2023年高考数学一轮复习 新高考53A版 专题2 不等式 资料

专题二不等式

2.1不等式及其解法

考点一不等式的概念和性质

1.（2019课标I理,4,5分）

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是2（2kO.618,称为

黄金分割比例）,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之

比也是2.若某人满足上述两个黄金分割比例且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身

高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

答案B本题主要考查学生的数学应用意识、抽象概括能力、运算求解能力，以及方程思想;考查的核心素

养为数学抽象、数学建模以及数学运算.

26

由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度故咽喉至肚脐的长度应小于

264-42

cm,可得到此人的身高应小于26+42+0fiia«178cm;

同理，肚脐至足底的长度应大于腿长105cm,故此人的身高应大于105+105x0.618^170cm,结合选项可知,

只有B选项符合题意，故选B.

一题多解用线段代替人，如图.

«e逐一1">105,

已知&/=2u0.618,c<26,b>105,c+d=a,设此人身高为hem,则a+b=h，由^=°石186=^>6489,

（c<26,

由t：=oqai=d<42.07,

所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,

<68J07,

C=0-61*=>b<110.15,

整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,

即169.89<h<178.22（单位:cm）.故选B.

2.（2015浙江文,6,5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相

同.已知三个房间的粉刷面积（单位:m2）分别为x,y,z,且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位:元/nV）分别为

a,be且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用（单位:元）是（）

A.ax+by+czB.az+by+cx

C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

答案B用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间，且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间，这样

所需总费用最低,垠低总费用为（az+by+o<）元故选R

1

32

3.（2015北京文,10,5分）2吃,log25三个数中最大的数是.

答案log25

解析-.2-3="<1,1<<2,loc25>2,

这三个数中最大的数为log25.

考点二不等式的解法

Zx(x+2)>0.

1.(2014大纲全国文,3,5分)不等式组URV1的解集为()

A.{x|-2<x<-l}B.{x|-l<x<0}

C.{x|0<x<l}D.{x|x>l}

答案C由x(x+2)>0得x>0或x<-2;

由冈<1得

所以不等式组的解集为{x|0<x<l},

故选C.

2.(2014浙江文75分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-l)=f(-2)=f(-3)<3JiJ()

A.C43B.3<c<6

C.6<c<9D.c>9

答案C由0<f(-l)=f(-2)=f(-3)43,得

0<-l+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c<3,

由-l+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,

由-l+a-b+c=-27+9a-3b+c得4a-b-13=0(D,

由①②，解得a=6,b=ll,

二0«・6$3,即6<c«9,故选C.

3.(2013重庆,7,5分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(Xi*。且乂2凶=15,则a=()

571515

A2B2C.4D,2

答案A解法一:•.不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(XLXO.MM是方程x2-2ax-8a2=0的两根.

尸1+0=2A

由根与系数的关系知1&冷=-

-J(.)2_u_8a2)

■.X2-X1===15,

5

又TaAO/.aJ,故选A.

解法二:由x2-2ax-8a2<0,^(x-«-2a)(x-4a)<0,.a>0,

二.不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(-2a,4a),

又•••不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(xi,x»,

.,.xi=-2a,X2=4a.

VX2-X1=15,/.4a-(-2a)=15,

5

解得aJ,故选A.

4.(2015江苏,7,5分)不等式<4的解集为.

答案{x|-l<x<2}

JrJr

解析不等式<4可转化为名<2,利用指数函数y=2x的性质可得,x2・x<2,解得故所求解

集为{x卜l<x<2}.

5.(2015广东,11,5分)不等式*2・3x+4>0的解集为.(用区间表示)

答案(-4,1)

解析不等式-x2-3x+4>0等吩于x2+3x-4<0,解得-4<x<l.

6.(2014湖南文,13,5分)若关于x的不等式|ax2|<3的解集为I则a=.

