2019届广东专版中考数学一轮复习专题6空间与图形6.3解直角三角形试卷部分讲义

第六章空间与图形6.3解直角三角形中考数学

(广东专用)考点一

锐角三角函数A组2014-2018年广东中考题组五年中考1.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cosα的值是

()

A.

B.

C.

D.

答案

D过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4.由勾股定理得OA=5.∴cosα=

=

.故选D.

2.(2014广州,3,3分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,

则tanA=()

A.

B.

C.

D.

答案

D∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°,∴tanA=

=

.故选D.3.(2018广州,12,3分)如图,旗杆高AB=8m,某一时刻,旗杆影子长BC=16m,则tanC=

.

答案

解析由锐角三角函数正切的定义可知,在直角三角形中,锐角C的对边与邻边的比叫做∠C

的正切,所以tanC=

=

.思路分析

由锐角三角函数正切的定义可得.易错警示

求锐角三角函数时,容易弄错角的对边和邻边,例如此题一不小心就有可能求得tanC=

=2.4.(2015广州,14,3分)如图,△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE.若BE=9,BC

=12,则cosC=

.

答案

解析∵DE是BC的垂直平分线,∴EC=BE=9,CD=

BC=6.∴cosC=

=

=

.考点二

解直角三角形1.(2017深圳,11,3分)如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处

测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20m,

DE的长为10m,则树AB的高度是

()

A.20

mB.30mC.30

mD.40m答案

B在Rt△CDE中,∵∠DEC=90°,CD=20m,DE=10m,∴∠DCE=30°,EC=20cos30°=10

m,设AC=xm,AB=ym,在Rt△ABC中,

=tan60°=

,①在Rt△BDF中,

=tan30°=

,②由①②得y=30,故选B.2.(2017广州,14,3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=15,tanA=

,则AB=

.

答案17解析在Rt△ABC中,∵tanA=

=

,BC=15,∴AC=8,∴AB=

=

=17.3.(2016广州,22,12分)如图,某无人机于空中A处探测到目标B,D,从无人机上看目标B,D的俯角

分别为30°,60°,此时无人机的飞行高度AC为60m,随后无人机从A处继续水平飞行30

m到达A'处.(1)求A,B之间的距离;(2)求在A'处从无人机上看目标D的俯角的正切值.

解析(1)如图1,∵AA'∥BC,∴∠B=∠1=30°,∴在Rt△ABC中,AC=

AB=60m,∴AB=120m.

图1(2)∵∠DAC=90°-∠EAD=90°-60°=30°,∴在Rt△ADC中,tan∠DAC=

,∴tan30°=

,即

=

,∴DC=20

m.如图2,连接A'D,过点A'作A'F⊥BC的延长线于点F.(备注:过点D作AA'的垂线,解法一样)∵AA'∥BC,AC⊥BC,∴A'F=AC=60m,CF=AA'=30

m,∠2=∠3.∴DF=DC+CF=20

+30

=50

(m),∴在Rt△A'DF中,tan∠3=

=

=

,∴tan∠2=tan∠3=

.

图2思路分析(1)求出∠B,然后解直角三角形.(2)构造Rt△A'DF,然后求DF及A'F的长,得∠A'DF

的正切值.再根据平行线的性质将其转化为∠AA'D的正切值.解题关键正确构造直角三角形,合理运用直角三角形的边、角关系.考点一

锐角三角函数B组2014-2018年全国中考题组1.(2018天津,2,3分)cos30°的值等于

()A.

B.

C.1

D.

答案

B根据特殊角的三角函数值可知,cos30°=

,故选B.2.(2017云南,11,4分)sin60°的值为

()A.

B.

C.

D.

答案

B

sin60°=

,故选B.3.(2015内蒙古包头,4,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tanB的值是

()A.

B.3

C.

D.2

答案

D在Rt△ABC中,设BC=x(x>0),则AB=3x,∴AC=

=2

x,∴tanB=

=2

.故选D.4.(2017哈尔滨,8,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为

()A.

B.

C.

D.

答案

A由勾股定理知,BC=

,则cosB=

=

,故选A.考点二

解直角三角形1.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A

处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B

处,然后沿水平方向行走6米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大树CD的

高度约为(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)

()

A.8.1米

B.17.2米

C.19.7米

D.25.5米答案

A作BF⊥AE于F,如图所示,

易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF,∵斜面AB的坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF,设BF=x米,则AF=2.4x米,在Rt△ABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5(舍负),∴DE=BF=5米,AF=12米,∴AE=AF+FE=18米,在Rt△ACE中,CE=AE·tan36°≈18×0.73=13.14米,∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故选A.2.(2015辽宁沈阳,16,4分)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD

相交于点H,延长DA交GF于点K,若正方形ABCD的边长为

,则AK=

.

