2019届新课标高考数学二轮复习专题五立体几何5.2空间中的平行与垂直讲义理

5.2空间中的平行与垂直-2--3--4-命题热点一命题热点二命题热点三线线、线面平行或垂直的判定与性质【思考】

判断或证明线面、线线平行或垂直的常用方法有哪些?例1(2017江苏,15)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.-5-命题热点一命题热点二命题热点三证明:(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.-6-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.解决此类问题要注意线线平行(垂直)、线面平行(垂直)与面面平行(垂直)的相互转化.在解决线线平行、线面平行问题时,若题目中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构成中位线进行证明.2.要证明线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明两线平行.3.要证明线线平行,可考虑公理4或转化为证明线面平行.4.要证明线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.-7-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.-8-命题热点一命题热点二命题热点三又AD∥BC,故TN

AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.-9-命题热点一命题热点二命题热点三(2)解：取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,-10-命题热点一命题热点二命题热点三面面平行或垂直的判定与性质【思考】

判定面面平行或垂直有哪些基本方法?例2(2017全国Ⅰ,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.-11-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解:在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.-12-命题热点一命题热点二命题热点三-13-命题热点一命题热点二命题热点三-14-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.判定面面平行的四个方法:(1)利用定义,即判断两个平面没有公共点;(2)利用面面平行的判定定理;(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面垂直的证明方法:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角.3.从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.-15-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.-16-命题热点一命题热点二命题热点三证明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.-17-命题热点一命题热点二命题热点三(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.-18-命题热点一命题热点二命题热点三平行、垂直关系及体积中的探索性问题【思考】

解决探索性问题的基本方法有哪些?例3在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB.(1)求证:AC⊥平面FBC;(2)求四面体F-BCD的体积;(3)线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?证明你的结论.-19-命题热点一命题热点二命题热点三-20-命题热点一命题热点二命题热点三(3)解：线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA∥平面FDM.证明如下:连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN,如图.因为四边形CDEF为正方形,所以N为CE的中点.所以EA∥MN.因为MN⊂平面FDM,EA⊄平面FDM,所以EA∥平面FDM.所以线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM成立.-21-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.对命题条件的探索的三种途径:(1)先猜想后证明,即先观察与尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.2.对命题结论的探索方法:从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.-22-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中点O在线段DE内.(1)求证:CO⊥平面ABED;(2)求∠CEO(记为θ)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?-23-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明：在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E为CD的中点,则AB=DE.又AB∥DE,AD⊥AB,知BE⊥CD.在四棱锥C-ABED中,BE⊥DE,BE⊥CE,CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE,则BE⊥平面CDE.因为CO⊂平面CDE,所以BE⊥CO.又CO⊥DE,且BE,DE是平面ABED内两条相交直线,故CO⊥平面ABED.-24-命题热点一命题热点二命题热点三-25-规律总结拓展演练1.三种平行关系的转化方向.-26-规律总结拓展演练2.空间直线与平面垂直的相互转化.3.线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用,依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键.证明面面平行主要依据判定定理,证明面面垂直时,关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直,若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决.-27-规律总结拓展演练1.已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(

)A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n答案解析解析关闭对于选项A,∵α∩β=l,∴l⊂α,∵m∥α,∴m与l可能平行,也可能异面,故选项A不正确;对于选项B,D,∵α⊥β,m∥α,n⊥β,∴m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故选项B,D不正确.对于选项C,∵α∩β=l,∴l⊂β.∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.答案解析关闭C-28-规律总结拓展演练2.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是(

)A.l⊂α,m⊂β,且l⊥m B.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m D.l⊂α,l∥m,且m⊥β答案解析解析关闭答案解析关闭-29-规律总结拓展演练3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足

时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).

答案解析解析关闭连接AC,由PA⊥BD,AC⊥BD可得BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案解析关闭DM⊥PC(或BM⊥PC)-30-规律总结拓展演练4.(2017浙江,19)如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,