2023有道考神考研数学常用公式手册

有道考神考研数学

常用公式手册

未来------是你的正无穷

oooo|oooo

录

第一部分高等数学.......................................1

第一章函数、极限、连续................................1

第二章一元函数微分学...............................12

第三章一元函数积分学..............................21

第四章微分方程.....................................32

第五章多元函数微分学..............................37

第六章二重积分.....................................41

第七章无穷级数（数学一、三）..........................44

第八章向量代数与空间几何（数学一）.................50

第九章三重积分（数学一）............................58

第十章曲线积分（数学一）............................61

第十一章曲面积分（数学一）..........................63

第十二章场论初步（数学一）..........................66

第二部分线性代数.....................................68

第一章行列式.......................................68

第二章矩阵.........................................69

第三章向量组.......................................73

第四章线性方程组...................................76

第五章特征值与特征向量............................78

第六章二次型.......................................79

第三部分概率论与数理统计（数学一、三）.................82

第一章随机事件与概率..............................82

第二章随机变量及其分布............................85

第三章多维随机变量及其分布.......................88

第四章随机变域的数字特征.........................90

第五章大数定律与中心极限定理.....................92

第六章数理统计的基本概念..........................93

第七章参数估计.....................................95

第八章假设检验.....................................98

•2•

◄第一部分高等数学■

第一部分高等数学

笫一尊函数、极限、连续

一、基本初等函数及其性质

❶鼎函数

(1)函数形式：y=-3w1O.

(2)计算性质:

1

y=xn=7x=x=-~',j=xn,xnt=xru♦n,y=/(.vn\)ni=xmu.

jc，1

(3)常见函数及其图像：

y=x,y-x2,〉=&、、=：x\y=yx=­・

•A

v1

，.tv-x/7'I''叽"ll«

A~~o-V

/J:彳

❷指数函数

(1)函数形式:y=a(ft>c)且1).

(2)定义域：(-8,+8),值域：(0,+8).

(3)单调性：〃>1时=，单调增加；〃<］时,y=a，单调

减少.

4有道老神考研数学公式手册〉

(4)常见函数及其图像:

(6)特殊函数值：/=]"=1.

❸对数函数

(1)函数形式：)=log4lx(〃>0且31).

(2)定义域：((),+00)，值域：(-8,+8).

(3)单调性>1时,y=log.单调增加；〃<1时，y=logflx单

调减少.

(4)特殊函数值：log」=0Jog,//=1Jnl=0,lne=1.

(5)极限：lirnIn.v=+x,limhi.v=-x.

1>♦XX

(6)常见函数及其图像：

❹三角函数

(I)正弦函数、余弦函数

“函数形」弋：y=sin.v,y=cosx.

•2•

w第一部分高等数学a

②定义域：（-8,+8）,值域/-1,1].

③奇偶性:y=sinx在其对称的定义区间内是奇函数,y=cos%

在其对称的定义区间内是偶函数.

④常见函数及其图像：

y=sinx产cosx

F'…元一

•…乃2必L3

-1

⑤常用公式：

(i)平方公式：sin%+cos2x=1.

(ii)二倍角公式•sin2x=2sinxcosx,

cos2x=cos2x-sin2%=1-2sin2x=2cos2%-1.

52

(iii)降舞公式：si一%」二；"，。8%=1+；°s22

(iv)诱导公式：奇变偶不变,符号看象限.

.zkir、±sinxtk为偶数,

sm(—+%)=

±cosxtA为奇数,

±取决于%看作锐角时，sin（粤+”）的符号.

如：sin(H-x)=sirw,sin(*Tr+x)=一sinx,sin(J±X)=COSX,

1

,kF、士cos*,4为偶数.

cos(—+x)

±sinx.k为奇数,

士取决于X看作锐角时,cos（"+'）的符号.

如:COS(TT±%)=-cosx,cos(-^-+x)=-sinx,cos(----x)=sinx.