答案2

-3解析如图,延长BA交GF于点N.由旋转的性质得∠GBN=∠EBC=30°,GB=AB=

.在Rt△GBN中,∵GB=

,∠GBN=30°,∴BN=

=

=2,∴AN=BN-AB=2-

.∵∠NAK=∠G=90°,∴∠KNA+∠NKA=90°,∠KNA+∠GBN=90°,∴∠NKA=∠GBN=30°(同角的

余角相等).在Rt△KAN中,∵AN=2-

,∠NKA=30°,∴AK=

=

=2

-3.

3.(2017四川德阳,15,3分)如图所示,某拦水大坝的横断面为梯形ABCD,AE、DF为梯形的高,其

中迎水坡AB的坡角α=45°,坡长AB=6

米,背水坡CD的坡度i=1∶

(i为DF与FC的比值),则背水坡CD的坡长为

米.

答案12解析∵α=45°,AB=6

米,∴AE=6

×sin45°=6米,∵i=1∶

=DF∶FC,∴tanC=

=

,∴∠C=30°,则DC=2DF=2AE=12米.4.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在

斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E

在同一直线上.(1)求坡底C点到大楼距离AC的值;(2)求斜坡CD的长度.

解析(1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°,∴AC=

=20

米.(2)过点D作DF⊥AB于点F,则四边形AEDF为矩形,∴AF=DE,DF=AE.

设CD=x米,在Rt△CDE中,DE=

x米,CE=

x米,在Rt△BDF中,∠BDF=45°,∴BF=DF=AB-AF=

米,∵DF=AE=AC+CE,∴20

+

x=60-

x,解得x=80

-120,即CD=(80

-120)米.5.(2018新疆,20,10分)如图,在数学活动课上,小丽为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼

的C处测得旗杆底端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°.已知旗杆与教学楼的距离BD

=9m,请你帮她求出旗杆的高度(结果保留根号).

解析过点C作CE⊥AB于点E.

由题意知AB⊥DB,CD⊥DB,∴∠CEB=∠EBD=∠CDB=90°.又∠BCE=45°,∴EB=EC,故四边形CDBE是正方形.又∵BD=9m,∴CE=BE=BD=9m.

(5分)在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠ACE=30°,∴AE=CE·tan∠ACE=9tan30°=3

m,∴AB=AE+BE=(9+3

)m.答:旗杆的高为(9+3

)m.

(10分)6.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度

i=1∶3(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的

仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用

含非特殊角的三角函数和根式表示即可)

解析过点D作DH⊥BC,垂足为H.

∵斜坡BD的坡度i=1∶3,∴DH∶BH=1∶3.在Rt△BDH中,BD=600,∴DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60

,∴BH=180

.设AE=x米,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,∴DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,∴HC=x,EC=60

,在Rt△ABC中,tan33°=

=

,∴x=

,∴AC=AE+EC=

+60

=

.答:山顶A到地面BC的高度为

米.7.(2017新疆乌鲁木齐,21,10分)一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向,距离港口20海里的B处,

它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障,在C处等待救援,B、C之间的距离为10海里,救援

艇从港口A出发20分钟到达C处,求救援艇的航行速度.(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,

≈1.732,结果取整数)

解析如图所示.

BD⊥AD,BE⊥CE,CF⊥AF,由题意知,∠FAB=60°,∠CBE=37°,∴∠BAD=30°,∵AB=20海里,∴BD=10海里.

(1分)在Rt△ABD中,AD=

=10

≈10×1.732=17.32海里.

(3分)在Rt△BCE中,sin37°=

,∴CE=BC·sin37°≈10×0.6=6海里.

(5分)∵cos37°=

,∴EB=BC·cos37°≈10×0.8=8海里.

(7分)∵EF=AD=17.32海里,∴FC=EF-CE=11.32海里.AF=ED=EB+BD=18海里.在Rt△AFC中,AC=

=

≈21.26海里.

(9分)21.26÷

≈64海里/小时(21.26÷20≈1海里/分钟).答:救援艇的航行速度是64海里/小时(1海里/分钟).

(10分)8.(2016安徽,19,10分)如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D是l2上的两点.某人

在点A处测得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得∠DEB=60°,求C、D两点间的距离.

解析如图,过D作l1的垂线,垂足为F.

∵∠DEB=60°,∠DAB=30°,∴∠ADE=∠DEB-∠DAB=30°,∴△ADE为等腰三角形,∴DE=AE=20(米).

(3分)在Rt△DEF中,EF=DE·cos60°=20×

=10(米).

