第3章动力学有限元计算已排课件复习课程

第13章动力学问题的有限元法在实际机械结构中，常作用于结构上的载荷是动载荷，即载荷随时间t相关，这时，结构上相应的位移，应力和应变不仅随空间位置变化，还随时间t而变化。结构动力学问题的有限元法的实质就是将一个弹性连续体的振动问题，离散为一个以有限个节点位移为广义坐标的多自由度系统的振动问题。其基本原理和分析方法类同静力学的有限元法，按杆梁、薄板等不同结构进行分析。不同的是，应用振动理论建立动力学方程时，在单元分析中除需形成刚度矩阵外，还需形成质量矩阵，阻尼矩阵；在整体分析中，不仅求动力响应，还有求解特征值问题（结构振动的固有频率及相应的振动型（或模态））1从静力学有限元法可知，有限元的基本思想是将弹性体离散成有限个单元，建立整体刚度平衡方程：关于静力问题和动力问题的区别，据达朗贝尔原理，动力学问题只要在外力中计入惯性力后，便可按静力平衡处理。考虑到动力问题中的载荷和位移均为时间的函数，上式可记为：由于动力载荷可为作用于弹性体上的动载荷，也可为弹性体的惯性力，也可为与速度相关的阻尼力，即：据惯性力定义表示为：如阻尼力正比与速度，则动力学基本方程：13.1振动基本方程的建立21、单元刚度阵任取一个单元，单元节点位移为，节点速度和加速度为：，则单元节点内任一点的位移[N]为形函数，与时间t无关，为X、Y、Z的函数，它与静力分析中一样；由于[N]与时间无关，则单元应变矩阵，应力矩阵仍与静力分析完全相同：则刚度矩阵同样与静力情况相同：13.2单元质量、阻尼、刚阵计算32、单元质量阵设单元节点加速度为，则单元内任一点的加速度：设单元的质量密度为，则单位体积中的惯性力为：负号表示惯性力与加速度相反。显然，整个单元上惯性力即为上式的积分。如何将这个作用于单元上的惯性力移置到单元节点上，通常有两种方法：1）虚功原理法——求得一致质量矩阵2）直接分配法——即按重心不变原则分配，求得集中质量矩。4平面常应变三角形单元的一致质量阵为：单元质量矩阵6一般而言，一致质量较准确地反映了单元内质量分布的实际情况，集中质量精度不如前者，但不存在耦合，使计算大大简化，是工程中常用的方法。2）直接分配法将单元内分布质量按重心不变原则分配至单元节点上，所产生的质量矩阵是没有耦合项的对角矩阵。如六自由度的平面三角形单元，单元总质量为W/g，则平均分配至三个节点上的质量所形成的质量阵为：73、单元阻尼阵单元阻尼力主要指结构阻尼力，它是由结构内部材料内摩擦引起的阻尼。设结构阻尼系数为，则单位体积产生的阻尼力（即阻尼力密度）为：利用虚功原理同理可得：8一旦单元刚阵、质量矩阵、阻尼矩阵求得，则动力学方程中的整体刚阵、质量阵等可类似静力分析的刚度矩阵组装得到：9计算结构的固有频率和振型是结构动力学分析的主要内容，也是分析结构动力响应和其它动力特性问题的基础。由于一般结构阻尼对结构的固有频率和振型影响极小，所以，求结构的固有频率和振型时，直接用无阻尼的自由振动方程求解。即因任意弹性体的自由振动都可分解为一系列的简谐振动的迭加：即结构上各节点位移为为节点位移振幅向量（即振型），与时间t无关的位移幅值；为与该振型对应的频率。13.3固有频率和振型计算101、特征方程将节点位移代入动力方程，化简得广义特征值问题：由于结构自由振动时，各个节点的振幅不可能全为零，则称为结构的特征方程，即求结构的固有频率和振型归结为特征值问题。设计结构的自由度为n，则特征方程为的n次代数方程，其n个根称为特征值，记为它们的平方根称为系统的固有频率，即将这些固有频率从小到大依次排列为最低的频率称为基频，它是所有频率中最重要的一个。11这个过程称之为正规化利用正规化，可得2、特征向量对应每个固有频率，可有方程由此求得一组节点振幅不全为0的向量称为特征向量，也称为振型或模态向量。