2023年中学中考数学一模试卷附答案

2023年中学中考数学一模试卷附答案

一、选择题。（本大题共10小题，每题3分，共30分）

1.（3分）・2的绝对值是（）

A.-2B.2C._1D._1

2

2.（3分）下列函数中，自变量x的取值范围是x>l的函数是（)

A.y=2Vx-lB.2C.y=V2x-lD.y=Vx-2

y7TT

3.（3分）现有一组数据分别是5、4、6、5、4、13、5,关于这组数据下列说法正确的是（）

A.中位数是4B.众数是7

C.中位数和众数都是5D.中位数和平均数都是5

4.（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共

重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两,

燕每只y两，则可列出方程组为（）

5x+6y=165x+6y=16

A.B.

5x+y=6y+x4x+y=5y+x

6x+5y=166x+5y=16

C.D.

6x+y=5y+x5x+y=4y+x

5.（3分）下列各式中计算正确的是（）

A.x+xi=x4B.(X4)2=18

C.x*2*x5=x3D./㈠春BO)

6.（3分）2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称

图形，但不是中心对称图形的是（）

©产头

7.（3分）己知：在△ABC中，AC=BC,点力、E分别是边AB、4c的中点，延长OE至点F,使得炉=

DE,那么四边形AFC0一定是（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

三2

8.（3分）如图，在平面直角坐标系宜万中，直线y=%x+4与y轴交于点C,与反比例函数y在第一象

限内的图象交于点B,连接BO,若S~8C=2,tanNBOC=^，则攵2的值是（)

5

9.（3分）如图，在Rl^ABC中，NABC=90°,ZACB=30°,BC=2M，/XADC与△ABC关于AC对

称，点E、尸分别是边OC、BC上的任意一点，且。E=C凡BE、。尸相交于点P,则CP的最小值为

A.1B.V3C.旦D.2

2

10.（3分）如图，抛物线y=o?-也+4与直线y=2x+b经过点A（2,0）,且相交于另一点5；抛物线

33

与y轴交于点。，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M,且MN〃y

轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段4B上移动时（不与A、8重合），下列结论中正确的是（）

B.NBAC=NBAE

C.ZACB-ZANM=^ZABC

2

D.四边形4cBM的最大面积为13

二、填空题。（本大题共8小题，每题3分，共30分）

11.（3分）已知一种流感病毒的细胞直径约为120纳米（1纳米=109米），那么用科学记数法表示该病毒

的直径约为米.

12.（3分）分解因式：（?-a=.

13.（3分）如图，在扇形AOB中，NA08=90°,点C是标的中点，过点C的切线交OB的延长线于点

E,当跖=方备方时，则阴影部分的面积为.

14.（3分）已知a,b,c分别是RtZXABC的三条边长，c为斜边长，ZC=90°,我们把关于x的形如

yi_x』■的一次函数称为“勾股一次函数”•若点P（-l,近）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt^

cc3

ABC的面积是4,则c的值是.

15.（6分）图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2（忽略跑步机的厚度）.该跑步机由支杆AB

（点A固定），底座AD和滑动杆E尸组成.支杆AB可绕点A转动，点E在滑槽AC上滑动.已知48=

60cm,4c=125c/〃.收纳时，滑动端点E向右滑至点C,点尸与点4重合：打开时，点£从点C向左滑

动，若滑动杆所与A。夹角的正切值为2,则察看点尸处的仪表盘视角为最佳.

（1）BE=cm；

（2）当滑动端点E与点A的距离E4=cm时，察看仪表盘视角最佳.