(6分)∵DF⊥AF,∴∠DFB=90°,∴AC∥DF,已知l1∥l2,∴CD∥AF,∴四边形ACDF为矩形.∴CD=AF=AE+EF=30(米).答:C、D两点间的距离为30米.

(10分)考点一

锐角三角函数C组

教师专用题组1.(2015天津,2,3分)cos45°的值等于

()A.

B.

C.

D.

答案

B本题考查特殊锐角的三角函数值.cos45°=

.2.(2014甘肃兰州,5,4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cosA的值等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

D∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴AB=

=

=5.∴cosA=

=

,故选D.3.(2014贵州贵阳,6,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则sinA的值为

()A.

B.

C.

D.

答案

D在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,所以AB=

=13,所以sinA=

=

,故选D.4.(2016福建福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.

已知菱形的一个角(∠O)为60°,A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是

.

答案

解析如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得∠AEF=30°,∠BEF=60°,AE=

a,EB=2a,

∴∠AEB=90°,∴tan∠ABC=

=

=

.5.(2018贵州贵阳,18,8分)如图①,在Rt△ABC中,以下是小亮探索

与

之间关系的方法:∵sinA=

,sinB=

,∴c=

,c=

,∴

=

.根据你掌握的三角函数知识,在图②的锐角△ABC中,探索

,

,

之间的关系,并写出探索过程.

解析如图1,过点A作BC边上的高AD,

图1∵在Rt△ABD中,sinB=

,在Rt△ACD中,sinC=

,∴AD=csinB,AD=bsinC,∴csinB=bsinC,∴

=

.同理,如图2,过点B作AC边上的高BE,

图2∵在Rt△ABE中,sinA=

,在Rt△BCE中,sinC=

,∴BE=csinA,BE=asinC,∴csinA=asinC,∴

=

.综上,

=

=

.考点二

解直角三角形1.(2015江苏苏州,10,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2km,从A测得船C

在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为

()

A.4kmB.(2+

)kmC.2

kmD.(4-

)km答案

B如图,在Rt△ABE中,∠AEB=45°,∴AB=EB=2km,∴AE=2

km,∵∠EBC=22.5°,∴∠ECB=∠AEB-∠EBC=22.5°,∴∠EBC=∠ECB,∴EB=EC=2km,∴AC=AE+EC=(2

+2)km.在Rt△ADC中,∠CAD=45°,∴AD=DC=(2+

)km.即点C到l的距离为(2+

)km,故选B.

2.(2014广西南宁,11,3分)如图,在▱ABCD中,点E是AD的中点,延长BC到点F,使CF∶BC=1∶2,

连接DF,EC.若AB=5,AD=8,sinB=

,则DF的长等于

()

A.

B.

C.

D.2

答案

C∵CF∶BC=1∶2,AD=BC=8,∴BF=8+4=12.过D作DG⊥BF,交BF于点G.

∵AB∥CD,∴∠B=∠DCF,∴sinB=sin∠DCF=

.在Rt△DCG中,∵CD=5,∴DG=4,CG=3,∴FG=BF-BG=12-(8+3)=1,∴DF=

=

=

.3.(2014江苏苏州,9,3分)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km.某船从港口A出发,沿北

偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该

船航行的距离(即AB的长)为

()

A.4kmB.2

kmC.2

kmD.(

+1)km答案

C过A作OB边的垂线AD,垂足为D,易知∠BOA=30°,∠BAD=45°,在Rt△OAD中,AD=

OAsin∠DOA=4sin30°=2km,在Rt△ABD中,AB=

=

=2

km,故选C.

4.(2015江苏连云港,16,3分)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间

距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为

.

答案

解析过B作l1的垂线与l1和l3分别相交于D、E两点,得到Rt△ABD与Rt△BCE,BD=1,BE=2,DE=

3.易求得∠ABD=∠BCE,∵∠ADB=∠BEC=90°,∴△ABD∽△BCE,∴

=

.在Rt△ABC中,∠BAC=60°,∴tan60°=

=

.∴

=

,∴AD=

.在Rt△ABD中,由勾股定理得AB=

=

=

.∴AC=

=

=

.

5.(2014广西南宁,17,3分)如图,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,

前进20海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD等于

海里.

