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文档简介

有道考神考研数学

常用公式手册

未来------是你的正无穷

oooo|oooo

第一部分高等数学.......................................1

第一章函数、极限、连续................................1

第二章一元函数微分学...............................12

第三章一元函数积分学..............................21

第四章微分方程.....................................32

第五章多元函数微分学..............................37

第六章二重积分.....................................41

第七章无穷级数(数学一、三)..........................44

第八章向量代数与空间几何(数学一).................50

第九章三重积分(数学一)............................58

第十章曲线积分(数学一)............................61

第十一章曲面积分(数学一)..........................63

第十二章场论初步(数学一)..........................66

第二部分线性代数.....................................68

第一章行列式.......................................68

第二章矩阵.........................................69

第三章向量组.......................................73

第四章线性方程组...................................76

第五章特征值与特征向量............................78

第六章二次型.......................................79

第三部分概率论与数理统计(数学一、三).................82

第一章随机事件与概率..............................82

第二章随机变量及其分布............................85

第三章多维随机变量及其分布.......................88

第四章随机变域的数字特征.........................90

第五章大数定律与中心极限定理.....................92

第六章数理统计的基本概念..........................93

第七章参数估计.....................................95

第八章假设检验.....................................98

•2•

◄第一部分高等数学■

第一部分高等数学

笫一尊函数、极限、连续

一、基本初等函数及其性质

❶鼎函数

(1)函数形式:y=-3w1O.

(2)计算性质:

1

y=xn=7x=x=-~',j=xn,xnt=xru♦n,y=/(.vn\)ni=xmu.

jc,1

(3)常见函数及其图像:

y=x,y-x2,〉=&、、=:x\y=yx=­・

•A

v1

,.tv-x/7'I''叽"ll«

A~~o-V

/J:彳

❷指数函数

(1)函数形式:y=a(ft>c)且1).

(2)定义域:(-8,+8),值域:(0,+8).

(3)单调性:〃>1时=,单调增加;〃<]时,y=a,单调

减少.

4有道老神考研数学公式手册〉

(4)常见函数及其图像:

(6)特殊函数值:/=]"=1.

❸对数函数

(1)函数形式:)=log4lx(〃>0且31).

(2)定义域:((),+00),值域:(-8,+8).

(3)单调性>1时,y=log.单调增加;〃<1时,y=logflx单

调减少.

(4)特殊函数值:log」=0Jog,//=1Jnl=0,lne=1.

(5)极限:lirnIn.v=+x,limhi.v=-x.

1>♦XX

(6)常见函数及其图像:

❹三角函数

(I)正弦函数、余弦函数

“函数形」弋:y=sin.v,y=cosx.

•2•

w第一部分高等数学a

②定义域:(-8,+8),值域/-1,1].

③奇偶性:y=sinx在其对称的定义区间内是奇函数,y=cos%

在其对称的定义区间内是偶函数.

④常见函数及其图像:

y=sinx产cosx

F'…元一

•…乃2必L3

-1

⑤常用公式:

(i)平方公式:sin%+cos2x=1.

(ii)二倍角公式•sin2x=2sinxcosx,

cos2x=cos2x-sin2%=1-2sin2x=2cos2%-1.

52

(iii)降舞公式:si一%」二;",。8%=1+;°s22

(iv)诱导公式:奇变偶不变,符号看象限.

.zkir、±sinxtk为偶数,

sm(—+%)=

±cosxtA为奇数,

±取决于%看作锐角时,sin(粤+”)的符号.

如:sin(H-x)=sirw,sin(*Tr+x)=一sinx,sin(J±X)=COSX,

1

,kF、士cos*,4为偶数.

cos(—+x)

±sinx.k为奇数,

士取决于X看作锐角时,cos("+')的符号.

如:COS(TT±%)=-cosx,cos(-^-+x)=-sinx,cos(----x)=sinx.