答案-3

(-*

解析依题意，知aH0.|ax-2|<3=-3<ax-2<3=-l<ax<5,当a>0时，不等式的解集为t

5亿，)|-1=1

从而有\才此方程组无解.当a<0时，不等式的解集为J,，从而有1"3'解得a=-3.

7.(2013广东理95分)不等式x2+x-2<0的解集为.

答案{x|-2<x<l}

解析x2+x-2=(x+2)(x-l)<0解得-2vx<L故不等式的解隼是仅|-2<x<l}.

专题二不等式

2.1不等式及其解法

应用创新题组

1.(2021陕西汉中二模,4I实际生活)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本

传染数高于1时,每个感染者平均会感染一个人以上，从而导致感柒这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传

染数持续低于1时,疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本

传染数为Ro,l个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗

但称为接种率)§

34那么1个感染者新的传染人数为W(N-V).已知新冠病毒在某地的基本传染数Ro=5,为

了使1个感染者新的传染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为i)

A.50%B.60%C.70%D.80%

答案D由题意可得出(N-V)=5、盯41,解得*产,因此该地疫苗的接种率至少为80%.故选D.

2.(2021吉林白山第三次联考,10I实际生活)光线通过一块玻璃，强度要损失10%,若光线强度要减弱到原

1

来的$以下,则要通过这样的玻漓的块数至少为(1g3=0.477,lg2«0.301)()

A.14B.15C.16D.18

答案C设要通过这样的玻璃的块数为x,则

111吗YWQ

x5x5,5

(l-10%)<,*.0.9<,..x>logo.9=邪二口<^”由1°152又.「XCN.,.•・要通过这样的玻璃的块数至

少为16•故选C.

b

3.(2021呼和浩特一模,15I实际生活)若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为巴这个质员分数

决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜,从而可抽象出不等式

b-KHb

“”>a(a>b>0,m>0),数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出Iog32logislO(用

"<"或">"填空);并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.

b2-Fin5kn2

答案〈出"15〉-%答案不唯一)

10lo&15

解析由题意得国?：承<力由":所以Iog32<=logi510.

kn2knlOki2-Fin5ki2

hl3hll5l,iartll5bJrtB5h13

log32<logisl0^<=-fB!!'>.

4.(2022届山西长治第八中学阶段测,19I实际生活)某公司计划组织全体员工到省博物馆参观学习上行的

交通方式有两种:自驾或乘坐公司大巴，分析显示,当全体员工中x%(0<x<100)的成员选择自驾时，自驾类成

(30,0Vx<30,

<1800

12x4------KOmVxV100

员的人均所需时间满足函数f(x)=x(单位:分钟)，而乘坐公司大巴的成员

人均所需时间不受x影响，恒为40分钟，根据卜述的分析结果回答问题•

Q)若使乘坐公司大巴的成员人均所需时间少于自驾类成员的人均所需时间，则x应在什么范围内？

(2)求该公司全体员工到达省博物馆的人均所需时间g(x)的表达式并通过单调性分析如何使人均所需时间

最少.

解析(1)当0<xw30时，自驾类成员的人均所需时间为30分钟,而乘坐公司大巴的成员人均所需时间恒为

180(1

40分钟，不满足题目要求;当30<x<100时，令2x+x-90>40,解得45Vx<100.故当45<x<100时，乘坐

公司大巴的成员人均所需时间少于自驾类成员的人均所需时间.

⑵当0<x<30时,g(x)=30(x%)+40(l-x%)=-0.1x+40;当30Vx<100

时,g(x)=\x/(x%)+40(l-x%)=0.02x2-1.3x+58.

0<x<30时,g(x)单调递减,30<x<100时,g(x)图象的对称轴为直线x=32.5,g(x)的图象先减后增.

易知g(x)的图象在x=30处连续.

综上可知，当x£(0,32.5］时，全体员工的人均所需时间随自驾人数的增加而减少,x=32.5时，全体员工的人均

所需时间取到最小值,x£(325100)时，全体员工的人均所需时间隧自驾人数的增加而增加.

