•2•
◄第一部分高等数学■
第一部分高等数学
笫一尊函数、极限、连续
一、基本初等函数及其性质
❶鼎函数
(1)函数形式:y=-3w1O.
(2)计算性质:
1
y=xn=7x=x=-~',j=xn,xnt=xru♦n,y=/(.vn\)ni=xmu.
jc,1
(3)常见函数及其图像:
y=x,y-x2,〉=&、、=:x\y=yx=・
•A
v1
,.tv-x/7'I''叽"ll«
A~~o-V
/J:彳
❷指数函数
(1)函数形式:y=a(ft>c)且1).
(2)定义域:(-8,+8),值域:(0,+8).
(3)单调性:〃>1时=,单调增加;〃<]时,y=a,单调
减少.
4有道老神考研数学公式手册〉
(4)常见函数及其图像:
(6)特殊函数值:/=]"=1.
❸对数函数
(1)函数形式:)=log4lx(〃>0且31).
(2)定义域:((),+00),值域:(-8,+8).
(3)单调性>1时,y=log.单调增加;〃<1时,y=logflx单
调减少.
(4)特殊函数值:log」=0Jog,//=1Jnl=0,lne=1.
(5)极限:lirnIn.v=+x,limhi.v=-x.
1>♦XX
(6)常见函数及其图像:
❹三角函数
(I)正弦函数、余弦函数
“函数形」弋:y=sin.v,y=cosx.
•2•
w第一部分高等数学a
②定义域:(-8,+8),值域/-1,1].
③奇偶性:y=sinx在其对称的定义区间内是奇函数,y=cos%
在其对称的定义区间内是偶函数.
④常见函数及其图像:
y=sinx产cosx
F'…元一
•…乃2必L3
-1
⑤常用公式:
(i)平方公式:sin%+cos2x=1.
(ii)二倍角公式•sin2x=2sinxcosx,
cos2x=cos2x-sin2%=1-2sin2x=2cos2%-1.
52
(iii)降舞公式:si一%」二;",。8%=1+;°s22
(iv)诱导公式:奇变偶不变,符号看象限.
.zkir、±sinxtk为偶数,
sm(—+%)=
±cosxtA为奇数,
±取决于%看作锐角时,sin(粤+”)的符号.
如:sin(H-x)=sirw,sin(*Tr+x)=一sinx,sin(J±X)=COSX,
1
,kF、士cos*,4为偶数.
cos(—+x)
±sinx.k为奇数,
士取决于X看作锐角时,cos("+')的符号.
如:COS(TT±%)=-cosx,cos(-^-+x)=-sinx,cos(----x)=sinx.
•3・
考研数学公式手册>
(v)和角公式:
sin(a+j8)=sinacos^S+cosasin/3
sin(a-j8)=sinacos/3-cosasin^S
cos(a+j8)=cosaco^S-sinasir^S
cos(a-/3)=cosacos/3+sinasin^
(vi)和差化积:
.,.q・a+6a-B
sina+sinpn=zsin-5—cos一5匚
sina-sinB=2cosa:户sindJ
x22
a+6oc-B
cosa+cosp=2cos-r-^cos—r-2-
a~・a+6,a.0
cosa-cosp=-2sin-z-^sin-yr-
十22
(vii)积化和差:
sinacos/3=sin(a+/3)+sin(a-/B)]
cosasin/3=sin(a+j9)-sin(a-j8)]
cosacos^S=—[cos(a+/5)+cos(a-(3)]
4
sinasin^=-cos(a+/3)-cos(a-/3)]
(2)正切函数、余切函数
①函数形式:y=tanx,y=cotx.
②定义域:y=tan”,与六Air+=cotx,x#A:7TtAeZ;
值域:(-8,+8).
③奇偶性:y=tanx,y==cotx在其对称的定义区间内都是奇函数.
・4・
◄第一部分高等数学
④常见函数及其图像:
⑤常用公式:
(i)平力公式:lan2x+I=sec'.v.<,《)/、+1=esc.r.