•3・

考研数学公式手册>

(v)和角公式:

sin(a+j8)=sinacos^S+cosasin/3

sin(a-j8)=sinacos/3-cosasin^S

cos(a+j8)=cosaco^S-sinasir^S

cos(a-/3)=cosacos/3+sinasin^

(vi)和差化积:

.,.q・a+6a-B

sina+sinpn=zsin-5—cos一5匚

sina-sinB=2cosa:户sindJ

x22

a+6oc-B

cosa+cosp=2cos-r-^cos—r-2-

a~・a+6,a.0

cosa-cosp=-2sin-z-^sin-yr-

十22

(vii)积化和差:

sinacos/3=sin(a+/3)+sin(a-/B)]

cosasin/3=sin(a+j9)-sin(a-j8)]

cosacos^S=—[cos(a+/5)+cos(a-(3)]

4

sinasin^=-cos(a+/3)-cos(a-/3)]

(2)正切函数、余切函数

①函数形式:y=tanx,y=cotx.

②定义域:y=tan”,与六Air+=cotx,x#A:7TtAeZ;

值域:(-8,+8).

③奇偶性:y=tanx,y==cotx在其对称的定义区间内都是奇函数.

・4・

◄第一部分高等数学

④常见函数及其图像:

⑤常用公式:

(i)平力公式:lan2x+I=sec'.v.<,《)/、+1=esc.r.

2lan.\

(ii)二倍角公式:tan2.r=

1—kiii2.r2cotx

(iii)和川公式:⑶】(a±(i)=L主见吟

1+lan<¥lanp

❾反三角函数

(1)反正弦函数、反余弦函数

I函数形式:)=arcsin.v,y=arccosx.

②定义域:[-1,1];

fit域:arcsinxG---.—],arccosxG0,TF1.

AO

③奇偶性:y=urrsim在定义域内是奇函数.

f仃界性:y=arcsinx,)=arcccsx在定义域内均有界.

⑸常公式:arcsinx+arccros.v=—.

国凝道蜀前考研数学公式手册>

⑥常见函数及其图像:

(2)反正切函数、反余切函数

①函数形式:y=arctanx,/=arccotx.

②定义域:(-00,+00);

值域:arctanxe(-子),arccotxe(0,TT).

44

③奇偶性:y=arctanx在定义域内是奇函数.

④有界性:y=arctanx,y=arccotx在定义域内均有界.

7T

⑤常用公式:arctanx+arccotx=

T9

,X±Yy,

arctanx±arctany=arctan(1一)・

I+盯

⑥常见函数及其图像:

⑦极限:limarctan%=—,limarctanx=--.

x-*♦822

•6•

・第一部分高等数学・

Q二、极限的概念、性质与计算

@极限与左、右极限

(1)limf(x)=f(x)=lim/(x)=.4;

'",t—•1/,r];

(2)limf(x)=/!<=>/(x(l)=4+a(工),其中lima(R)=0.

❷极限的性质

(1)局部保号性:设lim/(%)=。若4>0(或4<0),则存在5>0,

当*e(3-b,3)U(%,&+5)时/(y)>0(或/(工)<0).

(2)局部有界性:设lim/(4)=4,则存在5>0.当xe(.%-b,g)

口(与,3+6)时/(%)有界.

❸极限运算法则

lim/(x)=A,limg(x)=/«,则:

(1)lim(/(x)±g(x))=A±B;

(2)lim/(x)g(x)=4-B;

(3)】而华4=。"());

&(工)R

(4)若4,H不全为0,则lim/(x)r,,)=AH.

❹无穷小的比较

设lima(4)=0Jimfl(x)=0,万(工)#0,则:

若lim察?=0,则a(X)是比万(、)高阶的无穷小,记为

p(x)

a(x)=o(jB(x)).

北].a(x)

右向瓯=8,则。(X)是比。(》)低阶的无穷小.

若lim„=c(c#0),则a(.T)与尸(%)是同阶无穷小,

P\^)

•7•

4有道老神考研数学公式手册►

特别地,若5需=—)与尸⑺是等价的无穷小,记

为a(x)~B(x).

=c(c#O),A>0,MOa(x)是0(H)的A•阶无穷小,

特别地,若lim乳甘=c(c#O)Jllja(x)是x的A•阶无穷小.