•3・

考研数学公式手册＞

(v)和角公式：

sin(a+j8)=sinacos^S+cosasin/3

sin(a-j8)=sinacos/3-cosasin^S

cos(a+j8)=cosaco^S-sinasir^S

cos(a-/3)=cosacos/3+sinasin^

(vi)和差化积：

.,.q・a+6a-B

sina+sinpn=zsin-5—cos一5匚

sina-sinB=2cosa：户sindJ

x22

a+6oc-B

cosa+cosp=2cos-r-^cos—r-2-

a~・a+6,a.0

cosa-cosp=-2sin-z-^sin-yr-

十22

(vii)积化和差：

sinacos/3=sin(a+/3)+sin(a-/B)]

cosasin/3=sin(a+j9)-sin(a-j8)]

cosacos^S=—[cos(a+/5)+cos(a-(3)]

4

sinasin^=-cos(a+/3)-cos(a-/3)]

(2)正切函数、余切函数

①函数形式:y=tanx,y=cotx.

②定义域：y=tan”,与六Air+=cotx,x#A：7TtAeZ；

值域：(-8,+8).

③奇偶性:y=tanx,y==cotx在其对称的定义区间内都是奇函数.

・4・

◄第一部分高等数学

④常见函数及其图像:

⑤常用公式:

(i)平力公式：lan2x+I=sec'.v.<,《)/、+1=esc.r.

2lan.\

(ii)二倍角公式:tan2.r=

1—kiii2.r2cotx

(iii)和川公式：⑶】(a±(i)=L主见吟

1+lan<¥lanp

❾反三角函数

(1)反正弦函数、反余弦函数

I函数形式：)=arcsin.v,y=arccosx.

②定义域：[-1,1];

fit域：arcsinxG---.—],arccosxG0,TF1.

AO

③奇偶性：y=urrsim在定义域内是奇函数.

f仃界性：y=arcsinx,)=arcccsx在定义域内均有界.

⑸常公式：arcsinx+arccros.v=—.

国凝道蜀前考研数学公式手册＞

⑥常见函数及其图像:

(2)反正切函数、反余切函数

①函数形式：y=arctanx,/=arccotx.

②定义域：(-00,+00);

值域：arctanxe（-子），arccotxe（0,TT）.

44

③奇偶性:y=arctanx在定义域内是奇函数.

④有界性:y=arctanx,y=arccotx在定义域内均有界.

7T

⑤常用公式：arctanx+arccotx=

T9

,X±Yy,

arctanx±arctany=arctan（1一）・

I+盯

⑥常见函数及其图像:

⑦极限：limarctan%=—,limarctanx=--.

x-*♦822

•6•

・第一部分高等数学・

Q二、极限的概念、性质与计算

@极限与左、右极限

(1)limf(x)=f(x)=lim/(x)=.4；

'"，t—•1/,r］；

(2)limf(x)=/!<=>/(x(l)=4+a(工)，其中lima(R)=0.

❷极限的性质

(1)局部保号性：设lim/(%)=。若4>0(或4<0),则存在5>0,

当*e(3-b,3)U(%,&+5)时/(y)>0(或/(工)<0).

(2)局部有界性:设lim/(4)=4,则存在5>0.当xe(.%-b,g)

口(与，3+6)时/(%)有界.

❸极限运算法则

lim/(x)=A,limg(x)=/«,则：

(1)lim(/(x)±g(x))=A±B；

(2)lim/(x)g(x)=4-B；

(3)】而华4=。"())；

&(工)R

(4)若4,H不全为0,则lim/(x)r，,)=AH.

❹无穷小的比较

设lima(4)=0Jimfl(x)=0,万(工)#0,则：

若lim察?=0,则a(X)是比万(、)高阶的无穷小，记为

p(x)

a(x)=o(jB(x)).

北］.a(x)

右向瓯=8,则。(X)是比。(》)低阶的无穷小.

若lim„=c(c#0),则a(.T)与尸(%)是同阶无穷小,

P\^)

•7•

4有道老神考研数学公式手册►

特别地，若5需=—)与尸⑺是等价的无穷小，记

为a(x)~B(x).

=c(c#O),A>0,MOa(x)是0(H)的A•阶无穷小,

特别地，若lim乳甘=c(c#O)Jllja(x)是x的A•阶无穷小.