专题二不等式

2.1不等式及其解法

一、选择题

1.(2022届河南期中,3)已知a,bcd£R,则下列命题中，正确的是()

A.若a”b4,则a>b

ab

——

B.若君>£则a>b

C.若a>b,c>d厕ac>bd

ab

D.若。〈弓则a<b

ab

答案D对于A,当a=-2,b=l时，满足a4>b\{Ba<b,所以A错误;对于B,当c<0,a<b<0时，满足但不

满足a>b,所以B错误;对于C,若a=-l,b=-2,c=-3,d=-4,满足a>b,c>d,而此时ac=3<bd=8,所以C错误;

ab

对于D,因为？<7<2>0,所以a<b,所以D正确.故选D.

2.(2022届兰州西北师大附中期中,6)若b<a<0,给出下列不等式:①晨叫②|a|+b>0;③a~>b-4④In

a2>lnb2.其中正确的不等式是()

A.①④B.②③C.(IX3)D.②④

11

答案C因为b<a<0,所以a+b<0,ab>0,所以““<可所以①正确;当b=-4,a=-2时，满足b<a<0,此时

?(b-i)住二)(1+^)

|a|+b<0,所以②不正确油aflv”=(a-b)+”fl/=(a-b)v如，由b<a<0,可得a-b>0,ab>0,所

(1+4)

以(a-b)'如>0,所以所-以I③正确;由b<a<0,可得W<b2,所以Ina2<lnb4所以④不正确.故

选C.

*―y

3.(2021四川绵阳诊断,11)已知正实数x,y满足|/>端,则()

A.lnx>ln(y+l)B.ln(x+l)<lgy

C3x<2y1D.2xy>l

x―y

答案D因为正实数x,y满足ln>>lg”,所以Inx-lny>lgy-lgx,所以Inx+lgx>lny+lgy,因为函数

f(x)=lnx+lgx在(0,+8)上单调递增，所以x>y.

对于A,取x=4,y=3,此时Inx=ln(y+l),故A错误；

对于B,取x=2,y=l,此时ln(x+l)>lgy,故B错误；

对于C,取x=3,y=2,此时3x>2/i,故C错误；

对于D,因为x>y,所以2x-y>2C=l，故D正确.故选D.

4.(2022届湖北襄阳五中10月月考,6)已知x,y是正数，且x+2y=l,下列叙述正确的是(

A.x+y的最大值为1

B.x2+y2的最大值为1

C.(x+y)y的最大值为

D,和的最小值为4

x>0,O<x<l,

>>0,

3+2/=1得o<y<iII

答案D由对于A,x+y=l-2y+y=l-yjO<y<q.-<x+y<L不存在最

大值,A中叙述错误;

对于B,x2+y2=(l-2y)2+y2=5y2-4y+L:0<y<N:m<x2+y2<l,不存在最大值,B中叙述错误;

对于C,(x+y)y=(l-y)y=-y2+yj0<y<N,「Q<(x+y)y<4,不存在最大值,C中叙述错误;

吧工iC+口21-贮21---

对于0.2x7=%#=^^(x+2y)=2+X+2,>2+2\X年二年当日仅当x即x=N,y=，时或等

x+2j

号,二•的最小值为4,D中叙述正确.故选D.

pOgR：>1,

5.(2022届长春重点高中月考一,8)已知函数f(x)=则不等式f(X)41的解集为)

A.(-8,2]B.(-8,0]U(1,2]

C.[0,2]D.(-oo,0]U[lf2]

1二

答案D当x>l时JogzxsblogzZ可得x«2,所以lsxs2;当x<l时即1解得x<O^x>l,

所以xsO.综上所述,不等式f(x)sl的解集为(-8,0]u[1,2],故选D.

