北师大版八年级数学上册《勾股定理》大单元作业设计

作业设计案例版本：北京师范大学出版社年 级：八年级册 数：上 册单元 数：三个单元单元 名：1、探索勾股定理2、一定是直角三角形吗？3、勾股定理的应用第第PAGE228页“双减”背景下初中数学单元作业设计案例—以《勾股定理》为例20217月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义一个突破点.具体到初中阶段的作业，有以下几个方面的要求：一是在作业时间90分钟；二是在作业质量上，“双减”提高教师布置初中作业的质量.双减政策的落地与实施，无论是从国家层面，社一个小切口，实际上是撬动教育质量的重要支点.作业作为课堂教学活动过程的重要环节之一,与课堂教学一起构成了完整的教学体系.如何更好地设计作业，以高质量的作业引导学生高质量学习，成为教负增效”.本文以《勾股定理》单元作业设计为例，在学科核心素养的指向下，分享单元作业设计这一分支的探索与思考.一、单元分析单元信息总（1）课标要求位.北师大版教材对几何的学习内容是按照循序渐进，螺旋上升的原则进行编排的.在北师大版的教材体系中，勾股定理是初中数学至关重要的内容之一.《义务教育数学课程标准（2022）》（下称课标）中指出数学课程要独特育人价值.在内容要求中明确指出：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.教材要求直角三角形的特征.学生在七年级下册已经认识了三角形，在后面八年级下册学续有关几何度量运算和代数学习的必要基础,因而勾股定理具有科学的基础性和广泛的应用.本章的主要知识框架如下：（1）学文化、数学历史的思考.同时，勾股定理的发现、验证中，蕴含着发展学生探究能力不可多得的思维材料.二、学情分析基于教材分析内容，为了设计出更加适合我校学生的单元作业，达到在本单结合文献资料分析不同作业实例，力求精准、专业.通过深入调研把握学情的重要方式，从三个维度展开了学情分析.走进学生、调查采访帮助.通过整理学生的回答，主要得到如下问题.（2）家校调研、设计问卷题是学生认为在利用勾股定理解决实际问题中的折叠问题和最值问题有一点的难度.作业分析、查找“病因”整，表达不规范；学优生：能正确书写，但任然有表达不规范的情况.三、目标分析采用重组，改编，完善或者自主开发的方式进行作业设计的过程.单元作业设计巩固知识、提高素质、形成能力的效果.结合以上的学情分析，根据2022版课程标准要求，从知识技能、数学考虑、问题解决、情感态度四个方面制定了如下作业设计目标.知识技能：查漏补缺，理解和掌握勾股定理的证明和应用.数学考虑：进一步建立数形结合思想，发展抽象思维.问题解决：综合运用数学知识解决实际问题，发展创新意识.志.四、设计原则2）计新颖、难度适宜、时间合适、结构合理和体现选择原则.比例合理，题目设置与单元目标相关联.设计科学原则：具体来说包括以下五个方面的要求.设计科学目标的达成主也经常以团队研讨的方式增进教师思考，提高题目质量.设计新颖原则：授课时内容与完成条件限制，日常作业以书面作业为主，为学生发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力.落实“双减”要求，题目设计要尽可能的照顾不同层次差异的学生的水平.时间合适原则:90分钟.结构决定功能，因此单元作业的设计要体现教师基于单元视角的整体思考.体现选择性原则:学生学习不仅存在着学习能力的差异，也存在着学习习惯上进行创新，以突出数学核心素养.具体到勾股定理这一章中，为不同层次的学生设计了不同的分层作业，以更好的满足不同层次的学生的学习需要.五、作业展示面关注学生数学核心素养的形成与发展.通过学生分层、目标分层和作业分层三个维度来设计《勾股定理》单元作业.具体操作如下：作业设计体系单+基础小练习；中等生主要完成整合运用中的单元专题练习；学优生主要完成.具体设计思路导图如下：（3）1潜能生单元作业设计1题的能力.单元作业设计：知识清单+基础小练习（1A层）.2中等生单元作业设计2目标分层：在数学活动中提升综合素养（1B层）3学优生单元作业设计3目标分层：在数学拓展中发展创新意识（见附件1作业展示中对应C层）六、作业设计反思检查反思是作业设计的重要环节.实际上，通过检查反思，教师能发现作业学效果最大化.反思作业设计主要考虑从以下几个方面入手.设计的作业任务要与作业目标一致元作业内容以及单元作业内容占单元作业总量的比例进行整体性的反思分析.要科学设定学生完成作业的时间如何做到合理控制作业的完成时间呢？科学预估作业的时间是一个关键问题.因为倾向于以学业成绩最好的学生为标准来要求全体学生或者学生学习情况过程中可能出现的问题，进而适当地调整题目的数量和难度.作业要考虑学生的差异性异改进作业设计.七、单元作业设计流程（4）1第一章《勾股定理》单元作业设计案例一、作业内容1.常规练习（A层）1知识清单1