16.（3分）如图中，分别是由1个、2个、〃个正方形连接成的图形，在图1中，x=70°；在图2中，y=

28"；通过以上计算，请写出图3中a+〃+c+…+d=.（用含〃的式子表示）

下

有

找

个

正

方

X形

17.（3分）如图，在RlZkABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8,。是AC的中点，点E在边A8上，将4

40E沿OE翻折，使得点A落在点A'处，当A'E_LAB时，则4'4=

18.（6分）图1是一个高脚杯截面图，杯体C8。呈抛物线状（杯体厚度不计），点8是抛物线的顶点，AB

=9,E尸=24百，点A是E尸的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CZ）=4«,此时最大深度（液面到

最低点的距离）为10.以E尸所在直线为x轴，AB所在直线为），轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解

析式;将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当NEFH=30°时停止，此时液面为GQ,此

时杯体内液体的最大深度为

三、解答题。（本大题共10小题，共90分）

19.（8分）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会已在北京举行，在冬奥会的筹备过程中，遇到下面的

计算问题，请你帮忙解决.

（1）计算:（口-3）°+c1）T-阮+2sin600；

（2）化简:

x+2.x+2

r2x<x+4

20.（B分）（1）解不等式组:x-1,并写出它的正整数解;

31

（2）解方•程：2?-4x+l=0.

21.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC,点。，E在上，BD=CE.

（1）求证：△ABOgAACE.

（2）若NDAE=NB=28°，求NBA。的度数.

22.（8分）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区物业部门准备在已经接种疫苗的居民中招募2名

志愿宣传者，现有2名男性2名女性共4名居民报名.

（1）从4人中抽取1人为男性的概率是；

（2）请用列表或画树状图的方法，求要从这4人中随机挑选2人，恰好抽到一名男性和一名女性的概

率.

23.（8分）某校为了了解七年级学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均

为整数，单位：依）分成五组（4：39.5-46.5；B：46.5-53.5；C：53.5-60.5；D：60.5-67.5；£：67.5

-74.5）,并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图.

请解答下列问题：

（I）这次随机抽取了多少名学生调查？并补全频数分布直方图；

（2）在抽取调查的若干名学生中体重在哪一组的人数最多？

（3）若该校七年级共有800名学生，根据调查结果，估计该校七年级体重超过60依的学生大约有多少

名？

24.（8分）如图，在中，AC=BC,A3=12,tanZA=-l.

3

（I）尺规作图：以AC为直径作。。，与交于点及（不写作法，保留作图痕迹）；

25.（8分）如图，在△ABC中，点。是中点，以。为圆心，8C为直径作圆刚好经过A点，延长8C于

点D，连接AD已知NC4D=N8.

（1）求证：①AO是。。的切线；

②XACDs

26.（10分）某商场以m元购进一批单价为。元/件的商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用m元

购进第二批这种商品，但第二批商品单价上涨到万元/件.

（1）第一批购进了件商品，第二批购进了件商品，购买这两批商品的平均价格为

元/件；

（2）若m=2400,购买第二批商品的单价比第一批商品的单价上涨了20%,结果比第一批少购进10件

这种商品.

①求第一批商品的购进单价；

②若第一批商品的售价为60元/件，第二批商品按照同样的售价销售一定数量后发现销量不好，将剩余

的商品按照售价的九折售完.要使两批商品销售的总利润不低于1680元，求第二批商品按原销售单价至

少销售多少件？

27.（10分）如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=o?+加+C与x轴分别相交于4（-1,0）、B（3,

0）两点，与y轴相交于点C（0,3）.

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点。上方），求AQ+QP+PC的最小值；

（3）如图2,点。是第四象限内抛物线上一动点，过点。作。尸_Lx轴，垂足为F,/XABO的外接圆与

OF相交于点£试问：线段E尸的长是否为定值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由.

28.（12分）（1）【探究发现】如图①，已知四边形48co是正方形，点E为。。边上一点（不与端点重合）,

连接BE,作点。关于BE的对称点。）的延长线与BC的延长线交于点尸，连接8。'，DE.

①小明探究发现：当点£在8上移动时，ABCEgADCF.并给出如下不完整的证明过程，请帮他补

充完整.

证明：延长BE交。产于点G.

②进一步探究发现，当点与点F重合时，ZCDF=°.