6.(2020陕西汉中二模,12)对于实数x,规定冈表示不大于x的最大整数，那么使得不等式4冈2-36冈+45<0

成立的x的取值范围星()

AV2)B,[2,8]

C.[Z8)D.[2,7]

315

答案C因为4冈2-36冈+45<0,所以2〈冈<2,所以24x<8,莅选C.

7.(2021安徽名校期末,4)已知使不等式x2+(a+l)x+a<0成立的任意一个x,都满足不等式3x-lv0测实数a

的取值范围为()

A(W+8)BK+吟

cH-9K?

?(-~.il

答案B解3x-lw0,得x典故解集为'叫

由不等式x2+(a+l)x+as0,得[x+l)(x+a)w0,

因为使不等式x2+(a+l)x+a<0成立的任意一个x,都满足不等式3x-lw0,

(V/

所以若a=l,则不等式(x+l)(x+a)w0的解集为{-1},满足{-l}u

若a<L则不等式(x+l)(x+a)w0的解集为卜1,-a],则\虱，所以-a3，解得

若a>l,贝U不等式(x+l)(x+a)40的解集为卜则(7折…

得+")故选

综上知，实数a的取值范围是

|21n(x+l)^>Of

8.(2022届贵阳一中10月月考,12)已知函数f(x)=lM+4><O,^|f(x)|>ax对任意的x£R恒成

立，则实数a的取值范围是()

A.(-oo,0]B.[-4,0]

C.[-Z0]D.(-8,l]

I/yAf^

答案B画出y=|f(x)|的大致图象，如图.由图可知，当a>0时，不符合题意.当a=0时,|f(x论ax恒成立，符合

=/-如

题意.当a<0时,当直线y=ax与曲线y=x2-4x(x40)相切时,a有最小值，联立b=得

x2-(4+a)x=0,A=(4+a)2=0,解得a=-4,所以-4«aw0.故选B.

9.(2020海南天一大联考一,11)已知a>l,若存在x£[l,+oo),使不等式3xlna<(x+l)ln成立，则a的取值

范围是()

A.(L+8)BG十9

斯)D.(2,+8)

3x

答案C因为a>L所以3xlna<(x+l)lnaa<=>3xlna<a(x+l)lna=3x<a(x+l)=a>A'.因为存在

(苦_2L_2_

x£[l,+8),使不等式3xlna<(x+l)lna2成立，所以a>*—，又y=A[=3k%区间[L+8)上单调递

增,所以扁一13一局1空所以a>N故选C.

10.(2022届湖南联考,9)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+l(a,b£R),对任意实数x都有f(l+x)=f(l-x)成立，当

时,f(x)>0恒成立，则□的取值范围是()

A.(-1,O)

B.(2,+8)

C.(-°°,-l)U(2,+oo)

D.(-oo,-l)

a

答案C因为对任意实数x都有f(l+x)=f(l-x)成立，所以函数f(x)的图象关于直线x=l对称，由1,解得

a=2.

又因为函数f(x)的图象开口向F,所以函数f(x)在卜1,1]上单调递埴而f(x)>0恒成立，所以

f(x)min=f(-l)=b2-b-2>0,解得b<-l或b>2.故选C.

11.(2022届江西上饶月考,9)关于x的不等式x2-(a+l)x+a<0的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围

是()

A.[-2,-DU(3,4]B.(-2,-l)U(3,4)

C.(3,4]D.(3,4)

答案Ax2-(a+l)x+a<0即(x-l)(x-a)<0,当a>l时，解得当a<l时，解得a<x<l.

•.不等式的解集中恰有两个整数〃.3。“或-2wa<-l「a的取值范围是[-2,-l)U(3,4].故选A.

12.(2021东北三省模拟,7)关亍x的不等式ax-b>0的解集是(-L+8),则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0的

解集是()

A.(-oo,-l)U(3,+<»)

B.(-13)

C.(l,3)

D.(-8,l)U(3,+8)

&

答案C•.•关于X的不等式ax-b>0,即ax>b的解集是(-L+8)〃°=-l，且2>0,即2=七>0.