X

❺常见等价无穷小(工T)时):

sinx

arcsinx-1~x\n(i,

A-arcsinx~-Jr"

kun:(I+x)^-1〜L,6

n

ardanxI3

i12

ln(I+x)「2T一

arctan.v-x-

®•极限存在准则与两个重要极限

(1)夹逼准则

设在4=阳)的某去心邻域内,恒有(p(x)W/(R)WW(M),且

lirn(p(x)=lirn(p(x)=/t,5Wlim/(x)=4.

真—AcX

(2)单调彳了界定理:单调有界的数列必有极限.

(3)两个重要极限:

.sin%....、:

nn------=I,lim(zI4-x)=e

“I”««o

抓大头:

o

〃二〃1>0,

bj

M+〃户+…+〃1H+

Inn-----------------

…+'+・・・+bm^x+b„t0,0<zi<,

oc、n>m>0.

♦8・

・第一部分高等数学■

(4)几个常用极限:

liinx1'h/.v=0.a、(3任总常数;

1-0

lim=().a任总常数>();

3•♦x(?

lim如J=0.a>0Ji任意常数;

lin)%;/i=I.lim,i'=1.

o洛必达法则

设函数/(*),g(x)满足条件:

(1)lini/(-V)=Iinig(x)=()或lin】/(.t)=8,lin】«(.t)=oc;

W•・・•••If;t•、・

(2)/(.v).g(x)住"的去心邻域内可导ELg'(x)KO:

(3)ii“Z4义存在(或为8);

'•'g(x)

则]淄,±[=1亩102.

rg(.Y)ig(.V)

注:.L*8时有类似结论.

❽泰勒公式

设函数/(工)在点品处的某邻域内具仃〃+1阶导数,则对该邻

域内异于出的任意点”,在出与X之间至少存在一个短使得:/(“)

+

=/(小)+/'(Ao)(.v-v0)+2:/”(品)(*-%)'+•・•—~r-(X-

%〉+((K).K中/"A-)=>三::;(X-K)”,称为/(X)在点心处带

布拉格朗n余项的泰物公式.

令.%=0,则/⑺=/(0)+/(0)工+廿(0心+・・•/1平工。3)

称为带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

・9•

4有道岩神考5H数学公式手册►

常用函数在x=0处的带有皮亚诺余项的泰勒公式:

e»=1I+.x•+,■—x2+,…+—x+o(x)

2!aJ

lll(I+X)=X--丁丁+—X3-+(-1)"1—+O(A:*')

23n

1

sin.v=x--x十・••+(-+…)

丁•

2n

COSA=1-东

+…+(7"百汀+〃(一)

tanx=x+-j-.v'+(}(x')

an,sin.v=x+—x*+o(./)

6

13./3\

arctanx=x--r-x+〃(x)

dJ

;------=1+x+x2+•••+.r"+〃(/')

1-x

=1—X+X*+•,•+(-1)nxfl+o(X')

I+X

.,n(m-1)2m(,〃-1)…(m-〃+1)n/

(i+A)H?=1+〃次+^—~~-x+•••+-------L-;------------x+o(v।

2!〃!

0三、连续性与间断点

❶连续概念

若limf(x)=J\x),则/(X)在8处连续.

—・•0

❷伺断点及其类型

(I)若1泊[j\X)存在#/(x)或lim/(X)存在,且/(工)在:处无

•■1—0%

定义,则/(X)在4=x0处为可去间断点.

•10•

◄第一部分高等数学

(2)若lini/(x),lim/(x)存在:但不相等.则/(工)在x=.v(1处为

跳跃间断点.

(3)若lim/(x)=8或]iin/(K)=8.则/(h)fl:x=x处'为无穷

I•£;X"•月.0

间断点.

(4)若.Y—F时,函数值/(.v)在某个区间内变动无限多次,则/(汇)

在4=3处为振荡间断点.

1四、闭区间上连续函数的性质

❶:连续函数的有界性

(1)设函数/(X)在[a,人上连续,则/(工)在[〃,门上有界.

(2)设函数/(x)作(a,〃)I二连续,且1沁】/(*)与lim/(x)都存在,

则/(x)在(〃•/))上有界.

❷最值定理

设函数/(«)在上连续,则在上/(X)存在存大值与

最小值,即存在m,/W,使得mS/(x)WM.