（2）【类比迁移】如图②，四边形4BC。为矩形，点E为8边上一点，连接5E,作点。关于BE的对

称点O',DD'的延长线与BC的延长线交于点F,连接BD\CD、,DE.当CD_LO尸，48=2,BC=3

时，求CD的长；

（3）【拓展应用】如图③，已知四边形A8CO为菱形，AO=«,AC=2,点尸为线段80上一动点，将

线段AD绕点4按顺时针方向旋转，当点。旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果

=EF,请直接写出此时。尸的长.

图®

图①图③图③备用图

2022年江苏省无锡市江阴市文林中学中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。（本大题共10小题，每题3分，共30分）

1.（3分）・2的绝对值是（

A.-2

【分析】根据绝对值的定义，可直接得出-2的绝对值.

【解答】解：|-2|=2.

故选：B.

【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质.

2.（3分）下列函数中，自变量x的取值范围是的函数是（）

A.y=2Vx-lB.丫-丁2c.y=V2x-lD.y=Vx-2

Vx-1

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式判断即可.

【解答】解：A、自变量x的取值范围是不符合题意；

B、自变量x的取值范围是公＞1,符合题意；

C、自变量x的取值范围是工，不符合题意；

D、自变量x的取值范围是x22,不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0

是解题的关键.

3.（3分）现有一组数据分别是5、4、6、5、4、13、5,关于这组数据下列说法正确的是（）

A.中位数是4B.众数是7

C.中位数和众数都是5D.中位数和平均数都是5

【分析】根据中位数、众数和平均的概念分别求得这组数据的中位数、众数和平均数即可.

【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列为：4、4、5、5、5、6、13,

处于中间位置的数是5,由中位数的定义可知，这组数据的中位数是5,故A错误，不符合题意：

众数是一组数据中出现次数最多的数，即5,故8错误，不符合题意；C正确，符合题意；

平均数=5+4+6+5+4+13+5=6,故。错误，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的定义，解题的关键是正确理解各概念的含义.

4.（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共

重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，

燕每只y两，则可列出方程组为（）

f5x+6y=165x+6y=16

5x+y=6y+x4x+y=5y+x

「f6x+5y=16f6x+5y=16

C・4D・〈

6x+y=5y+xI5x+y=4y+x

【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求

出答案.

【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：

5x+6y=16

<•

4x+y=5y+x

故选：B.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等

式是解题关键.

5.（3分）下列各式中计算正确的是（）

A.x+^3=x4B.（x*4）2=l8

C.x'2*x5=x3D.（xNO）

【分析】根据同底数幕的乘除法的性质，塞的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各

选项分析判断后利用排除法求解即可.

【解答】解：A、不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、（/4）2=/8,故本选项错误：

C、x2*x5=x3,故本选项正确：

。、（xW0）,故本选项错误；

故选：C.

【点评】本题考杳了同底数第的除法，同底数轼的乘法，慕的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题

的关键.

6.（3分）2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称

图形，但不是中心对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意;

B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：Q.

【点评】本题考查了中心对称图形与粕对称图形的概念：轴对称图形的关睫是寻找对称轴，图形两部分

沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

7.（3分）己知：在△ABC中，AC=8C,点。、E分别是边A8、AC的中点，延长OE至点尸，使得£尸=

DE,那么四边形一定是（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

【分析】先证明四边形AOC尸是平行四边形，再证明AC=D尸即可.

【解答】解：・・・E是AC中点，

：.AE=EC,

•:DE=EF,

・•・四边形ADCF是平行四边形，

9：AD=DB,AE=EC,

:・DE=LBC,

2

:・DF=BC,

,:CA=CB,

：.AC=DF,

・•・四边形AOCP是矩形;

故选：B.