则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0,即(-ax+a)(x-3)>0,也即a(x-l)(x-3)<0,解得l<x<3.故选C.

asx-2

13.(2021新疆第二次适应性检测,3)若关于x的不等式:>0的解集为(-2,3),则mn=()

A.5B.-5C.6D.-6

CBX-2

答案C因为cosx-2<0,/也1Ml>0的解集为(-2,3),

所以x2-mx-n<0的解集为(-2,3),故-2+3=m,-2x3=-n,所以m=l,n=6测mn=6.故选C.

14.(多选题)下列说法正确的是()

A.不等式2x2-x-l>0的解集是{x|x>2或x<l}

B.不等式-6x2-x+2s0的解集是I।32J

C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x卜7<x<-l},则a的值是3

D.若关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,l),则p+q的值为-1

答案BCD对于A”2x2-x-l=(2x+l)(x-l),

.•・由2x2・x-l>0得(2x+l)(x-l；>0,解得x>l或x<N〃•.不等式的解集为l।

对于B,-.-6x2-x+2<0,.-.6x2+x-2>0,

12

.•.(2x-l)(3x+2)>0,/.x>2^x<-3.

{x|x>；或去<-1]

.••不等式的解集为I2M故B正确；

对于C,由题意可知-7和-1是关于x的方程ax2+8ax+21=0的两个根.

21

.•.-7x(-l)=a〃.a=3.故C正确；

2

对于D,依题意知qfl是方程x+px-2=0的两根，则q+l=-p,即p+q=-l,故D正确.

15.(2020山东德州期中,11)对于实数a,be下列命题中正确的是()

A.若a>b,则ac<bcB.若a<b<0厕a2>ab>b2

ab11

''II——

C.若c>a>b>0,则D.若a>b尸>0则a>0,b<0

答案BCD对于A,当c>0时油a>b,可得ac>bc,故A不正确；

,,22,

对于B,a2-ab=a(a-b)ja<b「.a-b<0,又a<0r.a(a-b)>0,.a>ab.ab-b=b(a-b);.a<b,..a-b<0,X

222

b<0/.b(a-b)>0(.-.ab-b>0,.-.a>ab>b,^B正确；

11ab

对于Cjoa>b>0,.•(、>(),c-b>0,且c-b>c-a,.-.M>^X\a>b>O,.-.M>cC正确；

11

-

对于D;.a>b,.'.a-b>0,X-.-*>0,

b-a

.,.必>0,又b-a<0,.1.ab<0,gPa,b异号,

又,.a>b,..a>0,b<0,故D正确，故选BCD.

16.(多选)(2022届重庆巴蜀中学月考一,9)已知实数a,b,c满足a>b>0>c,则下列不等式中一定正确的有

()

££

A.ac>bcBa>b

ca

C.ac2>bc2Da+c<-2

BCD对于选项A:f(x)=xc(c<0)在(0,+8)上是减函数，所以a«bSA错误;对于选项

£C

a>fcB正确;对于选项C:a>b>0,c2>0=>ac2>bc2C正确;对选项

B:f

=-2（当且仅当a=-c时等号成立）,D正确.故选BCD.

二、填空题

2x-a

17.（2022届上海二模,7）不等式计°>0的解集为M,且2EM,则实数a的取值范围是

答案(-oo,-2]U[4,+oo)

4-a

解析由题意可知,NH6或2+a=0,解得aN4或a《2

18.(2021河南新乡一模,16)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=O,当x>0时,f(x)=x2.若不等式

1

^f(ax2)+f(3-x)>0对任意x£R恒成立，则实数a的最小值为.