X

❺常见等价无穷小(工T)时)：

sinx

arcsinx-1~x\n(i,

A-arcsinx~-Jr"

kun：(I+x)^-1〜L,6

n

ardanxI3

i12

ln(I+x)「2T一

arctan.v-x-

®•极限存在准则与两个重要极限

(1)夹逼准则

设在4=阳)的某去心邻域内，恒有(p(x)W/(R)WW(M),且

lirn(p(x)=lirn(p(x)=/t,5Wlim/(x)=4.

真—AcX

(2)单调彳了界定理：单调有界的数列必有极限.

(3)两个重要极限：

.sin%....、：

nn------=I,lim(zI4-x)=e

“I”««o

抓大头:

o

〃二〃1>0,

bj

M+〃户+…+〃1H+

Inn-----------------

…+'+・・・+bm^x+b„t0,0<zi<,

oc、n>m>0.

♦8・

・第一部分高等数学■

(4)几个常用极限:

liinx1'h/.v=0.a、(3任总常数；

1-0

lim=().a任总常数＞();

3•♦x(?

lim如J=0.a＞0Ji任意常数；

lin)%;/i=I.lim,i'=1.

o洛必达法则

设函数/(*),g(x)满足条件:

(1)lini/(-V)=Iinig(x)=()或lin】/(.t)=8,lin】«(.t)=oc；

W•・・•••If；t•、・

(2)/(.v).g(x)住"的去心邻域内可导ELg'(x)KO：

(3)ii“Z4义存在(或为8)；

'•'g(x)

则]淄，±[=1亩102.

rg(.Y)ig(.V)

注：.L*8时有类似结论.

❽泰勒公式

设函数/(工)在点品处的某邻域内具仃〃+1阶导数，则对该邻

域内异于出的任意点”，在出与X之间至少存在一个短使得：/(“)

+

=/(小)+/'(Ao)(.v-v0)+2：/”(品)(*-%)'+•・•—~r-(X-

%〉+((K).K中/"A-)=＞三：：；(X-K)”，称为/(X)在点心处带

布拉格朗n余项的泰物公式.

令.%=0,则/⑺=/(0)+/(0)工+廿(0心+・・•/1平工。3)

称为带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

・9•

4有道岩神考5H数学公式手册►

常用函数在x=0处的带有皮亚诺余项的泰勒公式:

e»=1I+.x•+,■—x2+,…+—x+o(x)

2!aJ

lll(I+X)=X--丁丁+—X3-+(-1)"1—+O(A：*')

23n

1

sin.v=x--x十・••+(-+…)

丁•

2n

COSA=1-东

+…+(7"百汀+〃(一)

tanx=x+-j-.v'+(}(x')

an,sin.v=x+—x*+o(./)

6

13./3\

arctanx=x--r-x+〃(x)

dJ

；------=1+x+x2+•••+.r"+〃(/')

1-x

=1—X+X*+•,•+(-1)nxfl+o(X')

I+X

.，n(m-1)2m(，〃-1)…(m-〃+1)n/

(i+A)H?=1+〃次+^—~~-x+•••+-------L-；------------x+o(v।

2!〃！

0三、连续性与间断点

❶连续概念

若limf(x)=J\x),则/(X)在8处连续.

—・•0

❷伺断点及其类型

(I)若1泊［j\X)存在#/(x)或lim/(X)存在，且/(工)在:处无

•■1—0%

定义，则/(X)在4=x0处为可去间断点.

•10•

◄第一部分高等数学

(2)若lini/(x),lim/(x)存在:但不相等.则/(工)在x=.v(1处为

跳跃间断点.

(3)若lim/(x)=8或］iin/(K)=8.则/(h)fl:x=x处'为无穷

I•£；X"•月.0

间断点.

(4)若.Y—F时，函数值/(.v)在某个区间内变动无限多次，则/(汇)

在4=3处为振荡间断点.

1四、闭区间上连续函数的性质

❶:连续函数的有界性

(1)设函数/(X)在［a,人上连续，则/(工)在［〃，门上有界.

(2)设函数/(x)作(a,〃)I二连续，且1沁】/(*)与lim/(x)都存在,

则/(x)在(〃•/))上有界.