答案10

解析设CD的长为x海里,由题意知∠CBD=60°,∠CAB=30°,则AD=

x海里,BD=

x海里,∴

x+20=

x,解得x=10

.∴CD的长为10

海里.6.(2014浙江宁波,17,4分)为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车

位是长5米宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出

个这样的停车位.(

≈1.4)

答案17解析如图,BC=2.2×cos45°=2.2×

≈1.54米,

CE=5×sin45°=5×

≈3.5米,BE=BC+CE=5.04米,EF=2.2÷sin45°=2.2÷

≈3.14米,(56-5.04)÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17(个).故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.7.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门

的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120

cm,两扇活页门的宽OC=OB=60cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变

(所有结果保留小数点后一位).(1)若∠OBC=50°,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60cm时,求O在此过程中运动的路径长.参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19,π取3.14.解析(1)如图,过点O作OD⊥AB于点D,

在Rt△OBD中,BD=OB·cos∠OBD=60×cos50°≈60×0.64=38.4(cm).∵OC=OB,∴BC=2BD.∴AC=AB-BC=120-2×38.4=43.2(cm).(2)如图,

∵AB=120cm,AC=60cm,∴BC=AB-AC=60cm.∵OC=OB=60cm,∴BC=OC=OB,∴△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°.∵点O的运动路径为 ,∴点O运动的路径长为

=20π=62.8(cm).思路分析

(1)过点O作OD⊥AB于点D,先根据∠OBC的余弦求出BD,然后根据等腰三角形的

性质求得BC,进而求得AC的长;(2)点O运动路径是以点B为圆心,OB长为半径的圆弧,先确定当

点C从点A向右运动60cm后∠OBC的大小,进而利用弧长公式求出结果.解题关键

解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确

理解点O的运动路径.8.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平

行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距

离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高

杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm.参考数据:sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)解析在Rt△CAE中,AE=

=

≈

≈20.7.

(3分)在Rt△DBF中,BF=

=

≈

=40.

(6分)∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151.∵四边形CEFH为矩形,∴CH=EF=151.即高、低杠间的水平距离CH的长约是151cm.

(9分)思路分析

根据Rt△CAE和Rt△DBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,

得EF=AE+AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.方法总结

解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借

助边角关系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三

角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.9.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”

的竖直标语牌CD,她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°

(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=6.5m),求标语牌CD的长(结果保留小数

点后一位).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,

≈1.73)

解析如图,过点A作AE⊥BD于点E,

(1分)

由题意得∠DAE=42°,∠EAB=30°,在Rt△ABE中,∠AEB=90°,AB=10,∠EAB=30°,∴BE=

AB=

×10=5.

(2分)∵cos∠EAB=

,∴AE=AB·cos30°=10×

=5

.

(4分)在Rt△DEA中,∠DEA=90°,∠DAE=42°,∵tan∠DAE=

,∴DE=AE·tan42°≈5

×0.90=

,

(5分)∴CD=BE+ED-BC=5+

-6.5≈6.3(m).

(6分)答:标语牌CD的长约为6.3m.

(7分)思路分析

作AE⊥BD于点E,构造直角△DEA和直角△ABE,解直角△DEA和直角△ABE,求得

BE,DE的长,进而可求出CD的长度.10.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆

CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的

F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,

平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)

解析解法一:由题意知,∠AEB=∠FED=45°,∴∠AEF=90°.在Rt△AEF中,

=tan∠AFE=tan84.3°,在△ABE和△FDE中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED,∴△ABE∽△FDE,∴

=

=tan84.3°,∴AB=FDtan84.3°≈1.8×10.02=18.036≈18(米).答:旗杆AB的高度约为18米.

(10分)解法二:作FG⊥AB于点G,

由题意知,△ABE和△FDE均为等腰直角三角形,∴AB=BE,DE=FD=1.8,∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在Rt△AFG中,

=tan∠AFG=tan39.3°,即

=tan39.3°,解得AB=18.2≈18(米).答:旗杆AB的高度约为18米.

(10分)思路分析

思路一:由题意可确定∠AEF=90°,从而可推出△ABE∽△FDE,最后由相似三角形

中对应边的比相等求解;思路二:作FG⊥AB于点G,由题意可推出△ABE和△FDE均为等腰直

角三角形,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.11.(2017陕西,20,7分)某市一湖的湖心岛有一棵百年古树,当地人称它为“乡思柳”,不乘船不

易到达,每年初春时节,人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳.小红和小军很想知道“聚贤亭”与

“乡思柳”之间的大致距离.于是,有一天,他们俩带着测倾器和皮尺来测量这个距离.测量方

案如下:如图,首先,小军站在“聚贤亭”的A处,用测倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°,此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米;然后,小军在A处蹲下,用测倾器测得“乡思

柳”顶端M点的仰角为24°,这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米.请你利用以上所测得

的数据,计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长(结果精确到1米).(参考数据:sin23°

≈0.3907,cos23°≈0.9205,tan23°≈0.4245,sin24°≈0.4067,cos24°≈0.9135,tan24°≈0.4452)解析作BD⊥MN,垂足为D,作CE⊥MN,垂足为E.设AN=x米,则BD=CE=x米.在Rt△MBD中,MD=x·tan23°米.在Rt△MCE中,ME=x·tan24°米.