1

答案6

rr-'by.voivo

解析由已知得f(x)=l廿KVO所以f(x)f(y)="==f(xy),所以不等式

!G)加)

4f(ax2)+f(3-x)“可化为fWf(ax2)+f(3-x)“,即&f(x-3).因为f(x)是R上的增函数，所以

1

%乂2”-3,即ax2-2x+6>0对任意x£R恒成立，当a=0时显然不满足-2x+6“对任意x£R恒成立，所以

fa>0,1

即

IA=4-24a<O,a>6

19.(2021河南部分重点高中联考,15)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时,f(x)=-市+曰2*口则不

等式f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0的解集为.

答案'a/U(6,+oo)

解析易知函数f(x)在。+8)上为减函数，因为函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)在R上为减函数,不等式

f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0可化为f(2x2-10x)<f(-x2+6x+12),所以2x2-10x>-x2+6x+12,即3x2-16x-12>0,

解得a/U(6,+co).

20.(2022届通州期中,12)不等式-x2+x+42>0的解集为.

答案(-6,7)

解析由-x2+x+42>0得x2-x-42<0,即(x-7)(x+6)<0,解得-6<x<7.

21.（2022届北京一零一中学统考二,12）若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0（a>0）的解集为{x|x1<x<X2},且

X2-XI=15,则a的值为.

5

答案2

解析由题意,xi,X2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的两个实数根,

所以A=4a2+32a2=36a2>0,fixi+X2=2a,xiX2=-8a2.

255

fjr+x---

因为X2-X1=15,所以152=<rA-4xiX2=4a2+32a2=36a2,所以a2=4.又a>0,所以a=2.

22.（2022届北京九中10月月考,12）命题"Vx£R,使得关于x的不等式mx2+mx+l>0H是真命题则m

的取值范围是.

答案[0,4]

解析当m=0时,120恒成立，满足题意；

>0,

当m/0时，则Im'4™三Q解得0<m44,

综上可得0<m<4,EPme[0,4],

23.（2022届清北学堂全国高中数学联赛,1）已知关于x的不等式（x-l）2>ax2有且仅有三个整数解，则实数a

的取值范围是.

江案用）

解析由已知得a>0,因为x=0是不等式的一个解决:1不是不等式的解，所以不等式的二个整数解只能是

-2,-1。不等式(x-l)2>ax2化为(a-l)x2+2x-l<0.

设f(x)=(a-l)x2+2x-l,则依题意得f(x)=0的两根满足-34XI<-2,0<X2W1,所以"(-2)=4(a~l)-5VO,

(/(O)=-1V0・

且"。)=3-1)+1>o.

169

解得9wa<*所以a的取值范围是

24.（2019天津文,10,5分）设x£R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为

.案（'身

解析3x2+x-2<0e=>(x+l)(3x-2)<0,

2

所以-l<x<W

2.2基本不等式及不等式的应用

考点基本不等式及其应用

y1

1.（2015陕西，理9,5分）设f（x）=lnx,0<a<b,若p=f严）,q=f，2乙=%⑶+他））,则下列关系式中正确的

是（）

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

_1e+5s-l-1_

"al.j>Qal,,Qal

答案C由题意得p=ln*,q=ln,r=(Ina+lnb)=lnir=p,.O<a<b,.,.>v,/.ln>ln”,

p=r<q.

*y

2.（2015福建理55分）若直线"+Ll（a>0,b>0）过点Q,l）,则a+b的最小值等于（）

A.2B.3C.4D.5

*yii/ii\-i

答案C因为直线'+'=：L(a>0,b>0)过点Q,l),所以1所以a+b=(a+b)V〃=2+'+'

2+2=4,当且仅当a=b=2时取故选C.

12_

3.（2015湖南文75分）若实数a,b满足.+石=便加ab的最小值为（）

A.B.2C.2D.4

12（22^1212

答案C依题意知a>0,b>0,则研当且仅当即b=2a时,“=”成立.因为"+工号所以

2/

旧之例即己八26,所以ab的最小值为卢，故选C.

