专题11-指数与指数函数(讲义)(原卷版)-2025年新高考数学一轮考点题型精准复习(新高考专用)

专题11指数与指数函数考点一指数幂的运算考点二指数函数图象的辨析及应用考点三比较指数式大小或解不等式考点四与指数函数相关的最值问题考点五与指数函数相关的单调性问题考点六指数函数的应用一、指数与指数幂的运算1．根式（1）次方根的概念与性质次方根概念一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.性质①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.③0的任何次方根都为0，记作.（2）根式的概念与性质根式概念式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.性质①.②当为奇数时，.③当为偶数时，.2．实数指数幂（1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）实数指数幂对于任意实数，均有下面的运算性质：①；②；③.二、指数函数的图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.【注】指数函数的结构特征：（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1.2．指数函数的图象与性质定义域值域奇偶性非奇非偶函数对称性函数与的图象关于y轴对称过定点过定点，即时，图象单调性在上是减函数在上是增函数函数值的变化情况当时，；当时，当时，；当时，底数对图象的影响指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.考点一 指数幂的运算例1．（2022秋·高三单元测试）化简（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·山东淄博·高三校考期末）下列式子的值为的是（

）A． B． C． D．例3．（2023春·四川绵阳·高三校考开学考试）（多选）下列判断正确的有（

）A． B．（其中）C． D．（其中，）例4．（2021秋·高三课时练习）给出下列4个等式：①；②；③若a∈R，则；④设n∈N*，则，其中正确的个数是（

）A．0 B．1C．2 D．3例5．（2021秋·高三课时练习）当a>0时，等于________．考点二 指数函数图象的辨析及应用例6．（2021秋·江西九江·高一校考阶段练习）当时，在同一坐标系下，函数与的图像可能是（）A． B．C． D．例7．（2022秋·高三单元测试）函数恒过定点（

）A． B． C． D．例8．（2023秋·吉林白城·高三校考期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________.例9．（2021秋·高三课时练习）指数函数与的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．例10．（2022秋·高三单元测试）（多选）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y＝a．关于下列说法正确的是（

）A．浮萍每月的增长率为2B．浮萍每月增加的面积都相等C．第4个月时，浮萍面积不超过80m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2＝t1+t3考点三 比较指数式大小或解不等式例11．（2023春·上海嘉定·高一校考开学考试）不等式的解集为______．例12．（2023秋·四川泸州·高三统考期末）写出使“不等式对一切实数都成立”的的一个取值______．例13．（2022秋·高三单元测试）已知，则（

）A． B． C． D．例14．（2023·全国·模拟预测）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．例15．（2021秋·福建泉州·高三校考期中）（多选）下列结论正确的是（

）A． B．C． D．考点四 与指数函数相关的最值问题例16．（2021秋·高三课时练习）函数的定义域为_______，值域为_______．例17．（2023秋·内蒙古赤峰·高二统考期末）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例18．（2023·浙江宁波·统考二模）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．例19．（2021秋·高三课时练习）函数在区间［-1，1］上的最大值为___________.例20．（2022秋·高三单元测试）（多选）函数的定义域为，值域，则下列结论中一定正确的有（

）A． B．C． D．考点五 与指数函数相关的单调性问题例21．（2022秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）当时，函数的函数值总大于1，则函数在区间________上是严格增函数例22．（2022秋·高三单元测试）如果指数函数是上的减函数，则函数的单调递增区间为____．例23．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数，则（

）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数例24．（2022秋·高三单元测试）函数单调递增区间为（

）A． B． C． D．例25．（2021秋·高三课时练习）若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C．（1，3） D．（2，3）考点六 指数函数的应用例26．（2022·高三单元测试）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在的保鲜时间设计192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是______小时.例27．（2022秋·福建漳州·高三福建省华安县第一中学校考阶段练习）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（

）A． B．C． D．例28．（2022秋·四川广安·高三广安二中校考阶段练习）如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a升水，tmin后剩余的水符合指数衰减曲线，那么桶2中的水就是．假设过5min后，桶1和桶2的水量相等，则再过mmin后桶1中的水只有升，则m的值为_______________．例29．（2022秋·陕西渭南·高三统考期末）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤__________小时．例30．（2023春·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知某品牌手机电池充满电量为毫安，每经过小时，电量消耗，若电池电量不超过毫安时充电最佳，那么该手机至少可以待机小时．（待机小时取整数，参考数据：，）（

）A． B． C． D．一、单选题1．（2021秋·高一课时练习）函数且的图象恒过某定点，则此定点为（

）A． B．C． D．2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江·高三校联考期中）据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近年内减少了，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是（

）A． B．C． D．4．（2022秋·高三课时练习）若函数是指数函数，且，则（

）A． B．C． D．5．（2023春·河南郑州·高三郑州市第二高级中学校考阶段练习）若函数在上有最大值，则实数a的值为（

）A．1 B． C．1或 D．1或6．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·青海西宁·统考二模）已知实数，函数若，则a的值为（

）A． B． C． D．8．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知不等式对任意上恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（2023秋·四川凉山·高三统考期末）函数有两个不同的零点，则（且）的图象可能为（

）A． B． C． D．10．（2022秋·高三单元测试）若方程有两个实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题11．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若,且（，且）在上单调递增，则a的值可能是（

）A． B． C．3 D．12．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）下列结论中，正确的是（

）A．函数是指数函数B．若，则C．函数的值域是D．函数的图像必过定点13．（2022秋·高三单元测试）若函数，则下列等式不成立的是（

）A． B．C． D．14．（2023秋·四川眉山·高三校考期末）下列说法中错误的为（

）A．若函数的定义域为，则函数的定义域为B．若，则C．函数的值域为：D．已知在上是增函数，则实数的取值范围是三、填空题15．（2022秋·高三单元测试）当且时，函数过定点________．16．（2023春·北京顺义·高三牛栏山一中校考阶段练习）函数的定义域为___．17．（2022秋·上海宝山·高三上