高考数学总复习《导数的综合运用 》专项测试卷（含答案）

第第页高考数学总复习《导数的综合运用》专项测试卷（含答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex2、【2021年新高考2卷】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．3、（2023年新课标全国Ⅰ卷）1．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．4、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．5、（2023年全国乙卷数学（理））8．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.6、【2022年全国甲卷】已知函数fx(1)若fx≥0，求(2)证明：若fx有两个零点x1,7、【2022年全国乙卷】已知函数f(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)若fx在区间−1,0,0,+题组一、函数的零点、极值点的综合性问题1-1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）设函数fx=xlnA．不等式gx>0的解集为B．函数在0,e单调递增，在e,+C．当x∈1e,1D．若函数Fx=f1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知函数．(1)求函数在区间上的最大值；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．1-3、（2022·河北深州市中学高三期末）已知函数．(1)证明：函数在上存在唯一的零点；(2)若函数在区间上的最小值为1，求a的值．题组二、利用导数研究不等式及证明问题2-1、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数.(1)若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围；(2)设的导函数为，若满足，证明：.2-2、（2023·江苏南通·统考一模）已知函数和有相同的最大值.(1)求实数；(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.2-3、（2023·江苏南通·统考模拟预测）设函数，.(1)若函数图象恰与函数图象相切，求实数的值；(2)若函数有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率.2-4、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．题组三、利用导数研究含参问题3-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数（为自然对数的底数）.(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.3-2、（2023·江苏南京·校考一模）已知函数(其中为自然对数的底数).（1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.3-3、（2023·云南曲靖·统考一模）已知函数的图像与直线l：相切于点．(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；(2)求c与a的函数关系；(3)当a为函数g（a）的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数k的最值．1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）设函数.(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；(2)若存在两个极值点，且对任意恒成立，求实数的取值范围.2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知．(1)求证：当x>0时，(2)若不等式，（其中）恒成立时，实数m的取值范围为（-∞，t]，求证：．3、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知函数的两个不同极值点分别为，（）.(1)求实数的取值范围；(2)证明：（为自然对数的底数）.4、（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）已知函数．(1)若函数在处的切线斜率为，求实数的值；(2)若函数有且仅有三个不同的零点，分别设为（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．参考答案1、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex【答案】1【解析】解：f'因为x1,x所以函数fx在−∞,x1所以当x∈−∞,x1∪x若a>1时，当x<0时，2lna⋅a故a>1不符合题意，若0<a<1时，则方程2lna⋅a即方程lna⋅ax即函数y=lna⋅a∵0<a<1,∴函数y=a又∵lna<0,∴y=lna⋅ax的图象由指数函数设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x则切线的斜率为g'故切线方程为y−ln则有−lna⋅a则切线的斜率为ln2因为函数y=lna⋅a所以eln2a<又0<a<1，所以1e综上所述，a的范围为1e2、【2021年新高考2卷】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：3、（2023年新课标全国Ⅰ卷）1．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.4、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）【详解】（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为5、（2023年全国乙卷数学（理））8．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析.(3).【详解】（1）当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.（2）由函数的解析式可得，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满足题意，故.即存在满足题意.