(4分)

∵ME-MD=DE=BC,∴x·tan24°-x·tan23°=1.7-1.∴x=

.∴x≈34.∴“聚贤亭”到“乡思柳”之间的距离约为34米.

(7分)解后反思

解决此类问题的步骤如下:(1)根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三

角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系;(2)若三角形是直角三

角形,根据边角关系进行计算,若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来

解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型,正确画出图形,找准

三角形.12.(2017江西,17,6分)如图1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为

20°,而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图,其中视

线AB水平,且与屏幕BC垂直.(1)若屏幕上下宽BC=20cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离AB的长;(2)若肩膀到水平地面的距离DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面

的距离FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°.

参考数据:sin69°≈

,cos21°≈

,tan20°≈

,tan43°≈

,所有结果精确到个位

解析(1)如图,∵AB⊥BC,∴∠B=90°.

在Rt△ABC中,α=20°,AB=

≈20÷

=55(cm).

(3分)(2)如图,延长FE交DG于点I,

∵DG⊥GH,FH⊥GH,EF∥GH,∴IE⊥DG,∴四边形GHFI是矩形,∴IG=FH,∴DI=DG-FH=100-72=28(cm).

(4分)在Rt△DEI中,sin∠DEI=

=

=

,∴∠DEI≈69°.

(5分)∴β=180°-69°=111°≠100°.∴此时β不符合科学要求的100°.

(6分)13.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到

指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其

南偏东45°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速

为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?

参考数据:sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°≈

,

≈1.41

解析过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D,则∠CDA=90°.

(1分)已知∠CAD=45°,设CD=x海里,则AD=CD=x海里.∴BD=AD-AB=(x-5)海里.

(3分)在Rt△BDC中,CD=BD·tan53°,即x=(x-5)·tan53°,∴x=

≈

=20.

(6分)∴BC=

=

≈20÷

=25海里.∴B船到达C船处约需时间:25÷25=1(小时).

(7分)在Rt△ADC中,AC=

x≈1.41×20=28.2海里,∴A船到达C船处约需时间:28.2÷30=0.94(小时).

(8分)而0.94<1,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.

(9分)解题技巧

本题是解三角形两种典型问题中的一种.以下介绍两种典型问题:(1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD=

,BD=

.∵CD+BD=a,∴

+

=a,∴x=

.

(2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD=

,CD=

,∵CD-BD=a,∴

-

=a,∴x=

.14.(2016茂名,21,8分)如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆CD的高度,先在教学楼

的底端A点处,观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°,然后爬到教学楼上的B处,观测到旗杆底端

D的俯角是30°.已知教学楼AB高4米.(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD;(

)(4分)(2)求旗杆CD的高度.(4分)

解析(1)∵在教学楼B点处观测旗杆底部D处的俯角是30°,∴∠ADB=30°.

(1分)在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ADB=30°,AB=4米,

(2分)∴AD=

=

=4

(米).

(3分)因此,教学楼与旗杆的水平距离是4

米.

(4分)(也可先求∠ABD=60°,利用tan60°去计算得到结论)(2)∵在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=60°,AD=4

米,(5分)∴CD=AD·tan60°=4

×

=12(米).

(7分)因此,旗杆的高度是12米.

(8分)15.(2014广东,20,7分)如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度.他们先在点A处测得树顶

C的仰角为30°,然后沿AD方向前行10m到达B点,在B处测得树顶C的仰角为60°(A、B、D三点

在同一直线上).请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m).(参考数据:

≈1.414,

≈1.732)

解析∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠ACB=60°-30°=30°,∴∠CAB=∠ACB,∴BC=AB=10m.

(3分)在Rt△CBD中,sin60°=

,∴CD=BC·sin60°=10×

=5

≈8.7(m).答:这棵树高约为8.7m.

(7分)16.(2016河南,19,9分)如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的

仰角为37°,旗杆底部B点的俯角为45°.升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处.若国旗随国歌

声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

解析过点C作CD⊥AB,垂足为D,则DB=9.

(1分)在Rt△CBD中,∠BCD=45°,∴CD=

=9.

(3分)在Rt△ACD中,∠ACD=37°,∴AD=CD·tan37°≈9×0.75=6.75.

(6分)∴AB=AD+DB=6.75+9=15.75.

(7分)(15.75-2.25)÷45=0.3(米/秒).∴国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升.

(9分)17.(2015浙江绍兴,20,8分)如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰

角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ的度数;(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:

≈1.7,

≈1.4.