【点评】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对

角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键.

y咚在第一象

8.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线尸Hr+4与y轴交于点C,与反比例函数

限内的图象交于点8,连接80,若SMBC=2,tan/BOC」，则上的值是（)

-5

A.-20B.20C.-5D.5

【分析】先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BO的长，然后利用正切函数的定义

求得0。的长，从而求得点8的坐标，求得结论.

【解答】解：•・•直线y=hx+4与％轴交于点4与），轴交于点C,

・••点。的坐标为（0,4）,

；・。。=4,

过8作轴于。，

,**SdOBC=2,

,tanNBOC

D

・BD=1

"ODT

：・0D=5,

・••点6的坐标为（1,5）,

•・•反比例函数在第一象限内的图象交于点B,

X

.,.fo=1X5=5.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是作辅助线构造直角三角形.

9.（3分）如图，在RtZXABC中，ZABC=90u,ZACB=30u,8。=2/，△AOC与△ABC关于AC对

称，点E、尸分别是边。C、BC上的任意一点，且。E=C/，BE、。尸相交于点P,则CP的最小值为

A.1B.V3C.旦D.2

2

【分析】由题意易证AB。七且△OCF,从而得到NOE8=NOFC,再由平角的定义和四边形内角和定理

可得/BPO=120°,由于点P在运动中保持NBPO=120°,所以点尸的路径是一段以A为圆心，以AD

为半径的弧，连接AC交弧于点尸，此时CP的长度最小，或得最小值CP即可.

【解答】解：如图1,连接BQ,

RlZ\ABC中，ZABC=90°,NACB=30。,BC=2E

・・・AB=2,AC=4,

'：△AOC与△ABC关于AC对称，

工BC=DC,N4cD=NAC8=30°，

：.ZBCD=60°,

•••△8OC是等边三角形，

:・BD=CD,ZBDC=ZBCD=60°,

•：DE=CF,

:・4BDE名ADCF,

：.NBED=NOFC,

・；NBENNPEC=180°,

AZPEC+ZDFC=180°,

・•・4DCF+NEPF=NDCF+/BPD=180°,

VZDCF=60°，

；・/BPD=120°，

由于点P在运动中保持/8PD=120°,

如图2,・••点P的运动路径为：以A为圆心，A8为半径的120。的弧，

连接AC与圆弧的交点即为点P,此时CP的长度最小，

：.CP=AC-AP=4-2=2,

则线段CP的最小值为2：

故选：O.

D

【点评】本题考查了对称性，全等三角形的判定与性质，直角三角形30度角的性质，圆的性质，知道线

段最短时点的位置，并能确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点.

10.（3分）如图，抛物线¥=42_j与+4与直线），=£+》经过点4（2,0）,且相交于另一点B；抛物线

33

与y轴交于点C,与x轴交于另一点E；点N在线段ABE过点N的直线交抛物线于点且MN〃y

轴，连接AM、BM、BC.AC;当点N在线段A8上移动时（不与A、8重合），下列结论中正确的是（）

B.ZBAC=ZBAE

C.NACB-NANM=』NABC

2

D.四边形ACBM的最大面积为13

【分析】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：用7=至，而MN=2BN+MN=5=AB；

66

（2）由BC〃工轴（8、。两点y坐标相同）推知N84E=NCB4,而△ABC是等腰三角形，NCBAWN

BCA,故NBAC=/BAE错误；

（3）如上图，过点4作AO_LBC、BELAC,由△ABC是等腰三角形得到：是NABC的平分线，Z

ACB-NANM=NCA£>=/NA8C；

（4）S四边形其最大值为2.

4

【解答】解：将点4（2,0）代入抛物线产or2-也+4与直线尸刍+力

33

解得：a=—,b=-—,

33

设：M点横坐标为孙则M（〃?，2/-_12V??+4）、N（tn,-^tn--）,

3333

其它点坐标为A(2,0)、B(5,4)、C(0,4),

则AB=8C=5,则/CAB=NACB,

•••△ABC是等腰三角形.

