高中数学等比数列

PAGE|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页等比数列等比数列高考要求高考要求要求层次重难点等比数列等比数列的概念B等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用灵活应用求和公式解决问题等差比数列的通项公式与前项和公式C例题精讲例题精讲板块一：等比数列板块一：等比数列通项知识内容等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母表示．等比数列的通项公式为：．等比中项：如果三个数组成等比数列，那么叫做和的等比中项，即．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．<教师备案>1．等比数列通项公式的推导：由等比数列的定义知：将这个式子的等号两边分别相乘得：，即．由等比数列的通项公式易知：．等比数列的性质（其中公比为）：⑴，；⑵若，则有；若，则有；⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，，，为等比数列，公比为．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键．（二）典例分析：1.等比数列定义⑴在等比数列中,，，则（）A．B．C．D．⑵在等比数列中，若是方程的两根，则的值是_____.⑶在等比数列中，公比，且，则等于（）A．B．C．D．已知等比数列中，，，则该数列的通项___________．一个数加上，，后得到的三数成等比数列，其公比为．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是，第二个数与第三个数的和是，求这四个数．2.等比数列性质已知是等比数列，，则()A．B．C．D．或判断设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则．等比数列的各项均为正数，且，则()A．12 B．10 C．8 D．等比数列的公比为，则的值为．已知等比数列满足，且.⑴求数列的通项；⑵如果至少存在一个自然数，恰使，，这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则．3.证明等比数列<教师备案>数列的递推公式在必修5中为选学内容，目的是使学生了解数列的递推公式是给出数列的一种方法，也是研究数列的一个途径，本板块与等比数列定义结合，根据数列递推公式，重点讲解用待定系数法求数列的通项公式，也可称为换元法．主要有几种出题形式：1．2．3．已知数列的前项和为，⑴求，；⑵求证：数列是等比数列．已知数列满足，，求其通项公式．在数列中，，当时，有，求．解法一利用待定系数法确定常数，从而构造新的等比数列，进而求通项公式；解法二仿照所给关系式，两式相减构造新的数列（等差或等比）已知数列满足，，求当成等比数列时，由于是等比数列，且是常数，故一定可像一样分解：设，则，，且成等比数列．已知，，求．数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．⑴求的值；⑵求的通项公式．在数列中，，，．⑴证明数列是等比数列；⑵求数列的前项和．，当数列成等差数列时．⑴若，则，这实质上成为“泛等差”数列，因此用“迭加法”即可解决，即，上一讲已有此类题目，若与等比结合，例如：已知数列满足，，求．解：∵，∴，，…，，迭加法：时，有而也适合上式∴的通项公式为⑵那么且时，是等差数列，故也可以像一样分解：则，，且成等比数列．也可举更一般的例题：已知，，求．解：设∴故恒成立，故∴，，故成等比数列．已知数列的前项和为数列的前项和满足⑴求数列的通项公式；⑵将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列，求数列的通项公式．设为常数，且．⑴证明对任意，；⑵假设对任意有，求的取值范围．板块二：数列板块二：数列的前项和（一）知识内容<教师备案>错位相减求和法：非零的等差数列、等比数列构造数列，此数列称为差比数列，求它的前项和可用错位相减法．等比数列的项和也构成一个等比数列，即，为等比数列，公比为．通项公式：；前项和公式：．等比数列前项和公式的推导：法一：由等比数列的定义知，将这个等式的两边分别相加得：，即，整理得，当时，，显然此式对也成立；当时，．法二：，将上式两边同乘以得：，两式相减得：，以下讨论同法一．法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．（二）典例分析：1.等比数列求和公式在等比数列中，，，则它的公比_______，前项和_______．等差数列的前项和为，且，则．设等比数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则．等比数列的首项，前项和为，公比，若＝，则等于．等比数列中，，公比，用表示它前项的积：，则，，…，中最大的是_______．已知数列的前项和为，．⑴求，，的值；⑵求的通项公式及．在等比数列中，，试求：⑴和公比；⑵前6项的和.⑴在等比数列中，已知对任意正整数，有，则________．⑵求和：．⑶(2008-2009学年度山东省费县必修5考试数学试卷)在等比数列中，，．若数列的公比大于，且，求数列的前项和．板块三：等比数列综合板块三：等比数列综合在各项均为正数的等比数列中，若，则……等于（ ）A．B．C．D．⑴等比数列中，已知对任意自然数，，则()A．B．C．D．⑵若，求的值.⑵求和：．⑶在等比数列中，，．若数列的公比大于，且，求数列的前项和．在等比数列的前项中，最小，且，前项和，求和公比．设等比数列前项和为，若，求数列的公比．的相邻两项是方程的两根，且，求数列的前项和.已知数列：，，，…，，求它的前项和．已知：数列满足.⑴求数列的通项；⑵设求数列的前项和已知数列的通项公式为，求其前项和公式．求数列，，，…，，…，（为常数）的前项的和．已知等差数列，公差为，求设为等比数列，，已知，．⑴求数列的首项和公比;⑵求数列的通项公式．已知，数列是首项为，公比为的等比数列，令，⑴当时，求数列的前项和；⑵若数列中的每一项总小于它后面的项时，求的取值范围．本题的⑵属于数列与不等式的结合问题，涉及到分式不等式的解法以及参数的讨论问题，注意与指数函数和对数函数相结合．已知函数是一次函数，且，，，成等比数列，设，．⑴求；⑵设，求数列的前项和．设等比数列的公比为，前项和．⑴求的取值范围；⑵设，记的前项和为，试比较与的大小．设是由正数组成的等比数列，是前项和，证明设是由正数组成的等比数列，是前项和．⑴证明：；⑵是否存在常数使得成立？并证明你的结论．板块四：板块四：等比数列知识的应用<教师备案>1．复利．复利是指把上期的利息也加入本期的本金计算利息，叫做复利．2．复利公式．设有一笔资金的本金为元，每期的利率为，若按复利计算，则本利和可按期数排成下面的数列．因此本利和是个等比数列，则元本金在利率下，经期后，按复利计算的本利和公式为习惯上常将复利计算本利和时的利率叫做复利率．用分期付款方式购买家用电器一件，价格为元，购买当天先付元，以后每月这一天都交付元，并加付欠款的利息，月利率为％，若交付元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？从盛满升纯酒精的溶液里倒出升，然后填满水，再倒出升混合溶液后又用水填满．如此继续下去，那么第次操作后溶液的浓度是多少?某企业年初有资金万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为%，但每年年底都要扣除消费基金万元，余下基金投入再生产，为实现经过年资金达到万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？小芳同学若将每月省下的零花钱元在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为%，每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？(05上海卷．理12)用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，。例如：用、可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是，所以，，那么，在用形成的数阵中，=________。我们在下面的表格内填写数值：先将第行的所有空格填上；再把一个首项为，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．第列第列第列…第列第行…第行第行……第行⑴设第行的数依次为，