高考数学总复习《正余弦定理及其应用》专项测试卷（含答案）

第第页高考数学总复习《正余弦定理及其应用》专项测试卷（含答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1、（2023年全国乙卷数学（文））在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．2、（2023年全国甲卷数学（理））在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________．3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在中，已知，，，则（）A．1 B． C． D．34、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．5、（2023年全国甲卷数学（文））在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.6、（2023年全国甲卷数学（文））记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．7、（2023年新高考天津卷）在中，角所对的边分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．10、【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinC(1)若A=2B，求C；(2)证明：211、【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinC(1)证明：2a(2)若a=5,cosA=2512、【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3，求(2)求a2题组一、运用正、余弦定理解决边角及面积问题1-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（

）A． B． C． D．1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(1)求;(2)若,求外接圆的半径R．1-3、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且满足．(1)求角B的大小；(2)若，设的面积为S，满足，求b的值．1-4、（2023·江苏南京·校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=.（1）若a=，c=，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，，a=2，求的面积.题组二、运用余弦定理研究范围问题2-1、（2023·江苏南通·统考一模）在中，的对边分别为.(1)若，求的值；(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.2-2、（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且.(1)求B；(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.2-3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知在中，边,,所对的角分别为，，，.(1)证明：,,成等比数列；(2)求角的最大值.题组三、正余弦定理与其它知识点的结合3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（）A． B． C． D．3-2、（2022·山东师范大学附中高三模拟）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．不确定3-3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）（多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）A．，，依次成等差数列B．，，依次成等差数列C．，，依次成等差数列D．，，依次成等差数列3-4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若，D为BC边的中点，，求a的值.3-5、（2023·安徽黄山·统考三模）记的内角的对边分别为，已知，.(1)求角的大小和边的取值范围；(2)如图，若是的外心，求的最大值.1、【2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测】在中，内角、、所对的边分别为、、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（）A充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件2、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】(多选题)在中，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则定为等腰三角形或直角三角形C.在等边中，边长为2，则D.若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角3、（2023·安徽淮北·统考一模）设内角，，的对边分别为，，，已知，．(1)求角的大小(2)若，求的面积．4、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求；(2)设，当的值最大时，求△ABC的面积．5、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数，其中，且函数的两个相邻零点间的距离为，(1)求的值及函数的对称轴方程；(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．6、（2023·山西临汾·统考一模）记的内角的对边分别为，已知.(1)证明：；(2)若，求的面积.7、（2023·安徽宿州·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)求的取值范围.8、（2022·湖南郴州·高三期末）在中，若边对应的角分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的长度．9、（2022·山东济南·高三期末）在.中，角，，的对边分别为，，，已知，.（1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.参考答案1、（2023年全国乙卷数学（文））在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.2、（2023年全国甲卷数学（理））在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________．【答案】【详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在中，已知，，，则（）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．【答案】【解析】文由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.5、（2023年全国甲卷数学（文））在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.【详解】（1）由余弦定理可得：，则，，.（2）由三角形面积公式可得，则.6、（2023年全国甲卷数学（文））记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．【详解】（1）因为，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．7、（2023年新高考天津卷）在中，角所对的边分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，，故．8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【详解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以.方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以.（2）方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.10、【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinC(1)若A=2B，求C；(2)证明：2【解析】(1)由A=2B，sinCsinA−B=sinBsinC−A可得，sinCsinB=sinBsinC−A，而0<B<π2(2)由sinCsinCaccos122a2=b2+c2，故原等式成立．

11、【2022年全国乙卷】记(1)证明：2a(2)若a=5,cosA=25【解析】(1)证明：因为sinC所以sinC所以ac⋅a即a2所以2a(2)：因为a=5,cos由（1）得b2由余弦定理可得a2则50−50所以bc=31故b+c2所以b+c=9，所以△ABC的周长为a+b+c=14.