A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为(苴，・2)、(1,2),

2623

由勾股定理得：BN=空，而MN=区,

66

BN+MN=5=AB,

故本选项错误；

8、・・・8C〃x轴(B、。两点y坐标相同)，

：./BAE=^CBA,而aABC是等腰三角形不是等边三角形，

4CBA#NBCA,

：.乙BAC=ZBAE不成立，

故本选项错误；

C、如上图，过点4作AO_LBC、BF1AC,

•••△ABC是等腰三角形，

・・・B尸是NABC的平分线，

易证：NCAO=NAB〃=//4BC,

而NACB-ZANM=ZCAD=^^ABC,

故本选项正确；

D、S四边形ACBA/nSaABC+SAABM,

SAABC=10,

SMBM=—MN*(XB-XA)=-zn2+7/n-10,其最大值为9,

24

故S四边形ACaw的最大值为10+9=12.25,

4

故本选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐

标特征，抛物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目.

二、填空题。(本大题共8小题，每题3分，共30分)

11.(3分)已知一种流感病毒的细胞直径约为120纳米(1纳米=10一9米)，那么用科学记数法表示该病毒

的直径约为1.2X107米

【分析】科学记数法的表示形式为4X1"的形式，其中1W同V10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值210时，〃是

正整数；当原数的绝对值VI时，〃是负整数.

【解答】解：120纳米=120X109米=12X10-7米.

故答案为：1.2X10?

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXl1的形式，其中lW|a|V10,

〃为整数，表示时关键要确定。的值以及〃的值.

12.(3分)分解因式：上-°=〃(〃+1)(a-1).

【分析】先提取公因式小再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

【解答】解：。3・小

=a(a2-1),

=a(a+1)(a-1).

故答案为：a(a+1)(a-1).

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意

要分解彻底.

13.(3分)如图，在扇形AOB中，NAO8=90°,点C是标的中点，过点C的切线交OB的延长线于点

【分析】由NAOB=90°,点C是彘的中点可得NCOE=45°,由CE与圆O相切得△OCE为等腰直角

三角形，根据8E的长度求得OC的长，用S4OCE-S扇形。。小即得阴影部分面积.

【解答】解：・・・/4。8=90°,点C是彘的中点，

；・/COE=45°,

•・・CE与圆O相切，

.,・△。。七为等腰直角三角形，

设OC=CE=x,则OE=^/2x,

OE-OB=BE,-^[2，

解得：x=对反

3

1队万入历(（22§§)）22xx71X4547r

・•・阴影部分的面积=5/支-S扇形0C8=』XH工X也Z--3----------------------=±2Lf

2333609

故答案为：±2L.

9

【点评】本题考查了阴影部分面积的求法，把阴影部分面积化成其它规则图形面积的和差问题是解决问

题的关键.

14.（3分）已知。，b,c分别是RtAABC的三条边长，c为斜边长，ZC=9O°,我们把关于x的形如

y卫乂上■的一次函数称为“勾股一次函数”•若点P（-L近）在“勾股一次函数”的图象_L，且RiA

cc3

ABC的面积是4,则c的值是_2A/6_.

【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出-且+k=近，结合勾股定理及RlZXABC的面积是4,

cc3

即可求出c的值，取其正值即可得出结论.

【解答】解：•・•点p（-l,运）在“勾股一次函数”的图象上，

3

・_a,bV3

cc3

；・/+■-2ab=a<V

3

又；a2+b2=c2,^ab=4,

2

・・・d-2X8=4,

3

・3=2%或c=・2泥（不合题意，舍去）.

故答案为：2V6.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征及

勾股定理，找出关于。的方程是解题的关键.

15.（6分）图1是一款折叠式跑步机，其侧面结构示意图如图2（忽略跑步机的厚度）.该跑步机由支杆A8

（点4固定），底座A。和滑动杆E尸组成.支杆AB可绕点A转动，点E在滑槽AC上滑动.己知A8=

60cm,AC=125c〃?.收纳时，滑动端点E向右滑至点C,点产与点A重合：打开时，点七从点C向左滑

动，若滑动杆E尸与AD夹角的正切值为2,则察看点尸处的仪表盘视角为最佳.