（3）由函数的解析式可得，由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;令，则，令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，当时，，在区间上单调递减，此时，在区间上无零点，不合题意;当，时，由于，所以在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，所以在区间上无零点，不符合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，令，则，函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立，则，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故，即(取等条件为)，所以，，且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.当时，，单调减，当时，，单调递增，所以.令，则，则单调递减，注意到，故当时，，从而有，所以，令得，所以，所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数得取值范围是.6、【2022年全国甲卷】已知函数fx(1)若fx≥0，求(2)证明：若fx有两个零点x1,【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞f'(x)=(令f(x)=0,得x=1当x∈(0,1),f当x∈(1,+∞),f若f(x)≥0,则e+1−a≥0,即所以a的取值范围为(−(2)由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设x要证x1x因为x1,因为f(x1即证e即证e下面证明x>1时，e设g(x)=e则g=(1−设φ(x)=所以φ(x)>φ(1)=e,而所以exx所以g(x)在(1,+∞即g(x)>g(1)=0,所以e令ℎ(x)=ℎ所以ℎ(x)在(1,+∞即ℎ(x)<ℎ(1)=0,所以lnx−综上,exx−x7、【2022年全国乙卷】已知函数f(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)若fx在区间−1,0,0,+【解析】(1)f(x)的定义域为(−1,+当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xex所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x(2)f(x)=设g(x)=1°若a>0,当x∈(−1,0),g(x)=e所以f(x)在(−1,0)上单调递增,f(x)<f(0)=0故f(x)在(−1,0)上没有零点,不合题意2°若−1⩽a⩽0,当x∈(0,+∞所以g(x)在(0,+∞)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a⩾0所以f(x)在(0,+∞)故f(x)在(0,+∞3°若(1)当x∈(0,+∞),则g'(x)=ex所以存在m∈(0,1),使得g(m)=0,即f当x∈(0,m),f当x∈(m,+∞所以当x∈(0,m),f(x)<f(0)=0当x→+所以f(x)在(m,+∞又(0,m)没有零点,即f(x)在(0,+∞(2)当x∈(−1,0),g(x)=设ℎ(x)=所以g'(x)在(−1,0)所以存在n∈(−1,0),使得g当x∈(−1,n),g当x∈(n,0),g'又g(−1)=所以存在t∈(−1,n),使得g(t)=0,即f当x∈(−1,t),f(x)单调递增,当x∈(t,0),f(x)单调递减有x→−1,f(x)→−而f(0)=0,所以当x∈(t,0),f(x)>0所以f(x)在(−1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点即f(x)在(−1,0)上有唯一零点所以a<−1,符合题意所以若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a题组一、函数的零点、极值点的综合性问题1-1、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）设函数fx=xlnA．不等式gx>0的解集为B．函数在0,e单调递增，在e,+C．当x∈1e,1D．若函数Fx=f【答案】ACD【解析】由题意得f'(x)=对于A：由g(x)=lnx+1x>0，可得lnx>−1对于B：g'(x)=1x⋅x−(所以当时，g'(x)>0，函数为增函数，当x∈(1,+∞)时，g'对于C：当x∈1e,1时，若f所以xlnx−ln令ℎ(x)=x则ℎ'ℎ″当x∈1e,1时，ℎ又ℎ'(1)=0+1−1=0，所以ℎ'所以ℎ(x)=x又ℎ(x)max=ℎ1e所以当x∈1e,1对于D：若函数Fx则F'(x)=lnx+1−2ax=0有两个根，即令m(x)=lnx+1x所以当时，m'(x)>0，函数m(x)当x∈(1,+∞)时，m'又当时，m(x)→−∞，当时，m(x)→0，m(1)=1，所以2a∈(0,1)，解得a∈0,故选：ACD1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知函数．(1)求函数在区间上的最大值；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最大值；（2）由可得出，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：当时，，则，所以，函数在上单调递增，所以，.（2）解：函数的定义域为，由可得，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，且，当时，，则，所以，函数在上单调递增，当时，，则，所以，函数在上单调递减，所以，，令，其中，则，则函数在上为增函数，因为，，则存在，使得，当时，；当时，.由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故实数的取值范围是.1-3、（2022·河北深州市中学高三期末）已知函数．(1)证明：函数在上存在唯一的零点；(2)若函数在区间上的最小值为1，求a的值．【解析】(1)证明：∵，∴．∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴函数在上单调递增．又，令，，则在上单调递减，，故．令，则，所以函数在上存在唯一的零点．(2)解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）．函数在上单调递增，∴当时，，单调递减；当时，，单调通增；∴，由（*）式得．∴，显然是方程的解，又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求实数的值为题组二、利用导数研究不等式及证明问题2-1、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数.(1)若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围；(2)设的导函数为，若满足，证明：.【答案】(1)；(2)见解析【分析】(1)由题意可得在上恒成立，令，求导，分、讨论在上恒成立即可；(2)由可得，由（1）知，即有，①，令，求导得当时，，即有，于是得以，代入①式中化简即可得证.