❷最值定理

设函数/(«)在上连续，则在上/(X)存在存大值与

最小值，即存在m,/W，使得mS/(x)WM.

❷介值定理

函数/(勇在［〃,〃］上连续,。是介T/(a)与/(h)之间的任一

实数，则在fw(a,〃)，使得/(f)=C

推论：若函数/(*)在［〃"］匕连续.且mWCWM则存在

e\aj)］，使得/(f)=(:.

/零点定理

设函数/(、)在［〃加上连续,且/(〃)・/(/<0,则存在门(〃在),

使得/(§)=().

4有道岩神考研数学公式手册►

第一元函数微分学

Q—、导数的定义、性质与计算

❶，导数的定义

/］、../(%+△、)一/(.%)+〃/、1./(”)一/(：。)

I)./(。)=hni—7——或./(.v0)=lim-・

(2)左导数：/.(x“)=hni------------T---------或

01-0-

,/(维)=hm-----------------.

….x-%

八于效J,(.%)=lini----------T---------或

A.Ax

((X)-/(.v0)

/：(.VO)=hm—

Ix-.v0

(3)充要条件/(%)=m)=/：(.%)=4.

❷几何意义

(।)切线方程：y-J\xn)=/(%)(--&).

(2)法线方程：

'工/’'(・%)六。时,y一/(.%)=一/.,(】,(x)；

当/'(%)=0时，'=&.

微分的定义

设/(%)在3的某邻域内有定义，若

△y=/(.r+Ax)一/(X)

川表示为

△y=/iA.v+o(△*),

•12•

4第一部分高等数学・

其中4为不依赖于△x的常数,则称/(x)在小处可微.并称

/1△/为/(4)在.%处的微分，记作力或力”)，即

fly=(lf{x}=.4A.v.

❹基本求导(微分)公式

(1)>=c(常数)一=0(ly=0

(2))=./(0为实数)y1=a”dy=«.v'1(lx

⑶〉'’=//'Inutly=a'\i\adx

y=<*'(e)=/(/(e')=e'(lx

,1

(4)v=log<(xV=一(lv--T--(lx

AIIU/xhu/

»>•=Inx(In1,V1)=—</(In.v1)=­tlx

X

(5)y=siii.vy'=cosx(1(sin.v)=cosxr/.v

(6)y=cosxy1=-sin.v(1(cos.x)=­s\nx(lx

(7)y=tiin.v>'=src\vd(tari.v)=secxdx

f2

(8)y=cot.v)•二一escxd(cciLv)=-CSC-.U/A

(9)y=sec.r、'=s(*(vlan.vd(secx)=secxlanxrfx

(10)),=CSCA-)'=-csc.vcotx</(CSCA)=-CSC.VC<lt.V<Zv

,_I___

(11))=iux-siuvy="■--</(iUX-siiLV)=______(b:

71

,i

(12)y=ar(eosvy=­”(armzt)=-—(be

/-Y

,1

(13))==arctan.vX=--------7d(arctan.v)=川工

1+.广1+.v"

,1

(14))-=iirccotvV=,</(arccoLv)=-

1+.小1+r

•13・

4有道岩神考研数学公式手册►

@・函数求导法则

（1）四则运算法则

①（〃±r），=II*±vf(1(it±?：)=du±dv

2'（〃「）’=〃/+vu(I(ur)=udv+vdu

,/〃、vdu-udv

3（—）y=—（,/（））d(一)=----;---

〃if

（2）反函数求导法则

设r=/（x）在点」的某邻域内单调、可导旦/'（工）户0,则其反

函数在点、所对应的丁处可导，并且有

虫__L

百一什.

dx

（3）复合函数求导法则

若〃=3t）作点久•导,而y=/（内）在对应点=3（算））可

导，则复合函数＞=/（«（.，））在点x口1导，且＞'=/'（〃）・，（》）

（4）隐函数求导法则

①H接求.方程两边对、求导，注电T是x的函数，应按

”合函数求导法则处理.

②公式法.丁=心）由〃（."）=0确定）唬=一］,其中.F：、

《分别表示仪f）对〈和y的偏导数.