解析延长PQ交直线AB于点C.

(1)∠BPQ=90°-60°=30°.(2)设PQ=xm,则QB=QP=x,在△BCQ中,BC=x·cos30°=

x,QC=

x,在△ACP中,CA=CP,∴6+

x=

x+x,x=2

+6,∴PQ=2

+6≈9,即该电线杆PQ的高度约为9m.18.(2015贵州遵义,21,8分)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4米,AB=6米,中间平台宽度DE=1米,EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N、M、B,∠EAB=31°,DF⊥BC于F,∠CDF=45°.求DM和BC的水平距离BM.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)

解析设DF=x米,在Rt△DFC中,∠CDF=45°,∴CF=tan45°·DF=x米.

(2分)又∵CB=4米,∴BF=(4-x)米,

(3分)∵AB=6米,DE=1米,BM=DF=x米,∴AN=(5-x)米,EN=DM=BF=(4-x)米,

(4分)在Rt△ANE中,∠EAN=31°,EN=(4-x)米,AN=(5-x)米,∴tan31°=

=

≈0.60,

(6分)解得x=2.5.

(7分)答:DM和BC的水平距离BM为2.5米.

(8分)19.(2015上海,22,10分)如图,MN表示一段笔直的高架道路,线段AB表示高架道路旁的一排居民

楼.已知点A到MN的距离为15米,BA的延长线与MN相交于点D,且∠BDN=30°.假设汽车在高架

道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音的影响.(1)过点A作MN的垂线,垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶,当汽车到达点P

处时,噪音开始影响这一排居民楼,那么此时汽车与点H的距离为多少米?(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点Q时,它与这一排居民楼

的距离QC为39米,那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?(精

确到1米)(参考数据:

≈1.7)

解析(1)连接AP.由题意,知AH⊥MN,AH=15,AP=39.在Rt△APH中,由勾股定理得PH=36.答:此时汽车与点H的距离为36米.(2)由题意可知,PQ段高架道路旁需要安装隔音板,QC⊥AB,∠QDC=30°,QC=39.在Rt△DCQ中,DQ=2QC=78.在Rt△ADH中,DH=

=15

.∴PQ=PH-DH+DQ=36-15

+78≈114-15×1.7=88.5≈89.答:高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长.20.(2014河南,19,9分)在中俄“海上联合—2014”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°,位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,

≈1.7)

解析过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度,根据题意得∠ACD=30°,∠BCD=68°.设AD=x米,则BD=BA+AD=(1000+x)米.在Rt△ACD中,CD=

=

=

x米.

(4分)在Rt△BCD中,BD=CD·tan68°(米).∴1000+x=

x·tan68°.

(7分)∴x=

≈

≈308.∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米.

(9分)21.(2014湖北黄冈,23,7分)如图,在南北方向的海岸线MN上,有A,B两艘巡逻船,现均收到故障船

C的求救信号.已知A,B两船相距100(

+1)海里,船C在船A的北偏东60°方向上,船C在船B的东南方向上,MN上有一观测点D,测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.(1)分别求出A与C,A与D间的距离AC和AD(如果运算结果有根号,请保留根号);(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁.若巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的途中

有无触礁危险?(参考数据:

≈1.41,

≈1.73)

解析(1)如图,过C作CE⊥AB于E.设AE=a海里,则BE=AB-AE=[100(

+1)-a]海里.在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠EAC=60°,∴AC=

=

=2a海里,CE=AE·tan60°=

a海里.在Rt△BCE中,BE=CE,∴100(

+1)-a=

a,∴a=100.∴AC=2a=200海里.在△ACD和△ABC中,∠ACB=180°-45°-60°=75°=∠ADC,∠CAD=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴

=

,即

=

.∴AD=200(

-1)海里.答:A与C间的距离AC为200海里,A与D间的距离AD为200(

-1)海里.

(2)如图,过D作DF⊥AC于F,在Rt△ADF中,∠DAF=60°,∴DF=AD·sin60°=200(

-1)×

=100(3-

)≈127海里>100海里.∴船A沿直线AC航行,前往船C处途中无触礁危险.22.(2014山东青岛,20,8分)如图,小明想测山高和索道的长度.他在B处仰望山顶A,测得仰角∠B

=31°,再往山的方向(水平方向)前进80m至索道口C处,沿索道方向仰望山顶,测得仰角∠ACE=

39°.(1)求这座山的高度(小明的身高忽略不计);(2)求索道AC的长(结果精确到0.1m).参考数据:tan31°≈

,sin31°≈

,tan39°≈

,sin39°≈

.

解析(1)过点A作AD⊥BE于D,设山AD的高度为xm.

