帕斯卡定理在解析几何与数列综合题中的活用

2024年高考数学新课标Ⅱ卷压轴题分层设问、环环相扣，其命题背景的主线被一则数学史料所牵引，三个小问都可以通过基本方法大幅度简化计算过程，充分体现了“多想少算”的设计理念，引导中学教学充分重视思维能力、探究能力和解决问题能力的培养.引例：（2024年高考新课标Ⅱ卷末题）已知双曲线C：x2－y2=m（m>0），点P1（5，4）在C上，k为常数，且0<k<1，按照如下公式依次构造点Pn（xn，yn）（n=2，3，…）：过点Pn－1作斜率为k的直线与C的左支点交于点Qn－1，令Pn是Qn－1关于y轴的对称点.（1）若k=12，求x2，y2；（2）证明：数列{xn－yn}是公比为1+k1－k的等比数列；（3）设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积，证明：对于任意正整数n，Sn+1=Sn.审题：点列Pn在双曲线x2－y2=m（m>0）的右支上，点列Qn在该双曲线的左支上，点Pn是点Qn－1（n=2，3，…）关于y轴的对称点意味着线段QnPn+1（n∈N+）的中垂线是y轴.思路：第（1）问是送分的热身题，求出并联立直线方程与双曲线方程，关键在于解方程组.第（2）问表面看起来比较棘手，自然思路是用点Pn－1与斜率k得到直线Pn－1Qn－1方程，与双曲线方程联立，由韦达定理得到xn－xn－1表达式；其实，也可从结果入手，要证{xn－yn}是公比为1+k1－k的等比数列，即证xn－yn=1－k1+k（xn－1－yn－1），于是求出xn－1，yn－1的表达式，然后代入计算xn－yn.第（3）问，如下列两图所示，要证明Sn+1=Sn即两个等底PnPn+1的△Pn+1Pn+2Pn+3和△PnPn+1Pn+2的面积相等，只要证明Pn+1Pn+2//PnPn+3.解析：（1）代入得m=52－42=9，故C的方程为x2－y2=9.直线P1Q1的方程为y－4=12（x－5），即为y=12（x+3）.联立x2－y2=9，y=12（x+3），消去y得x2－2x－15=0，解得x=－3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1－3，0，根据轴对称性得P23，0，从而x2=3，y2=0.（2）解法一：Qn－1与Pn与关于y轴的对称，Qn－1（－xn，yn）.设直线Pn－1Qn－1的方程为y－yn－1=k（x－xn－1）即y=kx+yn－1－kxn－1，由x2－y2=9，y=kx+yn－1－kxn－1，消去y代入得x2－（kx+yn－1－kxn－1）2=9，整理得：（1－k2）x2－2k（yn－1－kxn－1）x－（yn－1－kxn－1）2－9=0，由韦达定理得－xn+xn－1=2k（yn－1－kxn－1）1－k2，所以xn=2kyn－1－（k2+1）xn－1k2－1.又因为Qn－1（－xn，yn）在直线Pn－1Qn－1上，所以yn=－kxn+yn－1－kxn－1，所以xn－yn=（1+k）xn－yn－1+kxn－1=2kyn－1－（k2+1）xn－1k－1－yn－1+kxn－1=1+k1－k（xn－1－yn－1）.其中，由x21－y21=9知x1－y1≠0，所以数列xn－yn是公比为1+k1－k的等比数列.解法二：由于Qn－1与Pn与关于y轴的对称，则Qn－1（－xn，yn）.设直线Pn－1Qn－1的方程为y－yn－1=k（x－xn－1），又因为Qn－1（－xn，yn）在直线Pn－1Qn－1上，则yn－yn－1=k（－xn－xn－1）①由x2n－y2n=9，x2n－1－y2n－1=9，两式相减得（xn－xn－1）（xn+xn－1）=（yn－yn－1）（yn+yn－1）②将①代入②得xn－xn－1=－k（yn+yn－1）③③-①得（xn－yn）－（xn－1－yn－1）=k（xn－yn）+k（xn－1－yn－1），则xn－ynxn－1－yn－1=1+k1－k.其中由x21－y21=9知x1－y1≠0，所以数列xn－yn是公比为1+k1－k的等比数列.（3）要证Sn+1=Sn即证SΔPnPn+1Pn+2=SΔPn+1Pn+2Pn+3，由于ΔPnPn+1Pn+2与ΔPn+1Pn+2Pn+3的底边Pn+1Pn+2相同，所以只需证明Pn+1Pn+2//PnPn+3，即只要证明yn+2－yn+1xn+2－xn+1=yn+3－ynxn+3－xn（*）设1+k1－k=t，则xn－yn=tn－1，又因为x2n－y2n=9，所以xn+yn=9t1－n，所以xn=9t1－n+tn－12，yn=9t1－n－tn－12；xn+1=9t－n+tn2，yn+1=9t－n－tn2；xn+2=9t－1－n－tn+12，yn+2=9t－1－n－tn+12；xn+3=9t－2－n+tn+22，yn+3=9t－n－2－tn+22.故yn+2－yn+1xn+2－xn+1=（9t－1－n－tn+1）－（9t－n－tn）（9t－1－n+tn+1）－（9t－n+tn）=9+t2n+19－t2n+1，yn+3－ynxn+3－xn=（9t－2－n－tn+2）－（9t1－n－tn－1）（9t－2－n+tn+2）－（9t1－n+tn－1）=9+t2n+19－t2n+1，故（*）成立，原问题得证.反思：解答本题各小题的一条主线是求出并运用点Pn的坐标表达式，并且恰当运用几何知识来简化运算，体现了数形结合的思想，侧重考察学生关于数学抽象、直观想象、数学运算等基本数学核心素养.探源：在双曲线x2－y2=9的内接凹六边形PnQnPn+1Pn+2Qn+2Pn+3中，已知PnQn//Pn+2Qn+2且Pn+1Qn//Qn+2Pn+3，已证Pn+1Pn+2//PnPn+3.这种命题背景可以探源到帕斯卡定理的特例——17世纪著名的数学家、哲学家帕斯卡在17岁发表的关于射影几何的一个基本定理被人们称为帕斯卡定理：“如果圆锥曲线的内接六边形的三对对边所在的直线分别相交，那么这三个交点共线.”特殊地，我们把互相平行的直线想象为它们相交于无穷远点，而所有无穷远点都在无穷远线上，于是，若圆锥曲线内接六边形的两组对边互相平行，则第三组对边也互相平行.不难发现，很多高考题目都是有明显的数学史背景的.假如把此题的双曲线更换为另外的任何一条圆锥曲线，都可以改编出灵巧的新题.如图，已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）.证明：动点D在定直线上.命题揭秘：构想抛物线C：x2=4y的内接凸六边形A1A2PB1B2O的点P是与y轴正方向同向的无穷远点，当两点A1A2无限趋近直到重合于A点，两点B1B2无限趋近直到重合于B点时，可理解两条直线AP、BP都平行于y轴．如右图所示，再设两直线A1A2、B1B2交于点E、两直线A1P、B2O交于点F，则运用帕斯卡定理和极限思想推测知三点D、E、F共线．由极限思想和极线观点推知，动点E的轨迹是点M的极线y=－2，则动点D也在这条定直线上．补注：①借用极限思想可以理解，平行线“相交”于“无穷远点”，“无穷远点”在任何直线上．②解答这道题相当顺畅，但编拟这道题却不轻松，这说明许多时候提出问题比解决问题困难．大家可以揭秘2020全国Ⅰ卷文21理20的编写历程：已知A，B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a