❷介值定理

函数/(勇在[〃,〃]上连续,。是介T/(a)与/(h)之间的任一

实数,则在fw(a,〃),使得/(f)=C

推论:若函数/(*)在[〃"]匕连续.且mWCWM则存在

e\aj)],使得/(f)=(:.

/零点定理

设函数/(、)在[〃加上连续,且/(〃)・/(/<0,则存在门(〃在),

使得/(§)=().

4有道岩神考研数学公式手册►

第一元函数微分学

Q—、导数的定义、性质与计算

❶,导数的定义

/]、../(%+△、)一/(.%)+〃/、1./(”)一/(:。)

I)./(。)=hni—7——或./(.v0)=lim-・

(2)左导数:/.(x“)=hni------------T---------或

01-0-

,/(维)=hm-----------------.

….x-%

八于效J,(.%)=lini----------T---------或

A.Ax

((X)-/(.v0)

/:(.VO)=hm—

Ix-.v0

(3)充要条件/(%)=m)=/:(.%)=4.

❷几何意义

(।)切线方程:y-J\xn)=/(%)(--&).

(2)法线方程:

'工/’'(・%)六。时,y一/(.%)=一/.,(】,(x);

当/'(%)=0时,'=&.

微分的定义

设/(%)在3的某邻域内有定义,若

△y=/(.r+Ax)一/(X)

川表示为

△y=/iA.v+o(△*),

•12•

4第一部分高等数学・

其中4为不依赖于△x的常数,则称/(x)在小处可微.并称

/1△/为/(4)在.%处的微分,记作力或力”),即

fly=(lf{x}=.4A.v.

❹基本求导(微分)公式

(1)>=c(常数)一=0(ly=0

(2))=./(0为实数)y1=a”dy=«.v'1(lx

⑶〉'’=//'Inutly=a'\i\adx

y=<*'(e)=/(/(e')=e'(lx

,1

(4)v=log<(xV=一(lv--T--(lx

AIIU/xhu/

»>•=Inx(In1,V1)=—</(In.v1)=­tlx

X

(5)y=siii.vy'=cosx(1(sin.v)=cosxr/.v

(6)y=cosxy1=-sin.v(1(cos.x)=­s\nx(lx

(7)y=tiin.v>'=src\vd(tari.v)=secxdx

f2

(8)y=cot.v)•二一escxd(cciLv)=-CSC-.U/A

(9)y=sec.r、'=s(*(vlan.vd(secx)=secxlanxrfx

(10)),=CSCA-)'=-csc.vcotx</(CSCA)=-CSC.VC<lt.V<Zv

,_I___

(11))=iux-siuvy="■--</(iUX-siiLV)=______(b:

71

,i

(12)y=ar(eosvy=­”(armzt)=-—(be

/-Y

,1

(13))==arctan.vX=--------7d(arctan.v)=川工

1+.广1+.v"

,1

(14))-=iirccotvV=,</(arccoLv)=-

1+.小1+r

•13・

4有道岩神考研数学公式手册►

@・函数求导法则

(1)四则运算法则

①(〃±r),=II*±vf(1(it±?:)=du±dv

2'(〃「)’=〃/+vu(I(ur)=udv+vdu

,/〃、vdu-udv

3(—)y=—(,/())d(一)=----;---

〃if

(2)反函数求导法则

设r=/(x)在点」的某邻域内单调、可导旦/'(工)户0,则其反

函数在点、所对应的丁处可导,并且有

虫__L

百一什.

dx

(3)复合函数求导法则

若〃=3t)作点久•导,而y=/(内)在对应点=3(算))可

导,则复合函数>=/(«(.,))在点x口1导,且>'=/'(〃)・,(》)

(4)隐函数求导法则

①H接求.方程两边对、求导,注电T是x的函数,应按

”合函数求导法则处理.

②公式法.丁=心)由〃(.")=0确定)唬=一],其中.F:、

《分别表示仪f)对〈和y的偏导数.