③利③微分形分不变性.由F（.v,y）=0知甲/x+单/y=0,所以

八

1-\

dx一厂

•14•

・第一部分高等数学・

(5)参数方程求导法则

(x=x(/)

设y=/(x)由参数方程确定，则：

(y=y(0

①>，="务福=")

ax(lx/(itx(r)

“、，，=小二电@

--_dx_dx/dl-*(f)

◎高阶导数

(I)莱布尼兹公式

若〃(工)，”(、)均〃阶可导，则("：严>=E。：“％严」,其中

4n(>

二〃."""=V.

(2)常用高阶导数

①(a')g=疗In%(a>0)(e,)(n>=e1

2）（sintv）=sin（kx+n•—）

（认coskx）'"'=kncos（kx+n--y-）

①（x"）=〃"m-1）…（m-〃+】）戈…"

⑤（除）⑺=（一1）（…）吗?！

6连续、可导、可微的关系

可导O可微；可导必连续,连续未必可导.

二、导数的应用

❶单调性与极值

(I)设函数/(X)在［a,6］上连续，在(a/)内可导，如果在

(“》)内/(》)N0(或/(乜)W0),旦等号仅在有限个点处成立，那

•15•

4有追岩神考研数学公式手册►

么函数/(X)在［〃㈤上单调增加(或单.调减少).

(2)极值的必要条件

没函数/(、)住心处可导J1在3处取得极值，则/(5)=0.

(3)极值的笫一充分条件

设函数/(工)布.%处连续，作小的某去心邻域1/(小j)内可导.

I)若(x“一$・%)H寸/'(x)>0,而IG(.%..4+5)时J'(N)<

。，则/(冥)在工二％处取得极大值;

②若xwg-<?..%)时/'(》)<0,而XG(.%,%+3)时,/'(K)>

0,则/(.丫)在x=/处取得极小值；

③若”eU(小,6时/(.l)符号保持不变,则/(.r)在%=.%处

没有极值.

(4)极值的笫二充分条件

设/(X)在.7处具有■二阶导数，且/，(/)=0,/"(.4)六0,则：

①当/〃(3)<。时，函数/(.、・)在此处取得极大值;

②当/”('%)>()时，函数/(')在/处取得极小值.

③如果/〃(&)=(),此方法失效.

❷函数最值的求法

(I)若/(x)在闭区间［〃㈤上连续,则比较/(x)的端点值、驻

点值、不可导点处函数值的大小，最大的则为最大值,最小的则为

最小值.

(2)若/(x)在开区间(〃勿内可导II.行唯一驻点,则该点必为

极/卜(大)值点,口此极小(大)值必为函数/(x)在开区间(〃，〃)内

的最小(大)值点.

❸凹凸性与拐点

(I)凹凸性的定义

◄第一部分高等数学口

设函数/(工)住区间/上连续，任取两点G/jn.有

£(M);£(.巧)〉/()或/CJ二八J)则称曲线

M

y=/(*)在区间/是WI(或凸)的.

(2)凹凸性的判别定理

设”.()作［0,4上连续，在(*/,)内具有一阶和二阶导数.那

么：若在(〃“)内fn(x)＜0(或/"(幻＞0)•则/(工)在上的图

形是凸的(或凹的).

(3)拐点的笫一充分条件

设函数/(一)在阳,处连续.在小的某去心邻域u(.%⑻内rui

二阶可导.

①若/”(X)在小的左右领域内符号异号,则(/，/(.%))为函数

/(X)的拐点;

②若/"(.V)在线的左右领域内符号保持4＜变,则(3,/(痂))不

为函数/(工)的拐点.

(4)拐点的笫二充分条件

设/(*)作/处具有三阶导数/1./"(小)=()./"'(凡)#0.则

(&,/(.%))为函数/(x)的拐点.

(5)拐点的必要条件

设函数J\x)在.次处二阶可导，IL(&,/(.%))为数数/(在的拐

点，则/"(.0)=0.

❹渐近线

(1)水平渐近线

lim/(x)=a或lim/(x)=a,则y=a称为函数y=/(x)的

■一♦Xi-♦-oc

水平渐近线.