在Rt△ABD中,∠ADB=90°,tan31°=

,∴BD=

≈

=

xm.在Rt△ACD中,∠ADC=90°,tan39°=

,∴CD=

≈

=

xm.∵BC=BD-CD,∴

x-

x=80,解这个方程,得x=180.即山的高度为180m.

(6分)(2)在Rt△ACD中,∠ADC=90°,sin39°=

,∴AC=

≈

≈282.9(m).答:索道AC的长约为282.9m.

(8分)23.(2014天津,22,10分)解放桥是天津市的标志性建筑之一,是一座全钢结构的部分可开启的桥

梁.(1)如图①,已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m,从AB的中点C处开启,则AC开启

至A'C'的位置时,A'C'的长为

m;

(2)如图②,某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ,在观景平台M处测得∠PMQ=54°,沿河

岸MQ前行,在观景平台N处测得∠PNQ=73°.已知PQ⊥MQ,MN=40m,求解放桥的全长PQ(tan54°≈1.4,tan73°≈3.3,结果保留整数).解析(1)23.5.(2)如图,根据题意知,∠PMQ=54°,∠PNQ=73°,∠PQM=90°,MN=40.∵在Rt△MPQ中,tan∠PMQ=

,∴PQ=MQ·tan54°.∵在Rt△NPQ中,tan∠PNQ=

,∴PQ=NQ·tan73°,∴MQ·tan54°=NQ·tan73°.又MQ=MN+NQ,∴(40+NQ)tan54°=NQ·tan73°,即NQ=

.∴PQ=NQ·tan73°=

≈

≈97(m).答:解放桥的全长PQ约为97m.24.(2014山西,21,7分)如图,点A,B,C表示某旅游景区三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆

车站的钢缆,已知A,B,C三点在同一铅直平面内,它们的海拔AA',BB',CC'分别为110米,310米,710米,钢缆AB的坡度i1=1∶2,钢缆BC的坡度i2=1∶1,景区因改造缆车线路,需要从A到C直线架设

一条钢缆,那么钢缆AC的长度是多少米?(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)

解析如图,过点A作AE⊥CC'于点E,交BB'于点F,过点B作BD⊥CC'于点D.

(1分)

则△AFB,△BDC和△AEC都是直角三角形,四边形AA'B'F,BB'C'D和BFED都是矩形.

(2分)∴BF=BB'-FB'=BB'-AA'=310-110=200,CD=CC'-DC'=CC'-BB'=710-310=400.

(3分)∵i1=1∶2,i2=1∶1,∴AF=2BF=400,BD=CD=400.又∵FE=BD=400,DE=BF=200,∴AE=AF+FE=800,CE=CD+DE=600.

(5分)∴在Rt△AEC中,AC=

=

=1000(米).(6分)答:钢缆AC的长度为1000米.

(7分)25.(2016天津,22,10分)小明上学途中要经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要

走路线AC,CB.如图,在△ABC中,AB=63m,∠A=45°,∠B=37°,求AC,CB的长.(结果保留小数点后

一位)参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,

取1.414.

解析如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D.

在Rt△ACD中,tanA=

,sinA=

,∠A=45°,∴AD=

=CD,AC=

=

CD.在Rt△BCD中,tanB=

,sinB=

,∠B=37°,∴BD=

,CB=

.∵AD+BD=AB,AB=63,∴CD+

=63.解得CD=

≈

=27.00.∴AC=1.414×27.00=38.178≈38.2,CB≈

=45.0.答:AC的长约等于38.2m,CB的长约等于45.0m.考点一

锐角三角函数三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组1.(2018佛山顺德4月月考,9)如图,边长为1的小正方形网格中,☉O的圆心在格点上,则sin∠EDB

的值是

()

A.

B.

C.

D.

答案

B设圆O与小正方形网格的另一个切点为F,连接BF、BE,

易知∠EDB=∠EFB,∠EFB=45°,∴sin∠EDB=sin∠EFB=

.故选B.2.(2017深圳宝安模拟,5)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则sinB的值是

()A.

B.

C.

D.

答案

D∵∠C=90°,∴sinB=

=

,故选D.3.(2017梅州模拟,9)如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,cosA=

,BE=2,则tan∠DBE的值是

()

A.

B.2

C.

D.

答案

B在Rt△ADE中,∠DEA=90°,cosA=

=

,∴可设AE=3k,AD=5k(k>0),由勾股定理得DE=4k,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD=5k,∴BE=AB-AE=2k,又∵BE=2,∴k=1,∴DE=4,在Rt△BDE中,∠DEB=90°,∴tan∠DBE=

=2.故选B.4.(2017韶关二模,4)在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=

,则∠A的度数是

()A.60°

B.45°

C.30°

D.无法确定答案

C∵∠A为Rt△ABC的内角,且∠C=90°,∴∠A为锐角,∴∠A=30°,故选C.5.(2016深圳十校联考,6)如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下

列用线段比表示cosα的值,错误的是

()

A.