③利③微分形分不变性.由F(.v,y)=0知甲/x+单/y=0,所以

1-\

dx一厂

•14•

・第一部分高等数学・

(5)参数方程求导法则

(x=x(/)

设y=/(x)由参数方程确定,则:

(y=y(0

①>,="务福=")

ax(lx/(itx(r)

“、,,=小二电@

--_dx_dx/dl-*(f)

◎高阶导数

(I)莱布尼兹公式

若〃(工),”(、)均〃阶可导,则(":严>=E。:“%严」,其中

4n(>

二〃."""=V.

(2)常用高阶导数

①(a')g=疗In%(a>0)(e,)(n>=e1

2)(sintv)=sin(kx+n•—)

(认coskx)'"'=kncos(kx+n--y-)

①(x")=〃"m-1)…(m-〃+】)戈…"

⑤(除)⑺=(一1)(…)吗?!

6连续、可导、可微的关系

可导O可微;可导必连续,连续未必可导.

二、导数的应用

❶单调性与极值

(I)设函数/(X)在[a,6]上连续,在(a/)内可导,如果在

(“》)内/(》)N0(或/(乜)W0),旦等号仅在有限个点处成立,那

•15•

4有追岩神考研数学公式手册►

么函数/(X)在[〃㈤上单调增加(或单.调减少).

(2)极值的必要条件

没函数/(、)住心处可导J1在3处取得极值,则/(5)=0.

(3)极值的笫一充分条件

设函数/(工)布.%处连续,作小的某去心邻域1/(小j)内可导.

I)若(x“一$・%)H寸/'(x)>0,而IG(.%..4+5)时J'(N)<

。,则/(冥)在工二%处取得极大值;

②若xwg-<?..%)时/'(》)<0,而XG(.%,%+3)时,/'(K)>

0,则/(.丫)在x=/处取得极小值;

③若”eU(小,6时/(.l)符号保持不变,则/(.r)在%=.%处

没有极值.

(4)极值的笫二充分条件

设/(X)在.7处具有■二阶导数,且/,(/)=0,/"(.4)六0,则:

①当/〃(3)<。时,函数/(.、・)在此处取得极大值;

②当/”('%)>()时,函数/(')在/处取得极小值.

③如果/〃(&)=(),此方法失效.

❷函数最值的求法

(I)若/(x)在闭区间[〃㈤上连续,则比较/(x)的端点值、驻

点值、不可导点处函数值的大小,最大的则为最大值,最小的则为

最小值.

(2)若/(x)在开区间(〃勿内可导II.行唯一驻点,则该点必为

极/卜(大)值点,口此极小(大)值必为函数/(x)在开区间(〃,〃)内

的最小(大)值点.

❸凹凸性与拐点

(I)凹凸性的定义

◄第一部分高等数学口

设函数/(工)住区间/上连续,任取两点G/jn.有

£(M);£(.巧)〉/()或/CJ二八J)则称曲线

M

y=/(*)在区间/是WI(或凸)的.

(2)凹凸性的判别定理

设”.()作[0,4上连续,在(*/,)内具有一阶和二阶导数.那

么:若在(〃“)内fn(x)<0(或/"(幻>0)•则/(工)在上的图

形是凸的(或凹的).

(3)拐点的笫一充分条件

设函数/(一)在阳,处连续.在小的某去心邻域u(.%⑻内rui

二阶可导.

①若/”(X)在小的左右领域内符号异号,则(/,/(.%))为函数

/(X)的拐点;

②若/"(.V)在线的左右领域内符号保持4<变,则(3,/(痂))不

为函数/(工)的拐点.

(4)拐点的笫二充分条件

设/(*)作/处具有三阶导数/1./"(小)=()./"'(凡)#0.则

(&,/(.%))为函数/(x)的拐点.

(5)拐点的必要条件

设函数J\x)在.次处二阶可导,IL(&,/(.%))为数数/(在的拐

点,则/"(.0)=0.

❹渐近线

(1)水平渐近线

lim/(x)=a或lim/(x)=a,则y=a称为函数y=/(x)的

■一♦Xi-♦-oc

水平渐近线.

(2)铅本渐近线

-17•

4有道君神考研数学公式手册►

若lirn/(%)=«或]im/(x)=8,则%=x0称为函数y=/(x)的

铅直渐近线.