4.（2014重庆文,9,5分）若logM3a+4b则a+b的最小值是（）

A.6+2®B.7+2*C.6+4*D.7+4

■fc/ol

答案D由Iog4（3a+4b）=log2,

得3a+4b=ab,且a>0,b>0,

-由a>0,得b>3.

4（&T）+1212

.-.a+b=b+fc-3=b+"3=（"3）+"一三+7221^^+7=46+7,即a+b的最小值为7+46.

5.（2014福建,9,5分）要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方

米20元,侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）

A.80元B.120元C.160元D.240元

答案C设底面矩形的长和宽分别为am、bm,则ab=4.容器的总造价为20ab+2（a+b）x

10=[80+20（a+b）]元,8O+2O（a+b）N8O+4oB

=160（当且仅当a=b时等号成立）.故选C.

6.（2018江苏,13,5分）在MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,zABC=120°,zABC的平分线交AC于点

D,且BD=1,则4a+c的最小值为.

答案9

解析本题考查基本不等式及其应用.

依题意画出图形，如图所示.

D

易知S.-.ABD+S.XBCD=S.-.ABC,

1

即为sin600+2asm60°=2acsin1200,

c4a

;.4a+c=(4a+c)=5+，c>9,

f4a3

当且仅当°=。即a=2,c=3时取

一题多解1作DEilCB交AB于Ef\BD为/ABC的平分线,

BAADc

BCDCa

ADAEDEc

•.闲心,*=.产尸‘

-y-S

<H-c

■—Jc—1

而不叫下BC

=+.

迎康以♦左靛)

一/

1G可并却冏

3：11

.l=i^..ac=a+c/+“L

———c4■a一

2

7.4a+c=(4a+c)G4)=5+°+”之9,当且仅当气二即a=,c=3时取

一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

•.AD,C三点共线，.严产，

,-.4a+c=(4a+c)=5+°+当且仅当"=，即a=\=3时取

»y

7.（2017山东,12,5分）若直线°+*=l（a>0,b>0）过点Q,2）则2a+b的最小值为.

答案8

12

解析由题设可得“+E=l,.a>0,b>0,

&-)=2+；+三2如2

;.2a+b=(2a+b)

故2a+b的最小值为8.

（H1）（研1）

8.（2019天津文,13,5分）设x>0,y>0,x+2y=4则》的最小值为.

2

答案

解析本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程度,以及学

生的推理、运算能力.

(x+l)(2y4-l)2xy+x+2y+l2xyrt5

--===2+不

.x>0,y>(V.4=x+2ym^^解得0<xyw2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=l时"=”成立.此时,船2:2+”‘

59(开1)31)9

22+"予故"的最小值为2.

5

思路分析首先将分子展开,并把已知条件x+2y=4代入则原式化简为2+*',注意到x与2y的和为定值，

用基本不等式即可求xy的最大值，最终得到原式的最小值，在此应特别注意基本不等式的使用条件“一正、二

定、三相等”，注意等号是否成立.

9.(2015重庆文,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则而言+而"的最大值为.

答案3&

解析解法一:令t=g，+/三

则t2=(际+际)2=a+l+b+3+26五・gw9+a+l+b+3=18,

当且仅当际=际，

73

即a=2,b=z时，等号成立.

即t的最大值为36.

解法二:设旧7小,四^5^,则m,n均大于零，

因为m2+n222mn,所以2(m2+n2)2(m+n)，

所以m+n<*•,

所以后五+河石尸=诟=36

当且仅当标=际,

73

即a=*,b)时,〜，成立，所以所求最大值为3便

2.2基本不等式及不等式的应用

应用创新题组

1.(2022届朝阳期中,14I优化设计)北京冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会,决定在

办公楼外墙建一个面积为8m2的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示)，

要求上下各空0.25m,左右各空0.25m,相邻宣传栏之间也空0.25m.设三个宣传栏的面积之和为S(单

位:m。则S的最大值为

答案4.5

解析设矩形宣传栏的长、宽分别为am.bm,则(3b+4xO.25)-(a+2xO.25)=8,即(3b+l)・(a+0.5)=8,从而

SnSabnaQ0'当且仅当a=1,5,b=lB寸取等

号).所以S的最大值为4.5.