(1)BE=65cm；

(2)当滑动端点E与点A的距离EA=(I3V5+2V25)(13V5-2V25)_cm时，察看仪表盘视

角最佳.

【分析】(1)利用线段的和差定义求解即可；

(2)分N84E是锐角或钝角，分别画出图形求解即可.

【解答】解：(1)由题意8E=AC-48=125-60=65(cm).

故答案为：65.

(2)如图2-1中，当N8AE是锐角时，过点8作8兀LAE于点T.

在RtZXBTE中，8E=65cm,tanNBET=更=2,

ET

A£T=13V5(cm),BT=26^5(cm\

22

在心△ABT中，AT=7AB-BT=7602-(26V5)2=(cm),

：,AE=AT+ET=(13V5+2V55)cm-

如图2-2中，当NB4E是钝角时，过点8作BTJ_AE于点T.

图2-2

同法可得，ET=lAT=2^j55f

：.AE=TE-AT=（1375-2V55）cm,

综上所述，AE的长为（13赤+2年）或（13述・24^）cm.

【点评】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题

的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.

16.（3分）如图中，分别是由1个、2个、〃个正方形连接成的图形，在图1中，x=70°；在图2中，y=

28°；通过以上计算，请写出图3中a+b+c+…+d=90°〃.（用含〃的式子表示）

【分析】根据图形的变化规律归纳出有〃个小正方形时各夹角的度数和是90°〃即可.

【解答】解：连接各小正方形的对角线，如下图：

丁

有

九

个

正

方

形

JL-

图1中，61°+119°+20°+x+45°X2=360",

即20°+x=90°,

图2中，61°+119°+31°+121°+y+45°X4=360°,

即31°+121°+y=180°=2X90°,

以此类推，a+b+c+-+d=nX90°=90°小

故答案为：90°

【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出有〃个小正方形时各夹角的度数和是90°

〃是解题的关键.

17.（3分）如图，在RlZ\ABC中，ZC=90°,48=10,AC=8,D是AC的中点，点E在边A3上,将4

4QE沿OE翻折，使得点A落在点A'处，当A'及L4B时，则A，A=图巨或生巨.

-5一5一

【分析】分两种情形分别求解，作。尸_LA8于凡连接A4'.想办法求出AE,利用等腰直角三角形的

性质求出A4'即可.

【解答】解：如图，作于凡连接A4'.

.:乙DAF=4BAC,ZAFD=ZC=90b,

・•・XAFDs/\ACB,

.DF=AD=AF

**BCABAC*

.DF=4=AF

Io_8-，

・••£>?=丝从尸=也

55

'：A'E"L4B,

・・・/4E4'=90°,

由翻折不变性可知：ZAED=45°,

5

：.AE=A'七=卫+区=空

555

・•・.=28佟

5

如图，作OFJ_A8于尸，当EA1_LAB时，同法可得AE=K-理=邑，AA1=®AE=^Z.

5555

【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加

常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

18.（6分）图1是一个高脚杯截面图，杯体C8O呈抛物线状（杯体厚度不计），点8是抛物线的顶点，AB

=9,E产=2«，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面8=4如，此时最大深度（液面到

最低点的距离）为10.以E/所在直线为x轴，48所在直线为），轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解

析式），=$，+9；将高脚杯绕点尸缓缓倾斜倒出部分液体，当NEFH=30°时停止，此时液面为GQ,

6

此时杯体内液体的最大深度为时巨.