由于上述方程为齐次方程，显然解不唯一，也就是说：振型的形状是唯一的，但其振幅不是唯一的；或一个特征值可对应有多个特征向量，但一个特征向量只对应一个特征值。实际中，常选特征向量使12则对应所有的特征值问题:3、特征向量的性质正交性：任意两个特征值对应的特征向量关于质量矩阵或刚度矩阵正交。即设则有若将所有的特征值对应的特征向量组装成特征向量矩阵，即13考虑到正规化:可进一步记为：可简记为矩阵形式：141、幂迭代法特点：用于计算最大（主）特征值十分有效。这里[D]称为动力矩阵，也即一个变换矩阵，它可将任一特征向量变换为一常数与其自身的乘积.13.4特征值问题的解法结构固有频率和振型的计算归结为求的特征值和特征向量。由于有限元法将结构离散为n个自由度，n一般相当大，故n次特征方程的直接求解十分困难，常求其近似解，常用的求解方法有幂迭代法、逆迭代法、子空间迭代法等。15由于任两个特征值对应的特征向量是正交的，则n个特征向量可组成特征向量空间中的一个特征向量基，其特征向量空间中的任一特征向量可表示为基向量的线性组合。即存在任一向量：设这个向量被[D]变换后形成一新的特征向量为：类推，可得：16由于所有的特征值排列为：即存在考虑到问题为齐次方程，特征向量前的系数可以略去，则上式在p趋近无穷时，其第一项就趋近实际计算，只需迭代有限次即可得精确解。17幂法迭代格式1、选初始特征向量，如单位向量2、构造新特征向量，并归一化3、计算特征值近似值4、计算相邻两次迭代的特征值误差，检查是否收敛若需计算二阶、三阶等特征值，则需构造新的动力矩阵182、逆迭代法逆迭代法也称为反幂法，类似于幂法，特征值问题改写为：其具体迭代格式为：1）选初始向量如单位向量2）计算中间向量3）求解线性方程组4）归一化5）计算特征值近似值6）计算相邻两次迭代的特征值误差，检查是否收敛19对于受迫振动，基本方程为求解此方程通常有两种数值方法：振型迭加法和逐次积分法1、振型迭加法振型迭加法的基本思想是利用结构固有振型的正交性，把结构的复杂振动分解为一组相互独立的单自由度振动（即解耦），从而求得结构的位移响应。设结构无阻尼自由振动的各阶固有频率和相应的固有振型为：则结构任意时刻的受迫振动产生的位移可认为是n个固有振型为基的线性组合，即为组合系数，是时间t的函数，也称为振形坐标13.5动力响应的计算20广义质量阵广义阻尼阵广义刚度阵广义激振力上式可记为这里代入动力学方程：左乘21据正交性可知，这些广义矩阵均为对角矩阵，即表示方程各个变量之间是没有耦合项的，从而动力方程转化为n个相互独立的单自由度振动的动力方程，分别求解这n个方程可求得从而求得动力方程的位移解:进而可求得速度、加速度。222、逐次积分法基本思想：将时间t离散为n个区间，并假设在一个时间区间内，结构的加速度响应为线性变化，由此，对加速度积分，可得速度和位移，一旦所有区间计算完毕，则求出结构的动力响应。假设在至t的很小时间间隔内，加速度线性变化：对积分，并引入初始条件待定积分常数将代入t时刻的动力方程并整理后即可逐步求解各时刻的加速度，然后求出各时刻的速度和位移。23第1部分：优化设计优化设计的数学模型 设计变量、目标函数、约束条件优化设计的数学基础梯度、Hesse矩阵等极值问题的基本概念及其几何描述(2)一维搜索方法确定搜索区间的进退法黄金分割法二次插值法课程总结24(3)无约束优化方法解析数值解法(梯度法、牛顿法、变尺度法)直接数值解法(共轭方向法，Powll法)(4)约束优化方法约束极值问题的最优解条件(Kuhn-Tucker条件)求解约束极值问题的基本策略可行方向应满足两个条件:(1)可行;(2)下降。罚函数法内点法，外点法。25(1)有限元建模的基本方法有限元建模的直接刚度法用能量原理（虚功原理）推导单元刚度方程(2)杆系有限元分析桁架结构的有限元分析平面梁单元平面杆系结构的整体分析第2部分：有限元分析26(3)固体力