2lan.\
(ii)二倍角公式:tan2.r=
1—kiii2.r2cotx
(iii)和川公式:⑶】(a±(i)=L主见吟
1+lan<¥lanp
❾反三角函数
(1)反正弦函数、反余弦函数
I函数形式:)=arcsin.v,y=arccosx.
②定义域:[-1,1];
fit域:arcsinxG---.—],arccosxG0,TF1.
AO
③奇偶性:y=urrsim在定义域内是奇函数.
f仃界性:y=arcsinx,)=arcccsx在定义域内均有界.
⑸常公式:arcsinx+arccros.v=—.
国凝道蜀前考研数学公式手册>
⑥常见函数及其图像:
(2)反正切函数、反余切函数
①函数形式:y=arctanx,/=arccotx.
②定义域:(-00,+00);
值域:arctanxe(-子),arccotxe(0,TT).
44
③奇偶性:y=arctanx在定义域内是奇函数.
④有界性:y=arctanx,y=arccotx在定义域内均有界.
7T
⑤常用公式:arctanx+arccotx=
T9
,X±Yy,
arctanx±arctany=arctan(1一)・
I+盯
⑥常见函数及其图像:
⑦极限:limarctan%=—,limarctanx=--.
x-*♦822
•6•
・第一部分高等数学・
Q二、极限的概念、性质与计算
@极限与左、右极限
(1)limf(x)=f(x)=lim/(x)=.4;
'",t—•1/,r];
(2)limf(x)=/!<=>/(x(l)=4+a(工),其中lima(R)=0.
❷极限的性质
(1)局部保号性:设lim/(%)=。若4>0(或4<0),则存在5>0,
当*e(3-b,3)U(%,&+5)时/(y)>0(或/(工)<0).
(2)局部有界性:设lim/(4)=4,则存在5>0.当xe(.%-b,g)
口(与,3+6)时/(%)有界.
❸极限运算法则
lim/(x)=A,limg(x)=/«,则:
(1)lim(/(x)±g(x))=A±B;
(2)lim/(x)g(x)=4-B;
(3)】而华4=。"());
&(工)R
(4)若4,H不全为0,则lim/(x)r,,)=AH.
❹无穷小的比较
设lima(4)=0Jimfl(x)=0,万(工)#0,则:
若lim察?=0,则a(X)是比万(、)高阶的无穷小,记为
p(x)
a(x)=o(jB(x)).
北].a(x)
右向瓯=8,则。(X)是比。(》)低阶的无穷小.
若lim„=c(c#0),则a(.T)与尸(%)是同阶无穷小,
P\^)
•7•
4有道老神考研数学公式手册►
特别地,若5需=—)与尸⑺是等价的无穷小,记
为a(x)~B(x).
=c(c#O),A>0,MOa(x)是0(H)的A•阶无穷小,
特别地,若lim乳甘=c(c#O)Jllja(x)是x的A•阶无穷小.
X
❺常见等价无穷小(工T)时):
sinx
arcsinx-1~x\n(i,
A-arcsinx~-Jr"
kun:(I+x)^-1〜L,6
n
ardanxI3
i12
ln(I+x)「2T一
arctan.v-x-
®•极限存在准则与两个重要极限
(1)夹逼准则
设在4=阳)的某去心邻域内,恒有(p(x)W/(R)WW(M),且
lirn(p(x)=lirn(p(x)=/t,5Wlim/(x)=4.
真—AcX
(2)单调彳了界定理:单调有界的数列必有极限.
(3)两个重要极限:
.sin%....、:
nn------=I,lim(zI4-x)=e
“I”««o
抓大头:
o
〃二〃1>0,
bj
M+〃户+…+〃1H+
Inn-----------------
…+'+・・・+bm^x+b„t0,0<zi<,
oc、n>m>0.