(2)铅本渐近线

-17•

4有道君神考研数学公式手册►

若lirn/(%)=«或］im/(x)=8,则%=x0称为函数y=/(x)的

铅直渐近线.

(3)斜渐近线

若k=lir/(：E),4=liniJ\x)-Ax］,则y=kx+b称为函数y=j\x)

的斜渐近线.

'三、微分中值定理

❶费马定理

若函数/(X)满足条件：

(1)函数/(X)在人的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有

小)W/5)或/(*)'/(.4)；

(2)/(4)在/处可导,则彳1/(%)=0.

◎罗尔定理

设函数/(动满足条件：

(1)在闭区间［”,〃］上连续；

(2)在开区间(a,Q内可导;

(3)/(。)=/(〃)；

则至少存在一点f6(。,〃)，使得/，(§)=0.

❸拉格朗曰中值定理

设函数/(》)满足条件：

(1)在闭区间［叫叶上连续；

(2)在开区间(％〃)内可导;

则至少存在一点£&(a,/)),使彳四2■二生吐=/'(§).

b-a

或存在Hw(0,1),使得八4二^"=/'("+(6-〃)。).

。一Q

<第一部分高等数学■

柯西中值定理

设函数/(%),g(心满足条件:

(1)在闭区间工，口上连续；

(2)在开区间(叫〃)内可导，且/(化)#0；

则至少存在一点5三(”，〃)，使得粤二华:=人得・

g⑷一g(。)g(f)

❺泰勒中值定理

设函数/")在点/处的某邻域内具有〃+1阶导数，则对该邻

域内异于右的任意点%在/与x之间至少存在一个短使得：

(n>

I、/(xn)

f(x)=/(&)+/'(%)(*-0)++・・•+———(#-4)”

四、弧微分与曲率(仅数学一、二要求)

❶弧微分

v7l+>"«h,曲线为/=f(x),

.__________________________(X=x(/),

去=linVAx?+△『=/_/(/)厂+[),'(/)『力.曲线为｛

&❹"[y=y(f).

•/r2+/df).曲线为一⑻.

❷曲率

(1)公式

曲率K=I等I=VU，Hh率半径R="

(2)性质

①曲率圆的圆心在该点凹侧的法线上，半径等于曲率的倒数,

•19•

4有11老神考研数学公式手册►

曲率园与曲线在该点处相切;

②该点曲率越大.曲率网的半径越小，该点处弯曲程度越大；

③在该点处jfli线与曲率M具.彳相同的切线与仙率，即行相同

的一阶导数值与二阶导数值，且凹向相同,可以近似代替.

④在该点的某邻域内jin线夹在切线与曲率园之间.

卜J五、导数的经济学应用(仅数学三要求)

❶边际的概念

如果函数1=/(》)花小处何导，则布(.7,*“+△.，)内的平均变化

率;为广二在二.%处的瞬时变化率为linJQ"+△：)-/(/)=/(%),

A.VA.c

经济学中称/'(.%)为/(.T)在、=.%处的边际函I数值.

设函数V=/(.r)在X处可5则称导数ff(.V)为/(.V)的边际函

数,/'(])在.％处的值/'(%)为边际函数值.其意义为：当”/时,

X改变一个单位的绝对时,y改变/'(小)个单位的绝对他

❷经济学中常见的边际函数

(I)边际曲文本：仁(Q)

(2)平均边际成本：(5彩1

(3)边际需求：〃<。)

(4)边际收益：*(Q)=〃(Q)+〃〃'(())

(5)边际利润：〃(Q)="'(。)-C'(Q)

【注】利涧最大原则：〃(0)=0"(Q)<(),即

*(。)=U(Q).A"(Q)"(Q)

0弹性的概念

如果函数y=/(.、•)住点处可导JL3K0,称函数的相对改变量

•2()•

・第一部分高等数学

勺自变小的相对改变巾包之比令"①为函数从小到。+两

Jo小△工?0

点间的平均相对变化率,或称为巾与.％+Ax两点间的弹性.

设函数5•=/(.，)在、处可导.则称华•王为/⑴的弹性

(lxy

函数.£、/□%处的值称为弹性函数位，简称弹性.兑息义为：、7

.1=小1时，》改变1%的相对卮，)•改变|反"%的相对；止.