―20一

【分析】以A为原点，直线上”为x轴，直线AE为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物

线的解析式；将高脚杯绕点尸倾斜后，仍以A为原点，直线E尸为x轴，直线48为），轴，建立平面直角

坐标系，分别用待定系数法求得直线/的解析式和直线G。的解析式，过点“作MP_L/于点P,用三角

函数求得液面G。到平面/的距离；过效物线最低点Q作QL〃/,再将QL的解析式与抛物线的解析式联

立，得出关于x的一元二次方程，由判别式求得q,最后用三角函数求得答案.

【解答】解：（1）以A为原点，直线E尸为工轴，直线A8为y轴，建立平面直角坐标系，如图：

B

---------------------------------?

由题意得：

4(0,0),B(0,9),C(-2V3，19),D(2仁19),

设抛物线的解析式为：y=a?+9,

将。(2V3,19)代入得：

19=aX(2A/3)2+9,

解得：a=—f

6

，尸苴P+9；

6

(2)将高脚杯绕点尸倾斜后，仍以A为原点，直线E〃为x点由，直线A8为)，轴，建立平面直角坐标系,

如图：

由题意得：A(0,0),F(V3,0),E(-V3,0),B(0,9),C(-273»19),O(2畲，19),

由题可知，直线/与x轴的夹角为30°,GD//L

•门经过点尸(近，0),且N&H=30°,

・•・设直线/的解析式为：y=®x+b,

3

将尸(近，0)代入，解得b=-1,

3

・・苦7,

.\kGD=kl=^^-

3

・•・设直线GD的解析式为y=(~x+p,

将D(2V3»19)代入，解得p=17,

・•・)=返计17,

3

：.M(0,17),N(0,-1),

过点M作MP_L/于点P,

VZEFW=30°,NMN=90°,

・・・/AN尸=60°,

，MP=MN・sin600

=[17-（-1）]X返

2

=973.

过抛物线最低点。作QL〃/,L为QL于MP的交点，

设直线QL的解析式为y=®x+q，

3

y=7-x2+9

6

联立.如

y=-x+q

o

得：苴w-近x+9・4=0,

63

•・•只有一个交点Q,

:.\=0,

・・.工-4乂苴（9-g）=0,

36

*10

：.ML=（17-段）Xsin60°

10

,81V3

20

故答案为：y=l?+9,81-.

620

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次函数及解直

角三角形等知识点是解题的关键.

三、解答题。（本大题共10小题，共90分）

19.（8分）2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会已在北京举行，在冬奥会的筹备过程中，遇到下面的

计算问题，请你帮忙解决.

（1）计算：（兀-3）°+（方）7-4五+2sin60°；

121

（2）化简：（二一一

x+2山x+2

【分析】（I）首先计算零指数幕、负整数指数累、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从

左向右依次计算，求出算式的值即可.

（2）首先计算小括号里面的减法，然后计算小括号外面的除法即可.

【解答】解：（1）（jr-3）°+（-y）1-V12+2sin60<>

=1+3-2V^+2X2^_

2

=l+3-2V3+V3

=4-V3.

=l-（x+2）xx+2

2

x+2x-l

-（x+1）xx+2

x+2（x+1）（x-1）

_--1

1-x

【点评】此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序；以及分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数

有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的.

’2x<x+4

20.（B分）（1）解不等式组：|x-1/，并写出它的正整数解；

（2）解方程：2?-4x+l=0.

【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进

而确定出正整数解即可；

（2）方程两边除以2把二次项系数化为1,常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完

全平方公式变形后，开方即可求出解.

，2x<x+40

【解答】解:(

1)x-1-x<1②'

3

由①得：x<4,

由②得：x>-2,

・•・不等式组的解集为-2VxV4,

则不等式组的正整数解为1,2,3；

(2)2^-4^+1=0,

2(x2-2X+A)=0,

2

x2-2x+-l=0,

2

x2-2x+l=—,

2

(j-1)2=—,

2

x-1=±返>,

2

则xi=i+x2=i-

22

【点评】(I)考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法

是解本题的关键；

(2)考查了解一元二次方程■配方法：熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

21.(10分)如图，在△A8C中，AB