♦8・
・第一部分高等数学■
(4)几个常用极限:
liinx1'h/.v=0.a、(3任总常数;
1-0
lim=().a任总常数>();
3•♦x(?
lim如J=0.a>0Ji任意常数;
lin)%;/i=I.lim,i'=1.
o洛必达法则
设函数/(*),g(x)满足条件:
(1)lini/(-V)=Iinig(x)=()或lin】/(.t)=8,lin】«(.t)=oc;
W•・・•••If;t•、・
(2)/(.v).g(x)住"的去心邻域内可导ELg'(x)KO:
(3)ii“Z4义存在(或为8);
'•'g(x)
则]淄,±[=1亩102.
rg(.Y)ig(.V)
注:.L*8时有类似结论.
❽泰勒公式
设函数/(工)在点品处的某邻域内具仃〃+1阶导数,则对该邻
域内异于出的任意点”,在出与X之间至少存在一个短使得:/(“)
+
=/(小)+/'(Ao)(.v-v0)+2:/”(品)(*-%)'+•・•—~r-(X-
%〉+((K).K中/"A-)=>三::;(X-K)”,称为/(X)在点心处带
布拉格朗n余项的泰物公式.
令.%=0,则/⑺=/(0)+/(0)工+廿(0心+・・•/1平工。3)
称为带皮亚诺余项的麦克劳林公式.
・9•
4有道岩神考5H数学公式手册►
常用函数在x=0处的带有皮亚诺余项的泰勒公式:
e»=1I+.x•+,■—x2+,…+—x+o(x)
2!aJ
lll(I+X)=X--丁丁+—X3-+(-1)"1—+O(A:*')
23n
1
sin.v=x--x十・••+(-+…)
丁•
2n
COSA=1-东
+…+(7"百汀+〃(一)
tanx=x+-j-.v'+(}(x')
an,sin.v=x+—x*+o(./)
6
13./3\
arctanx=x--r-x+〃(x)
dJ
;------=1+x+x2+•••+.r"+〃(/')
1-x
=1—X+X*+•,•+(-1)nxfl+o(X')
I+X
.,n(m-1)2m(,〃-1)…(m-〃+1)n/
(i+A)H?=1+〃次+^—~~-x+•••+-------L-;------------x+o(v।
2!〃!
0三、连续性与间断点
❶连续概念
若limf(x)=J\x),则/(X)在8处连续.
—・•0
❷伺断点及其类型
(I)若1泊[j\X)存在#/(x)或lim/(X)存在,且/(工)在:处无
•■1—0%
定义,则/(X)在4=x0处为可去间断点.
•10•
◄第一部分高等数学
(2)若lini/(x),lim/(x)存在:但不相等.则/(工)在x=.v(1处为
跳跃间断点.
(3)若lim/(x)=8或]iin/(K)=8.则/(h)fl:x=x处'为无穷
I•£;X"•月.0
间断点.
(4)若.Y—F时,函数值/(.v)在某个区间内变动无限多次,则/(汇)
在4=3处为振荡间断点.
1四、闭区间上连续函数的性质
❶:连续函数的有界性
(1)设函数/(X)在[a,人上连续,则/(工)在[〃,门上有界.
(2)设函数/(x)作(a,〃)I二连续,且1沁】/(*)与lim/(x)都存在,
则/(x)在(〃•/))上有界.
❷最值定理
设函数/(«)在上连续,则在上/(X)存在存大值与
最小值,即存在m,/W,使得mS/(x)WM.
❷介值定理
函数/(勇在[〃,〃]上连续,。是介T/(a)与/(h)之间的任一
实数,则在fw(a,〃),使得/(f)=C
推论:若函数/(*)在[〃"]匕连续.且mWCWM则存在
e\aj)],使得/(f)=(:.
/零点定理
设函数/(、)在[〃加上连续,且/(〃)・/(/<0,则存在门(〃在),
使得/(§)=().
4有道岩神考研数学公式手册►
第一元函数微分学
Q—、导数的定义、性质与计算
❶,导数的定义
/]、../(%+△、)一/(.%)+〃/、1./(”)一/(:。)
I)./(。)=hni—7——或./(.v0)=lim-・
(2)左导数:/.(x“)=hni------------T---------或
01-0-
,/(维)=hm-----------------.