（基础性作业）1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b和c满足a2+b2c2，那么这个三角形是 .3、满足a2+b2c2的三个 ，称为勾股数.如：3， ， ；5， ， ；6， ， ；7， ， ；8， ， ；9， ， ；9， ， 等.4、勾股定理的常见证明：5、相关结论：6、a2b2与c2的关系：直角三角形 锐角三角形 钝角三角形PAGE2828页2基础小练习2《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广61丈(1丈10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为（ ）．如图，在ABC中，B45，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E(BECE)，点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC7，AC5，则CEF的周长为 ．如图，BD是ABC的角平分线，AB15，BC9，AC12，则BD的长为 ．如图，已知ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积 ．如图，已知ADC90，AD8m，CD6m，BC24m，AB26m，则图中阴影部分的面积为 ．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的A500B1200米，且CACB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．2.整合运用（B）①用勾股定理解决面积问题如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大的正方形的面积 ．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，正方形A的面积是11cmB的面积是10cm2，C的面积是13cm2D的面积为 ．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，EABCB上的点，把△ABCDEBB′．如图①B′ACE的长；如图②B′ACCE的长．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（ ）A．1和3 B．1和4 C．2和3 D．2和4③勾股定理中最短距离问题如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器，宽为，高为，点A距底部蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）D．113cmA．317cm B．10cm C．5D．113cm如图，圆柱形玻璃杯高为12cm18cm4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的cm？思维拓展（C）一、勾股定理：1、在△ABC中，若AC=15BC=13AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为 .2、一个直角三角形的两边长是3和4，第三边长为 ，此时斜边上的高为 .（12题画图在下面空白处）3、(12页)257米.这个梯子的顶端距地面有多高？44米吗？二、勾股定理的逆定理：1、满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）（A）

a2b2c2

（B）

a:b:c9:40:41（C）∠C=∠A—∠B （D）∠A：∠B：∠C=6：8：102、(8页边长为81517的△ABC内有一点P到三边的距离相等，则这个距离为 .3(9)PACBCBBQ60°，BQ=BPCQ.APCQ之间的大小关系，并证明你的结论；PA：PB：PC=3：4：5PQ，请判断△PQC的形状，并说明理由.三、勾股定理的应用：（一）与棱柱有关1、如图，如果电梯的长、宽、高分别是2m、2m、3m，那么能放到电梯内的竹竿最大长度是 .2、（14页）如图，长方形的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点A爬到点B?（画出展开图，写出过程）（二）与圆柱有关1、如左图所示，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露出在杯子外面的部分长为hcm，则h的取值范围是 .2、（15页）如右图所示，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从下底AB处，求小虫所爬的最短路径.（画出展开图，π3）3、（10页）枯木一根直立地上，高二丈，周三尺.有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?（画出展开图，写出过程）4、（12页）如图，有一圆柱形透明玻璃容器，高15cm，底面周长为24cm，在容器内壁距4cmA3cm的B处时（B处与A处恰好相对），发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？若容器厚度忽略不（画出展开图，写出过程）（三）与楼梯有关1、如左图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为6dm、3dm和1dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 .2、如右图，某会展中心在一次会展期间准备在楼梯上铺地毯，已知楼梯的高BC为5m，斜面AC为13m，每一级楼梯宽AD为2m，地毯的价格为每平方米20元，铺完这个楼梯至少需要 元.】一、折叠型1ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABCAC折叠，使点BE处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）5（A）4