<>经济学中常见的弹性函数

(1)力;求价格弹性：%=一穿I・2

(2)供给价格押.性4..二%・£

dr、

(3)成本需求弹性：%­名

d(Jc

(4)收益价格弹性：纥=^・方

【注】%=[°+/%・导I+%齐If

(5)收益需求弹性:%=襄・g

(i\fK

r*i,，.'"3oQ,dPQ.1

【江】〃Q+/•・可=|+而.〃

第三章一元函数枳分学

一、不定积分

❶原函数与不定积分的概念

如果在区间1匕，可导函数”(K)的导函数为/(K)；即对任一

d有道意神考研数学公式手册〉

KW/都有尸(X)=/(«)或=/(”)人,那么函数F(工)就称为

(或/(“"")在区间/上的一个原函数；称J7(4)dx=F(A)+C

为J\x)或/(4)公在区间/上不定积分.

❷原函数的存在性

(1)连续函数一定存在原函数.

(2)含有可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点的函数一定没

有原函数.

(3)含有振荡间断点的函数可能存在原函数.

❷不定积分的计算性质

(1)"x)dx二中(x)dx(k#0为常数)

(2)j[£(工)±…土£(工)=J/j(x)dx±±J/l(x)(lx

(3)[J/(x)dx]'=/(1)或=/(x)dx

(4)J尸(x)八二产(.、)+C或jdn.T)="工)+C(C是任意常数)

Q基本积分公式

(I)[xkdx=।，/'+C(A'#-1)

Jk+I

(2)J-yf/x=一■^-+CJ\dx=ijx+C

(3)[—dx=InIx|+C

Jx

(4)[adx=+C(a>0,〃#I)[eldx=e'+C

JIna

(5)jcosxdx=sinx+Csinxdx=一cosx+C

・oo.

◄第一部分高等数学一

(6)f----tlx=Isecxc/v=tanxt

C

Jcos*xJ

(7)1—(/.v=jc^e'xdx=-cot.r+c

Jsin\vJ

(8)f.dx-[csrx(/x=In|cscx-colx|+C

Jsin.rJ

(9)1----dx=1secxclx=Inisecx+tanrv1+C

JcosxJ

(10)jsecxtanxf/x=secx+CJCSC'XCOl.Vf/.X=-cscx+C

(11)Jlan.vJx=-In1cosx|+Cjcotxf/.v=In|siiiv+C

xfdx1x「f/A./，

(z12)------=—arctan—+C-=ardanx+C

Ja+x*aaJ1十U

/口、「dxx「fdx4/,

(13)_______=arcsin+C-—•一=arcsinx+C

22

」Va-x〃」7/\-r

(14)14山+CJJ二=±|n5+c

ja-x2(i\a-xJ1--x21-x

1

(15)f______-InA*+Vx±a|+C

Jf±a"

、常见的几种凑微分形式(第一类换元法)

(1)[/(ax+A)dx=—f/(ax+b)(1(ax+b)(aK0)

(2)J/(ax'+b)x'^dx=—J/'(ax-+-b)d{axn+b)(a#0)

(3)jf(e)edx=J/C

/(—)

(4)J[2dx="J)

(5)=|/(lnx)r/(lnx)

•23•

4有道考神考研数学公式手册A

(6)/乂等八•=21/,(无)d(G)

(7)J/*(sin.v)cosxr/.v=J/*(

sinx)(1(sin.v)

(8)J/(cos.v)siiLrJ.v=-J/(COSA-)(I(eosx)

(9)f/(tan.v)sev：xdx=J/(tan.v)</(lan.v)

(10)[ncolv)esc,vr/.v=一I/'(cot.v)fl(col.v)

(H)/小：彗星=仅

\1-X-

a

(12)f1)(/*={/(ardana;)〃(arefanA")

J1+V,

@去根号(第二类换元法)

(1)根号下”是一次林，整体换元

.....,f,「----,令>/l+.v==/--1

例如：jAV1+A)心=---------------.1/(/)•21dl.

(2)根号下.v是二次票.三角换元

根式类型三角换元辅助三用形

x=usin/X

•Ja2-x:上