….x-%
八于效J,(.%)=lini----------T---------或
A.Ax
((X)-/(.v0)
/:(.VO)=hm—
Ix-.v0
(3)充要条件/(%)=m)=/:(.%)=4.
❷几何意义
(।)切线方程:y-J\xn)=/(%)(--&).
(2)法线方程:
'工/’'(・%)六。时,y一/(.%)=一/.,(】,(x);
当/'(%)=0时,'=&.
微分的定义
设/(%)在3的某邻域内有定义,若
△y=/(.r+Ax)一/(X)
川表示为
△y=/iA.v+o(△*),
•12•
4第一部分高等数学・
其中4为不依赖于△x的常数,则称/(x)在小处可微.并称
/1△/为/(4)在.%处的微分,记作力或力”),即
fly=(lf{x}=.4A.v.
❹基本求导(微分)公式
(1)>=c(常数)一=0(ly=0
(2))=./(0为实数)y1=a”dy=«.v'1(lx
⑶〉'’=//'Inutly=a'\i\adx
y=<*'(e)=/(/(e')=e'(lx
,1
(4)v=log<(xV=一(lv--T--(lx
AIIU/xhu/
»>•=Inx(In1,V1)=—</(In.v1)=tlx
X
(5)y=siii.vy'=cosx(1(sin.v)=cosxr/.v
(6)y=cosxy1=-sin.v(1(cos.x)=s\nx(lx
(7)y=tiin.v>'=src\vd(tari.v)=secxdx
f2
(8)y=cot.v)•二一escxd(cciLv)=-CSC-.U/A
(9)y=sec.r、'=s(*(vlan.vd(secx)=secxlanxrfx
(10)),=CSCA-)'=-csc.vcotx</(CSCA)=-CSC.VC<lt.V<Zv
,_I___
(11))=iux-siuvy="■--</(iUX-siiLV)=______(b:
71
,i
(12)y=ar(eosvy=”(armzt)=-—(be
/-Y
,1
(13))==arctan.vX=--------7d(arctan.v)=川工
1+.广1+.v"
,1
(14))-=iirccotvV=,</(arccoLv)=-
1+.小1+r
•13・
4有道岩神考研数学公式手册►
@・函数求导法则
(1)四则运算法则
①(〃±r),=II*±vf(1(it±?:)=du±dv
2'(〃「)’=〃/+vu(I(ur)=udv+vdu
,/〃、vdu-udv
3(—)y=—(,/())d(一)=----;---
〃if
(2)反函数求导法则
设r=/(x)在点」的某邻域内单调、可导旦/'(工)户0,则其反
函数在点、所对应的丁处可导,并且有
虫__L
百一什.
dx
(3)复合函数求导法则
若〃=3t)作点久•导,而y=/(内)在对应点=3(算))可
导,则复合函数>=/(«(.,))在点x口1导,且>'=/'(〃)・,(》)
(4)隐函数求导法则
①H接求.方程两边对、求导,注电T是x的函数,应按
”合函数求导法则处理.
②公式法.丁=心)由〃(.")=0确定)唬=一],其中.F:、
《分别表示仪f)对〈和y的偏导数.
③利③微分形分不变性.由F(.v,y)=0知甲/x+单/y=0,所以
八
1-\
dx一厂
•14•
・第一部分高等数学・
(5)参数方程求导法则
(x=x(/)
设y=/(x)由参数方程确定,则:
(y=y(0
①>,="务福=")
ax(lx/(itx(r)
“、,,=小二电@
--_dx_dx/dl-*(f)
◎高阶导数
(I)莱布尼兹公式
若〃(工),”(、)均〃阶可导,则(":严>=E。:“%严」,其中
4n(>
二〃."""=V.