12、【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3，求(2)求a2【解析】(1)因为cosA1+sin而0<B<π2，所以(2)由（1）知，sinB=−cosC>0而sinB=−所以C=π2+B所以a=2当且仅当cos2B=22时取等号，所以题组一、运用正、余弦定理解决边角及面积问题1-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，结合的范围即能得到答案【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，因为，所以或，故选：BD.1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(1)求;(2)若,求外接圆的半径R．【答案】(1)；(2)【分析】(1)将写为代入化简可得,根据,即可得;(2)由正、余弦定理可将化简为,进一步化简可得,结合,再根据正弦定理即可得外接圆半径.【详解】（1）解:因为,所以,所以,因为,所以,所以,又,所以;（2）因为,所以在中,由正、余弦定理得:,所以,故,由正弦定理得,所以外接圆半径为1-3、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且满足．(1)求角B的大小；(2)若，设的面积为S，满足，求b的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）切化弦后由正弦定理化边为角，并利用两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得角大小；（2）由三角形面积公式得，再由正弦定理可求得．【详解】（1）由，得，根据正弦定理，得．因为，所以，所以．因为，所以，所以，则．（2）由，得．又由正弦定理得，所以，解得1-4、（2023·江苏南京·校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=.（1）若a=，c=，求b的值；（2）若角A的平分线交BC于点D，，a=2，求的面积.【答案】（1）b=4；（2）【分析】（1）由求出，再根据余弦定理可求出；（2）根据得到，根据角平分线定理得到，根据余弦定理求出，根据三角形面积公式求出，从而可得.【详解】（1）因为tanA=，且，所以，所以cosA=，由余弦定理得，所以，所以，解得b=4或b=﹣1(舍)，（2）因为，所以，所以，所以，因为∠CAD=∠BAD，所以，即，又因为a=2，由余弦定理得，解得，所以，所以.题组二、运用余弦定理研究范围问题2-1、（2023·江苏南通·统考一模）在中，的对边分别为.(1)若，求的值；(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得结果；（2）设，把表示成两个三角形的面积和，表示出，再求其取值范围；【详解】（1）已知，由正弦定理可得，，，，，即，.（2）由（1）知，由，则.设，，，，.2-2、（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且.(1)求B；(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】(1)利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；(2)根据余弦定理和面积公式即可求解.【详解】（1）方法一：，所以，所以.方法二：在中，由正弦定理得：，所以，所以.因为，所以，所以，因为.（2）方法一:，当且仅当时取，，.方法二:在中，由余弦定理得：当且仅当取“=”）所以,所以的面积..2-3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知在中，边,,所对的角分别为，，，.(1)证明：,,成等比数列；(2)求角的最大值.【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)结合内角和关系，通过三角恒等变换化简条件等式可得，再利用正弦定理化角为边即可证明；(2)根据余弦定理和基本不等式可求的最小值，由此可得角的最大值.【详解】（1）通分化简可得，，即，即，整理得，由正弦定理可得，所以a､b､c成等比数列；（2）由（1）可得，又，所以，当且仅当即为正三角形时等号成立，所以的最大角为.题组三、正余弦定理与其它知识点的结合3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，则有又在中，，为的重心，则为等边三角形.则解之得，则外接圆的半径为故选：C3-2、（2022·山东师范大学附中高三模拟）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆上，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．不确定【答案】C【解析】由题设知：是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，所以，而，，故.故选：C3-3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）（多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（）A．，，依次成等差数列B．，，依次成等差数列C．，，依次成等差数列D．，，依次成等差数列【答案】ABD【解析】中，内角所对的边分别为，若，，依次成等差数列，

则：，

利用，

整理得：，

利用正弦和余弦定理得：，

整理得：，

即：依次成等差数列.此时对等差数列的每一项取相同的运算得到数列，，或，，或，，，这些数列一般都不可能是等差数列，除非，但题目没有说是等边三角形，

故选：ABD.3-4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若，D为BC边的中点，，求a的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由两角和的正弦公式化简求解，（2）由平面向量数量积的运算律与余弦定理求解，【详解】（1）由题意得，所以，所以.因为，所以.因为，所以.（2）由，可得.因为，，，所以，解得.因为，所以.3-5、（2023·安徽黄山·统考三模）记的内角的对边分别为，已知，.(1)求角的大小和边的取值范围；(2)如图，若是的外心，求的最大值.【详解】（1）在中，由结合正弦定理可得：，因为，则，化简得，即，又因为，则，所以，解得，由正弦定理，化简得，因为，所以，所以.（2）解法1：由正弦定理得，且，因为，当点O不在外部时（如图），；当点O在外部时（如图），，；由（1）可知，即当时，则的最大值为.解法2：由题可知：，如图，分别取线段的中点，由于O是的外心，则，则，所以，由余弦定理得，即，整理得，所以，由（1）可知，即当时，则的最大值为.1、【2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测】在中，内角、、所对的边分别为、、，则“”是“是以、为底角的等腰三角形”的（）A充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理化简等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.【详解】，，即，整理得，或，则是以、为底角的等腰三角形或以为直角的直角三角形.因此，“”是“是以、为底角的等腰三角形”的必要不充分条件.故选：B.2、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】(多选题)在中，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则定为等腰三角形或直角三角形C.在等边中，边长为2，则D.若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角【答案】ABD【解析】【分析】A，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论；C，根据向量的数量积及夹角可得结论；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角．【详解】解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得，故A选项正确；对于B选项，由于，由于，是三角形的内角，所以或，即或，因此可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确；对于C选项，在等边中，边长为2，则,故C选项不正确；对于D选项，的三边之比为，设三边长依次为，，，其中；则最大角是，由余弦定理知，，，．故D选项正确．故选：ABD．3、（2023·安徽淮北·统考一模）设内角，，的对边分别为，，，已知，．(1)求角的大小(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理求出，即可得到，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，即，则，又，所以．（2）解：因为，，，由，得，即，又，所以，则，所以，所以4、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求；(2)设，当的值最大时，求△ABC的面积．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和和三角函数公式化简等式，即可得出.（2）根据正弦定理将转化为关于的三角函数式，利用三角变换和正弦函数的性质可求其最值，从而求出，即可求出△ABC的面积【详解】（1）由题意在△ABC中，，，由正弦定理得，∴，整理得到，而为三角形内角，故，故，而，故即.（2）由题意及（1）得在△ABC中，，，故外接圆直径，故，，其中，且，因为，故，而，故的最大值为1，此时，故，，故，且故，此时.5、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数，其中，且函数的两个相邻零点间的距离为，(1)求的值及函数的对称轴方程；(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若