(3)斜渐近线

若k=lir/(:E),4=liniJ\x)-Ax],则y=kx+b称为函数y=j\x)

的斜渐近线.

'三、微分中值定理

❶费马定理

若函数/(X)满足条件:

(1)函数/(X)在人的某邻域内有定义,并且在此邻域内恒有

小)W/5)或/(*)'/(.4);

(2)/(4)在/处可导,则彳1/(%)=0.

◎罗尔定理

设函数/(动满足条件:

(1)在闭区间[”,〃]上连续;

(2)在开区间(a,Q内可导;

(3)/(。)=/(〃);

则至少存在一点f6(。,〃),使得/,(§)=0.

❸拉格朗曰中值定理

设函数/(》)满足条件:

(1)在闭区间[叫叶上连续;

(2)在开区间(%〃)内可导;

则至少存在一点£&(a,/)),使彳四2■二生吐=/'(§).

b-a

或存在Hw(0,1),使得八4二^"=/'("+(6-〃)。).

。一Q

<第一部分高等数学■

柯西中值定理

设函数/(%),g(心满足条件:

(1)在闭区间工,口上连续;

(2)在开区间(叫〃)内可导,且/(化)#0;

则至少存在一点5三(”,〃),使得粤二华:=人得・

g⑷一g(。)g(f)

❺泰勒中值定理

设函数/")在点/处的某邻域内具有〃+1阶导数,则对该邻

域内异于右的任意点%在/与x之间至少存在一个短使得:

(n>

I、/(xn)

f(x)=/(&)+/'(%)(*-0)++・・•+———(#-4)”

四、弧微分与曲率(仅数学一、二要求)

❶弧微分

v7l+>"«h,曲线为/=f(x),

.__________________________(X=x(/),

去=linVAx?+△『=/_/(/)厂+[),'(/)『力.曲线为{

&❹"[y=y(f).

•/r2+/df).曲线为一⑻.

❷曲率

(1)公式

曲率K=I等I=VU,Hh率半径R="

(2)性质

①曲率圆的圆心在该点凹侧的法线上,半径等于曲率的倒数,

•19•

4有11老神考研数学公式手册►

曲率园与曲线在该点处相切;

②该点曲率越大.曲率网的半径越小,该点处弯曲程度越大;

③在该点处jfli线与曲率M具.彳相同的切线与仙率,即行相同

的一阶导数值与二阶导数值,且凹向相同,可以近似代替.

④在该点的某邻域内jin线夹在切线与曲率园之间.

卜J五、导数的经济学应用(仅数学三要求)

❶边际的概念

如果函数1=/(》)花小处何导,则布(.7,*“+△.,)内的平均变化

率;为广二在二.%处的瞬时变化率为linJQ"+△:)-/(/)=/(%),

A.VA.c

经济学中称/'(.%)为/(.T)在、=.%处的边际函I数值.

设函数V=/(.r)在X处可5则称导数ff(.V)为/(.V)的边际函

数,/'(])在.%处的值/'(%)为边际函数值.其意义为:当”/时,

X改变一个单位的绝对时,y改变/'(小)个单位的绝对他

❷经济学中常见的边际函数

(I)边际曲文本:仁(Q)

(2)平均边际成本:(5彩1

(3)边际需求:〃<。)

(4)边际收益:*(Q)=〃(Q)+〃〃'(())

(5)边际利润:〃(Q)="'(。)-C'(Q)

【注】利涧最大原则:〃(0)=0"(Q)<(),即

*(。)=U(Q).A"(Q)"(Q)

0弹性的概念

如果函数y=/(.、•)住点处可导JL3K0,称函数的相对改变量

•2()•

・第一部分高等数学

勺自变小的相对改变巾包之比令"①为函数从小到。+两

Jo小△工?0

点间的平均相对变化率,或称为巾与.%+Ax两点间的弹性.

设函数5•=/(.,)在、处可导.则称华•王为/⑴的弹性

(lxy

函数.£、/□%处的值称为弹性函数位,简称弹性.兑息义为:、7

.1=小1时,》改变1%的相对卮,)•改变|反"%的相对;止.

