《泰勒公式的应用》2800字

泰勒公式的应用综述首先,给出常见的泰勒公式.设函数f(x)在区间(a,b)内有n+1阶导数,x0∈(a,bf其中Rn(x)为余项,常见的余项有:佩亚诺型余项:Rnx拉格朗日型余项:Rn柯西型余项:Rnx=fn+1ϑn!根据实际的学习情况,我们知道遇到的大多数有关泰勒公式的问题是,泰勒公式在x0=0时的特殊形式(见文献[15])fxfx式及(2)式就是分别带佩亚诺型及拉格朗日型余项的麦克劳林公式.类似的常见函数的余项不同的麦克劳林公式有:exsinxcosxln1+1+x11−exsinxcosxln1+(1+11−泰勒公式在数学分析中的应用泰勒公式在求极限上的应用求极限limx→0讨论:观察发现针对于此题,我们当然可以采用之前学习过的方法进行解答，但是我们发现由于题中出现指数幂的形式,求解过程较繁琐,在上面泰勒公式的证明中,我们知道带有佩亚诺型余项的泰勒公式可以在极限求解中使用,因此我们不妨一试(见文献[14]).根据前面我们可以写出余弦函数和底数为e的幂指数麦克劳林公式,并做差有:cosxe−cosx故而求得:lim泰勒公式在近似计算上的应用例1:计算e的值,使其误差不超过10−解一开始我们不妨写出函数fx=ex的麦克劳林公式形式,这个可以由泰勒公式写出,即:ex=1+x+x22!+∙∙∙+xnn其中0<θ<1,x∈(−∞,+∞).故Rn1=eθn+1!<3(n+1)!,e=1+1+例2:证明e为无理数.证明常见函数fx=ex它的麦克劳林公式,就是:e其中0<θ<1,x∈(−∞,+∞).当e=1+1+即由上式得:n!ee=pq(p,q为正整数),n左边是正整数.且我们可知:一方面eθ(n+1)<e(n+1)<1(n+1),另一方面n泰勒公式在数值分析中的应用(见文献[4])泰勒公式在数值微分上的应用设步长ℎ>0,把函数f(x+ℎ),以及函数ffx+ℎ=fx−ℎ=其中x−ℎ<ϑ2<x<ϑf'所以,一阶导数的向前差分公式近似为:f'x≈fx+ℎ−fxℎ,同时−ℎ2f''其中ϑ2<ϑ3<ϑ1.则:f'x≈fx+ℎ−fx−ℎf''x其中ϑ2<ϑ3<ϑ1.则:f''除了上述之外,我们进行近似求导时,不妨使用积分来实现,即有:Dℎ对函数f(x+t),t∈[−ℎ,fx+t并由上式可知:x−ℎ<ϑ5<xDℎ即:f'且其误差为−ℎ泰勒公式在常微分方程数值解上的应用(见文献(4))考虑一阶常微分方程初值问题:p的数值解.解首先我们要知道,数值解就是将一般函数p(x),pn≈p(xn)求解出来.其次考虑在[s,t]上,建立等距的且离散的节点:s将p(x)在xn点泰勒展开,可得(8)p即得求解上述问题的欧拉法:pn假设pn是正确的,即pn=p(xn),则(8)式减(pxn对泰勒公式截断误差,我们还可以在局部进行分析.下面,以辛普森(Simpson)方法:pn为例,且当它的近似值是准确值时展开分析,即:pn分别将p(x)和p'(x)在pxp'又k取值为5时,在(13)式中取x=xn+2,在(14)式中分别取x=xn+1和x=xnpx参考文献徐会林,刘智广,肖中永.从多项式逼近函数引出泰勒公式[J].高师理科学刊,2018,38(02):57-60.张笛.罗尔中值定理及其应用[J].数学学习与研究,2014(01):122-123.李晟威.泰勒公式的证明及应用[J].课程教育研究,2018(42):129-130.徐会林.泰勒公式在数值分析中的应用[J].韶关学院学报,2019,40(12):5-8.阙凤珍,温少挺.柯西中值定理的应用[J].数学学习与研究,2016(21):19+21.王建云,全宏波,赵育林.浅谈拉格朗日中值定理的几种证明方法[J].数学学习与研究,2021(07):150-151.陈天戈.泰勒的著作与成就[J].语数外学习(高中版下旬),2021(04):63-64.胡有婧.向量函数的泰勒公式的不同形式及其证明[J].数学学习与研究,2021(29):140-141.韩树新,何军,王钥,王炜卿.浅谈拉格朗日对数学的贡献[J].教育教学论坛,2020(32):322-323.何锐,春光.数学“诗人”——柯西[J].课堂内外(小学智慧数学),2021(12):24-27.IanTweddle.Thepricklygenius–ColinMacLaurin(1698–1746)[J].TheMathematicalGazette,1998,82(495).迟炳荣,王秀红.用数学归纳法证明泰勒公式[J].中学数学杂志,2008(09):13-14.姚海燕.带有佩亚诺型余项的泰勒公式的新证明[J].教育教学论坛,2014(20):120.胡