(2)常用高阶导数
①(a')g=疗In%(a>0)(e,)(n>=e1
2)(sintv)=sin(kx+n•—)
(认coskx)'"'=kncos(kx+n--y-)
①(x")=〃"m-1)…(m-〃+】)戈…"
⑤(除)⑺=(一1)(…)吗?!
6连续、可导、可微的关系
可导O可微;可导必连续,连续未必可导.
二、导数的应用
❶单调性与极值
(I)设函数/(X)在[a,6]上连续,在(a/)内可导,如果在
(“》)内/(》)N0(或/(乜)W0),旦等号仅在有限个点处成立,那
•15•
4有追岩神考研数学公式手册►
么函数/(X)在[〃㈤上单调增加(或单.调减少).
(2)极值的必要条件
没函数/(、)住心处可导J1在3处取得极值,则/(5)=0.
(3)极值的笫一充分条件
设函数/(工)布.%处连续,作小的某去心邻域1/(小j)内可导.
I)若(x“一$・%)H寸/'(x)>0,而IG(.%..4+5)时J'(N)<
。,则/(冥)在工二%处取得极大值;
②若xwg-<?..%)时/'(》)<0,而XG(.%,%+3)时,/'(K)>
0,则/(.丫)在x=/处取得极小值;
③若”eU(小,6时/(.l)符号保持不变,则/(.r)在%=.%处
没有极值.
(4)极值的笫二充分条件
设/(X)在.7处具有■二阶导数,且/,(/)=0,/"(.4)六0,则:
①当/〃(3)<。时,函数/(.、・)在此处取得极大值;
②当/”('%)>()时,函数/(')在/处取得极小值.
③如果/〃(&)=(),此方法失效.
❷函数最值的求法
(I)若/(x)在闭区间[〃㈤上连续,则比较/(x)的端点值、驻
点值、不可导点处函数值的大小,最大的则为最大值,最小的则为
最小值.
(2)若/(x)在开区间(〃勿内可导II.行唯一驻点,则该点必为
极/卜(大)值点,口此极小(大)值必为函数/(x)在开区间(〃,〃)内
的最小(大)值点.
❸凹凸性与拐点
(I)凹凸性的定义
◄第一部分高等数学口
设函数/(工)住区间/上连续,任取两点G/jn.有
£(M);£(.巧)〉/()或/CJ二八J)则称曲线
M
y=/(*)在区间/是WI(或凸)的.
(2)凹凸性的判别定理
设”.()作[0,4上连续,在(*/,)内具有一阶和二阶导数.那
么:若在(〃“)内fn(x)<0(或/"(幻>0)•则/(工)在上的图
形是凸的(或凹的).
(3)拐点的笫一充分条件
设函数/(一)在阳,处连续.在小的某去心邻域u(.%⑻内rui
二阶可导.
①若/”(X)在小的左右领域内符号异号,则(/,/(.%))为函数
/(X)的拐点;
②若/"(.V)在线的左右领域内符号保持4<变,则(3,/(痂))不
为函数/(工)的拐点.
(4)拐点的笫二充分条件
设/(*)作/处具有三阶导数/1./"(小)=()./"'(凡)#0.则
(&,/(.%))为函数/(x)的拐点.
(5)拐点的必要条件
设函数J\x)在.次处二阶可导,IL(&,/(.%))为数数/(在的拐
点,则/"(.0)=0.
❹渐近线
(1)水平渐近线
lim/(x)=a或lim/(x)=a,则y=a称为函数y=/(x)的
■一♦Xi-♦-oc
水平渐近线.
(2)铅本渐近线
-17•
4有道君神考研数学公式手册►
若lirn/(%)=«或]im/(x)=8,则%=x0称为函数y=/(x)的
铅直渐近线.
(3)斜渐近线
若k=lir/(:E),4=liniJ\x)-Ax],则y=kx+b称为函数y=j\x)
的斜渐近线.
'三、微分中值定理
❶费马定理
若函数/(X)满足条件:
(1)函数/(X)在人的某邻域内有定义,并且在此邻域内恒有
小)W/5)或/(*)'/(.4);
(2)/(4)在/处可导,则彳1/(%)=0.