<>经济学中常见的弹性函数

(1)力;求价格弹性:%=一穿I・2

(2)供给价格押.性4..二%・£

dr、

(3)成本需求弹性:%­名

d(Jc

(4)收益价格弹性:纥=^・方

【注】%=[°+/%・导I+%齐If

(5)收益需求弹性:%=襄・g

(i\fK

r*i,,.'"3oQ,dPQ.1

【江】〃Q+/•・可=|+而.〃

第三章一元函数枳分学

一、不定积分

❶原函数与不定积分的概念

如果在区间1匕,可导函数”(K)的导函数为/(K);即对任一

d有道意神考研数学公式手册〉

KW/都有尸(X)=/(«)或=/(”)人,那么函数F(工)就称为

(或/(“"")在区间/上的一个原函数;称J7(4)dx=F(A)+C

为J\x)或/(4)公在区间/上不定积分.

❷原函数的存在性

(1)连续函数一定存在原函数.

(2)含有可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点的函数一定没

有原函数.

(3)含有振荡间断点的函数可能存在原函数.

❷不定积分的计算性质

(1)"x)dx二中(x)dx(k#0为常数)

(2)j[£(工)±…土£(工)=J/j(x)dx±±J/l(x)(lx

(3)[J/(x)dx]'=/(1)或=/(x)dx

(4)J尸(x)八二产(.、)+C或jdn.T)="工)+C(C是任意常数)

Q基本积分公式

(I)[xkdx=।,/'+C(A'#-1)

Jk+I

(2)J-yf/x=一■^-+CJ\dx=ijx+C

(3)[—dx=InIx|+C

Jx

(4)[adx=+C(a>0,〃#I)[eldx=e'+C

JIna

(5)jcosxdx=sinx+Csinxdx=一cosx+C

・oo.

◄第一部分高等数学一

(6)f----tlx=Isecxc/v=tanxt

C

Jcos*xJ

(7)1—(/.v=jc^e'xdx=-cot.r+c

Jsin\vJ

(8)f.dx-[csrx(/x=In|cscx-colx|+C

Jsin.rJ

(9)1----dx=1secxclx=Inisecx+tanrv1+C

JcosxJ

(10)jsecxtanxf/x=secx+CJCSC'XCOl.Vf/.X=-cscx+C

(11)Jlan.vJx=-In1cosx|+Cjcotxf/.v=In|siiiv+C

xfdx1x「f/A./,

(z12)------=—arctan—+C-=ardanx+C

Ja+x*aaJ1十U

/口、「dxx「fdx4/,

(13)_______=arcsin+C-—•一=arcsinx+C

22

」Va-x〃」7/\-r

(14)14山+CJJ二=±|n5+c

ja-x2(i\a-xJ1--x21-x

1

(15)f______-InA*+Vx±a|+C

Jf±a"

、常见的几种凑微分形式(第一类换元法)

(1)[/(ax+A)dx=—f/(ax+b)(1(ax+b)(aK0)

(2)J/(ax'+b)x'^dx=—J/'(ax-+-b)d{axn+b)(a#0)

(3)jf(e)edx=J/C

/(—)

(4)J[2dx="J)

(5)=|/(lnx)r/(lnx)

•23•

4有道考神考研数学公式手册A

(6)/乂等八•=21/,(无)d(G)

(7)J/*(sin.v)cosxr/.v=J/*(

sinx)(1(sin.v)

(8)J/(cos.v)siiLrJ.v=-J/(COSA-)(I(eosx)

(9)f/(tan.v)sev:xdx=J/(tan.v)</(lan.v)

(10)[ncolv)esc,vr/.v=一I/'(cot.v)fl(col.v)

(H)/小:彗星=仅

\1-X-

a

(12)f1)(/*={/(ardana;)〃(arefanA")

J1+V,

@去根号(第二类换元法)

(1)根号下”是一次林,整体换元

.....,f,「----,令>/l+.v==/--1

例如:jAV1+A)心=---------------.1/(/)•21dl.

(2)根号下.v是二次票.三角换元

根式类型三角换元辅助三用形

x=usin/X

•Ja2-x:上

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