4（B）5

5（C）3

3（D）52、（13页，常考题）如右图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE叠使点B在形内点F处接F则CF长为 . 二、旋转型（17页）已知：如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、FBC上的点且∠EAF=45°.求证：EF2=BE2+FC2．（发展性作业）.二、设计意图方法.三、时间要求:60四、评价设计五、参考答案《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广61丈(1丈10尺x

x2(x6)2100．【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．【解答】x尺，那么这个门的高为(x6)尺，根据题意得方程：x2(x6)2100，x2x6)2100．如图，在ABC中，B45，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E(BECE)，点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC7，AC5，则CEF的周长为8 ．【分析】根据垂直平分线的性质求得BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出CEF的周长．【解答】解：DEAB的垂直平分线，BAEABE45，BEAE，BEA90，BC7，BECE7，AECE7AE7CE，又AC5，在AECAE2CE2AC2(7CE)2CE252，CE3，又FAC的中点，EFFC1AC5，2 2CEF的周长CFCEFE5358．2 2故答案为：8． 如图，BD是ABC的角平分线，AB15，BC9，AC12，则BD的长为 95． 2【分析】根据勾股定理的逆定理得到C90DDEABE，根据角平分线的性DECDDECDx，根据三角形的面积公式得到CD9，根据勾股定理即2可得到结论．【解答】解：AB15BC9AC12，BC2AC292122152AB2，C90，DDEABE，BD是ABC的角平分线，DECD，DECDx，SABCSABDSBCD，1ACBC1ABDE1BCCD，2 2 21129115x19x，2 2 2x9，2CD9，2BC2CD292(BC2CD292(9)22959952故答案为： ．如图，已知ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积 24cm2．【分析】阴影部分的面积等于中间直角三角形的面积加上两个小半圆的面积，减去其中下面面积较大的半圆的面积．【解答】解：直角ABC6，8，6282AB6282()BC1828，()2 2AC为直径的半圆的面积是1（3）29，2 2以AB为直径的面积是 1（5）225，2 2ABC1ACBC24，2阴影部分的面积是89242524cm2．2 224．【点评】本题考查勾股定理的知识，难度一般，注意图中不规则图形的面积可以转化为不规则图形面积的和或差的问题．如图，已知ADC90AD8mCD6mBC24mAB26m，则图中阴影部分的面积为96m2．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出ACB为直角三角S阴影

1ACBC1ADCD即可得出结论．2 2【解答】解：在RtADC中，CD6m，AD8m，ADC90，BC24m，AB26m，AC2AD2CD28262100，AC10m，（取正值）．在ABC中，AC2BC2102242676AB2262676．AC2BC2AB2，ACBACB90．S阴影

1ACBC1ADCD1102418696m2． 2 2 2 2 96m2在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的A500B1200米，且CACB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【分析】C作CDABDCACB，得出ACB90，利用根据勾股定理有AB1300米利用S 1ABCD1BCAC得到CD6000米再根据6000米400米ABC 2 2可以判断没有危险．

13 13【解答】解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CDABD．CACB，ACB90，BC1200AC500米，5002所以，根据勾股定理有AB 13005002S

ABC

1ABCD1BCAC2 2所以CDBCAC12005006000（米．AB 1300 13400米6000米，故没有危险，13AB段公路不需要暂时封锁．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出CD的长．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．①用勾股定理解决面积问题1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，若两阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大的正方形的面积 ．【答案】27【分析】a3aBC2BD2＋CD2＝BC2，由正方形的面积公式可得a＋3a＝36，即可求解．【详解】a3a，∵∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，∴BC2＝AC2﹣AB2＝102﹣82＝36，∵BD2+CD2＝BC2，∴a+3a＝36，∴a＝9，∴3a＝27，27，故答案为：27．【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用条件并利用其准确求解是解题的关键．12．（2021·山东中区·八年级期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，正方形A的面积是11cm，B的面积是10cm2，C的面积是13cm2，则D的面积为 ．【答案】30cm2【分析】64，由此即可解决问题．【详解】P、Q、M．根据勾股定理得到：CDP的面积；ABQ的面积；而P，QM的面积．A、B、C、DM的面积．∵M82=64cm2，∴A、B、C、D64Dx，∴10+11+13+x=64，∴x=30D30cm2.30cm2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．观察并能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，EABCB上的点，把△ABCDEBB′．如图①B′ACE的长；如图②B′ACCE的长．7 55【答案】（1）4；（2）16【分析】设CE＝x，则BE＝8－x，根据折叠的性质，实施勾股定理即可；设CE＝x，则BE＝8－x，根据折叠的性质，实施勾股定理即可．【详解】解：(1)设CE＝x，则BE＝8－x，AE＝BE＝8－x，由勾股定理得x262(8x)2，7x＝4，7CE4；(2)BAC的中点，BC＝1AC＝3，B2CE＝x，则BE＝8－x，由题意得BE＝BE＝8－x，由勾股定理得x232(8x)2，x＝55，16CE55．16【点睛】如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ，当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'B最小值和最大值分别为（ ）A．1和3 B．1和4 C．2和3 D．2和4【答案】A【分析】QDAPBA到达AAB的长度【详解】DQ