◎罗尔定理
设函数/(动满足条件:
(1)在闭区间[”,〃]上连续;
(2)在开区间(a,Q内可导;
(3)/(。)=/(〃);
则至少存在一点f6(。,〃),使得/,(§)=0.
❸拉格朗曰中值定理
设函数/(》)满足条件:
(1)在闭区间[叫叶上连续;
(2)在开区间(%〃)内可导;
则至少存在一点£&(a,/)),使彳四2■二生吐=/'(§).
b-a
或存在Hw(0,1),使得八4二^"=/'("+(6-〃)。).
。一Q
<第一部分高等数学■
柯西中值定理
设函数/(%),g(心满足条件:
(1)在闭区间工,口上连续;
(2)在开区间(叫〃)内可导,且/(化)#0;
则至少存在一点5三(”,〃),使得粤二华:=人得・
g⑷一g(。)g(f)
❺泰勒中值定理
设函数/")在点/处的某邻域内具有〃+1阶导数,则对该邻
域内异于右的任意点%在/与x之间至少存在一个短使得:
(n>
I、/(xn)
f(x)=/(&)+/'(%)(*-0)++・・•+———(#-4)”
四、弧微分与曲率(仅数学一、二要求)
❶弧微分
v7l+>"«h,曲线为/=f(x),
.__________________________(X=x(/),
去=linVAx?+△『=/_/(/)厂+[),'(/)『力.曲线为{
&❹"[y=y(f).
•/r2+/df).曲线为一⑻.
❷曲率
(1)公式
曲率K=I等I=VU,Hh率半径R="
(2)性质
①曲率圆的圆心在该点凹侧的法线上,半径等于曲率的倒数,
•19•
4有11老神考研数学公式手册►
曲率园与曲线在该点处相切;
②该点曲率越大.曲率网的半径越小,该点处弯曲程度越大;
③在该点处jfli线与曲率M具.彳相同的切线与仙率,即行相同
的一阶导数值与二阶导数值,且凹向相同,可以近似代替.
④在该点的某邻域内jin线夹在切线与曲率园之间.
卜J五、导数的经济学应用(仅数学三要求)
❶边际的概念
如果函数1=/(》)花小处何导,则布(.7,*“+△.,)内的平均变化
率;为广二在二.%处的瞬时变化率为linJQ"+△:)-/(/)=/(%),
A.VA.c
经济学中称/'(.%)为/(.T)在、=.%处的边际函I数值.
设函数V=/(.r)在X处可5则称导数ff(.V)为/(.V)的边际函
数,/'(])在.%处的值/'(%)为边际函数值.其意义为:当”/时,
X改变一个单位的绝对时,y改变/'(小)个单位的绝对他
❷经济学中常见的边际函数
(I)边际曲文本:仁(Q)
(2)平均边际成本:(5彩1
(3)边际需求:〃<。)
(4)边际收益:*(Q)=〃(Q)+〃〃'(())
(5)边际利润:〃(Q)="'(。)-C'(Q)
【注】利涧最大原则:〃(0)=0"(Q)<(),即
*(。)=U(Q).A"(Q)"(Q)
0弹性的概念
如果函数y=/(.、•)住点处可导JL3K0,称函数的相对改变量
•2()•
・第一部分高等数学
勺自变小的相对改变巾包之比令"①为函数从小到。+两
Jo小△工?0
点间的平均相对变化率,或称为巾与.%+Ax两点间的弹性.
设函数5•=/(.,)在、处可导.则称华•王为/⑴的弹性
(lxy
函数.£、/□%处的值称为弹性函数位,简称弹性.兑息义为:、7
.1=小1时,》改变1%的相对卮,)•改变|反"%的相对;止.