2.(2022届郑州外国语中学调研二,20I生活实践)某乡镇为打造成"生态农业特色乡镇”，决定种植莫种水

果，该水果单株产量M(x)(单位千克)与施用肥料x(单位汗克)满足如下关

“x2+3),0M/M2,

50x,5-1

—+-,2<X<5f

系:M(x)=11+<3单株成本投入(含施肥、人工等)为30x元.已知这种水果的市场售价为

15元/千克,且销路畅通供不应求，记该水果的单株利润为f(x)(单位:元).

(1)求f(x)的函数关系式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果的单株利润最大？最大利润是多少？

解析⑴由题意得f(x)=15M(x)-30x,所以

15*5(/+3)30^0<x<2,

115*+25-3QX,2<x<5

|F75x2-3Qx+225,0<x<2.

x<5.

75(x-02+222,0<x<2,

805-30仔_+(l+x)]7Vx£5

(2)将⑴中f(x)变形得f(x)=UMJ

①当0<x<2时,f(x)max=f(2)=465;

岛+(l+x)]监(1+x)

②当2<x《5时,f(x)=805-30口廿J<805-30x2N1+x=505,

25

当且仅当l+a=l+x,即*=4时等号成立.

因为465<505,所以当x=4时,f(x)max=505,所以当施用肥料为4千克时，种植该水果的单株利润最大，为505

元.

3.(2022届河南调研,19I生产实践)某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(等于该厂家的

k

年产量)x万件与年促销费用m万元(mNO)满足关系式x=2.5-*1rt'I*为常数)，如果不搞促销活动，则该产品

的年销售量是1.5万件.已知生产该产品的固定年投入为10万元,每生产1万件该产品需要再投入25万元,

厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)

Q)将该产品的年利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数；

(2)该厂家年利润的最大值为多少？

k_J_

解析⑴由题意可知当m=0时,x=1.5.由1.5=2.5」,得k=l,所以x=2.5-nrt-1.

1X4IIH-Sa25

因为每件产品的销售价格为2xx元，所以y=2x-x-10-25x-m=25x+10-m=2-^-rr.EPy

14525

关于m的函数表达式为丫=2-ZLm.m之0.

2S”5"^5_25

(2)因为m1,所以,=10,即11rtl+m29,当且仅当E^m+L即m=4时

145

等号成立，所以ys2-9=635所以ymax=63.5.

故当该厂家投入的年促销费用为4万元时，年利润最大，且最大值力63.5万元.

4.(2022届河南十所名校测试二,19I生产实践)已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为350万元，

设该公司一年内共生产这种手机x万部并全部销售完，且每万部的销售收入为600万元，生产这种手机每年

4O00C

需另投入成本R(x)万元，且当0<x<40时,R(x)=10x(x+10),当x>40时,R(x)=601x+x-6550.

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式;(年利润=年销售收入一年成本)

(2)当年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大?最大年利润是多少？

解析(1)当0<x<40时,W(x)=600x-10x(x+10)-350=-10x2+500x-350;当x>40

(601x4-竺衿655。)蚪。+誓)

时,W(x)=600x-\+6200,

f-lOx2+5OOx-35QOVx<40,

[-(4+岑丹+6200/>40.

.-.W(x)=

2

(2)当0<x<40H,W(x)=-10(x-25)+5900,当x=25BtW(x)max=5900;当x>40

(FWOW

,40000

时,W(x)=-+6200<6200-2=5800,当且仅当x=X，即x=200时,取等号”5

900>5800〃•.当年产量为25万部时，该公司所获