B.

C.

D.

答案

C在Rt△BCD中,cosα=

,在Rt△ABC中,cosα=

,∵∠ACD=∠B=α,∴cosα=

,∴A、B、D正确,故选C.6.(2016陆丰三模,8)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正

切值是

()

A.2

B.

C.

D.

答案

D连接AC,则AC=

=

,AB=

=2

,BC=

=

,∵AC2+AB2=BC2,∴∠CAB=90°,∴tan∠ABC=

=

,故选D.7.(2017中山模拟,12)若锐角α满足2sin(α-15°)=

,则α=

.答案75°解析∵2sin(α-15°)=

,∴sin(α-15°)=

,∵α为锐角,∴α-15°=60°,∴α=75°.8.(2018佛山顺德4月月考,22)如图,在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆,拉线CE和地

面所成的∠CED=60°,在离电线杆6米的B处安置测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为

30°,已知测角仪高AB为1.5米,求拉线CE的长(结果精确到0.1米,参考数据:

≈1.414,

≈1.732).

解析过点A作AH⊥CD,垂足为H,由题意可知四边形ABDH为矩形,∠CAH=30°,∴AB=DH=1.5米,BD=AH=6米.在Rt△ACH中,tan∠CAH=

,∴CH=AH·tan∠CAH=6tan30°=6×

=2

米,

∵DH=1.5米,∴CD=(2

+1.5)米,在Rt△CDE中,∵∠CED=60°,sin∠CED=

,∴CE=

=4+

≈5.7(米).思路分析

过点A作AH⊥CD,垂足为H,构造直角三角形,在Rt△ACH中,利用锐角三角函数求

出CH,在Rt△CDE中,求出CE即可.9.(2018潮阳一模,20)校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载,某

中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的试验:先在公路旁边选取一点C,

再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于24米,在l上点D的同侧取点A、B,

使∠CAD=30°,∠CBD=60°.(1)求AB的长(结果保留根号);(2)已知本路段对校车限速为45千米/时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?

说明理由.(参考数据:

≈1.7,

≈1.4)

解析(1)在Rt△ADC中,AD=

=

=24

(米),在Rt△BDC中,BD=

=8

(米),所以AB=AD-BD=24

-8

=16

(米).(2)校车从A到B用时2秒,所以速度为16

÷2=8

≈13.6(米/秒),因为13.6×3600=48960,所以该车速度为48.96千米/时,大于45千米/时,所以此校车在AB路段超速.10.(2017广东潮州二模,18)计算:sin230°-cos45°·tan60°+

-tan45°.解析原式=

-

×

+

÷

-1=

-

+1-1=

.考点二

解直角三角形1.(2018深圳模拟,3)某测量队在山脚A处测得山上树顶仰角为45°(如图),测量队在山坡上前进600米到D处,再测得树顶的仰角为60°,已知这段山坡的坡角为30°,如果树高为15米,则山高为

(精确到1米,

≈1.732)

()

A.585米

B.1014米

C.805米

D.820米答案

C过点D作DF⊥AC于点F.

在直角△ADF中,AF=AD·cos30°=300

米,DF=

AD=300米.设DE=FC=x米,则AC=(300

+x)米.在直角△BDE中,BE=

DE=

x米,则BC=(300+

x)米,在直角△ACB中,∠BAC=45°,∴△ACB是等腰直角三角形,∴AC=BC,∴300

+x=300+

x,解得x=300.∴BC=AC=300+300

,∴山高是300+300

-15=285+300

≈805米.2.(2017珠海三模,13)某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1∶

,坝外斜坡的坡度i=1∶1,则两个坡角的和为

.答案75°解析设坝内、坝外斜坡的坡角分别为α、β.则tanα=1∶

=

,tanβ=1∶1=1.∴α=30°,β=45°,∴α+β=30°+45°=75°.3.(2016惠州三模,14)如图,在直角△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=

BD,连接AC,若tanB=

,则tan∠CAD的值为

.

答案

解析过点D作AB的平行线交AC于P,∵∠BAD=90°,∴∠ADP=90°,∵tanB=

=

,∴设AD=5a,则AB=3a,∵CD=

BD,∴

=

,∴

=

=

,∴DP=a,∴tan∠CAD=

=

=

.

4.(2018广州广大附中一模,20)如图,小明在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观