<>经济学中常见的弹性函数
(1)力;求价格弹性:%=一穿I・2
(2)供给价格押.性4..二%・£
dr、
(3)成本需求弹性:%名
d(Jc
(4)收益价格弹性:纥=^・方
【注】%=[°+/%・导I+%齐If
(5)收益需求弹性:%=襄・g
(i\fK
r*i,,.'"3oQ,dPQ.1
【江】〃Q+/•・可=|+而.〃
第三章一元函数枳分学
一、不定积分
❶原函数与不定积分的概念
如果在区间1匕,可导函数”(K)的导函数为/(K);即对任一
d有道意神考研数学公式手册〉
KW/都有尸(X)=/(«)或=/(”)人,那么函数F(工)就称为
(或/(“"")在区间/上的一个原函数;称J7(4)dx=F(A)+C
为J\x)或/(4)公在区间/上不定积分.
❷原函数的存在性
(1)连续函数一定存在原函数.
(2)含有可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点的函数一定没
有原函数.
(3)含有振荡间断点的函数可能存在原函数.
❷不定积分的计算性质
(1)"x)dx二中(x)dx(k#0为常数)
(2)j[£(工)±…土£(工)=J/j(x)dx±±J/l(x)(lx
(3)[J/(x)dx]'=/(1)或=/(x)dx
(4)J尸(x)八二产(.、)+C或jdn.T)="工)+C(C是任意常数)
Q基本积分公式
(I)[xkdx=।,/'+C(A'#-1)
Jk+I
(2)J-yf/x=一■^-+CJ\dx=ijx+C
(3)[—dx=InIx|+C
Jx
(4)[adx=+C(a>0,〃#I)[eldx=e'+C
JIna
(5)jcosxdx=sinx+Csinxdx=一cosx+C
・oo.
◄第一部分高等数学一
(6)f----tlx=Isecxc/v=tanxt
C
Jcos*xJ
(7)1—(/.v=jc^e'xdx=-cot.r+c
Jsin\vJ
(8)f.dx-[csrx(/x=In|cscx-colx|+C
Jsin.rJ
(9)1----dx=1secxclx=Inisecx+tanrv1+C
JcosxJ
(10)jsecxtanxf/x=secx+CJCSC'XCOl.Vf/.X=-cscx+C
(11)Jlan.vJx=-In1cosx|+Cjcotxf/.v=In|siiiv+C
xfdx1x「f/A./,
(z12)------=—arctan—+C-=ardanx+C
Ja+x*aaJ1十U
/口、「dxx「fdx4/,
(13)_______=arcsin+C-—•一=arcsinx+C
22
」Va-x〃」7/\-r
(14)14山+CJJ二=±|n5+c
ja-x2(i\a-xJ1--x21-x
1
(15)f______-InA*+Vx±a|+C
Jf±a"
、常见的几种凑微分形式(第一类换元法)
(1)[/(ax+A)dx=—f/(ax+b)(1(ax+b)(aK0)
(2)J/(ax'+b)x'^dx=—J/'(ax-+-b)d{axn+b)(a#0)
(3)jf(e)edx=J/C
/(—)
(4)J[2dx="J)
(5)=|/(lnx)r/(lnx)
•23•
4有道考神考研数学公式手册A
(6)/乂等八•=21/,(无)d(G)
(7)J/*(sin.v)cosxr/.v=J/*(
sinx)(1(sin.v)
(8)J/(cos.v)siiLrJ.v=-J/(COSA-)(I(eosx)
(9)f/(tan.v)sev:xdx=J/(tan.v)</(lan.v)
(10)[ncolv)esc,vr/.v=一I/'(cot.v)fl(col.v)
(H)/小:彗星=仅
\1-X-
a
(12)f1)(/*={/(ardana;)〃(arefanA")
J1+V,
@去根号(第二类换元法)
(1)根号下”是一次林,整体换元
.....,f,「----,令>/l+.v==/--1
例如:jAV1+A)心=---------------.1/(/)•21dl.
(2)根号下.v是二次票.三角换元
根式类型三角换元辅助三用形
x=usin/X
•Ja2-x:上
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