【详解】（1）解：当时，，，因为在上是单调递增函数，所以在上恒成立，令，则，当时，，令，，所以在上递增，即，所以在上恒成立，符合题意；当时，，，且在为单调递增函数，所以存在唯一使得，所以当时，，在递减，即，，不符合题意；综上所述；（2）证明：，当时，由（1）可知是增函数，所以，设，，移项得，由（1）知，即，所以，即，①设，，所以当时，，即，所以，即，所以，代入①式中得到，即，所以，命题得证.2-2、（2023·江苏南通·统考一模）已知函数和有相同的最大值.(1)求实数；(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：.【答案】(1)；(2)见解析【分析】(1)利用导函数分别讨论两个函数的单调性和最值即可求解；(2)构造函数和，利用导数和单调性讨论函数的零点，结合函数分类讨论对应方程根的个数和分布证明.【详解】（1），令.有最大值，且在上单调递增上单调递减，.时，，当时，单调递增；当时，单调递减，.（2）由，由，令,当时，，当时，，所以在上单调递增；上单调递减，至多两个零点，令，当时，，当时，，所以在上单调递增；上单调递减；至多两个零点.令，当时，，所以；当时，由，设，，所以当时，，所以在单调递增，所以，所以，且，所以，设当时，，当时，，所以在上单调递减，方程无解，当时，由在上单调递增，方程有唯一解，当时，注意到，设，对恒成立，所以，所以当时，，即，因为，所以，，所以，所以，在和上各有一个零点，示意图如下注意到，令，，即函数在上单调递减，因此，即有，在和上各有一个零点.且由，而，而在上单调递增，由，由，而而在上单调递减，由，于是得，，证毕2-3、（2023·江苏南通·统考模拟预测）设函数，.(1)若函数图象恰与函数图象相切，求实数的值；(2)若函数有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率.【答案】(1)1；(2)证明见解析【分析】（1）设切点为，结合导数的几何意义求解即可；（2）由有两个极值点，可得有两个不等的正根，且，可得，要证：，即证.令证，进而构造函数，再利用导数求解即可；【详解】（1）设与切于，由，则，所以，则，即，令，则，所以在上单调递增，又，所以，所以.（2）解法一：由，所以，因为有两个极值点，，即有两个不等的正根，且，，要证：，即证.不妨设，即证：，即证：，令证令，在上，证毕!解法二：因为，所以，令，则，因为函数有两个极值点，所以，解得.所以，所以的斜率.令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，.不妨设，令，则，所以，即，证毕!2-4、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．【答案】(1)的减区间为，增区间为；(2)；(3)见解析【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【详解】（1）当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，

所以在上为减函数，所以.综上，.（3）取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.题组三、利用导数研究含参问题3-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数（为自然对数的底数）.(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先判断在上单调递增，再利用单调性解不等式得解；（2）等价于对恒成立，令，利用二次求导对分类讨论求函数的最大值得解.【详解】（1）解：，由复合函数的单调性原理得在上单调递增，由得，即.（2）解：对恒成立令，，，在上单调递减，，若，即时，在上恒成立，则在上单调递减，符合题意.若，即时，（i）若，则，在上单调递增，这与题设矛盾，舍去.（ii）若，则存在使，且当时，单调递增，此时这与题设也矛盾，舍去.综上：实数的取值范围为3-2、（2023·江苏南京·校考一模）已知函数(其中为自然对数的底数).（1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可；（2）求出，，，得到，得到，再根据得到结论成立即可确定的取值范围．【详解】解：（1）证明：时，，，设，则，令，解得：，故在区间上单调递减，在上单调递增，故的最小值是，即对任意恒成立，故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）先证对任意，，，令，，令，解得：，故在区间递增，在递减，故，故，令，，，令，解得：，故在区间递减，在区间递增，故，故，递增，故，故，，，对于任意，恒成立，，故，当时，，即对于任意的，恒成立，综上：的取值范围是.3-3、（2023·云南曲靖·统考一模）已知函数的图像与直线l：相切于点．(1)求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；(2)求c与a的函数关系；(3)当a为函数g（a）的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数k的最值．【答案】(1)；(2)；(3)最大值为3，最小值为．【分析】（1）利用导数求切线方程，进而求出截距；（2）先求出函数在x＝1处的切线方程，对照系数消去b即可得到；（3）把题意转化为对，不等式恒成立．对x分类讨论：①x＝0直接判断；②时，利用分离参数法得到恒成立．设，求得．利用导数求出；③当时，与②同，求出的范围．【详解】（1），，，．函数的图像在点处的切线方程是：.令y＝0得，所以该切线在x轴上的截距等于．（2），，函数的图像在x＝1处的切线方程是：，即，两端乘以b变作：①．又已知函数的图像在点处的切线方程是：②．直线①与直线②重合，则③，④，联立③④消去b得，所以c与a的函数关系为：．（3）函数的零点为a＝1，a＝1时．对，恒成立，转化为对，不等式恒成立．①当x＝0时，对恒成立，此时．②当0＜x≤2时，恒成立．设，求得．0＜x≤2时，由得，由得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以当时，取得极小值，，此时．③当时，恒成立．与②同，设，．令，则，在上单调递增．所以，时，得，在上单调递减．所以，时，取得最大值，此时．整合①②③三种情形，得，且等号都取得到．所以，实数k的最大值为3，最小值为1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）设函数.(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；(2)若存在两个极值点，且对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）求出，令，求解可得答案；（2）令得，，当由可得，令，求导利用单调性可得答案；当根据，令可得求解可得答案.【详解】（1），所以，解得；（2），令得，解得，或时且，当即时，，对任意恒成立，得可得，，时成立，时，有在恒成立，令，，所以在单调递减，有，所以；当即时，，对任意恒成立，求实数的取值范围，即在上恒成立，因为，可得，解得，当即时，重合，不符合题意，综上所述，或.2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知．(1)求证：当x>0时，(2)若不等式，（其中）恒成立时，实数m的取值范围为（-∞，t]，求证：．【答案】见解析【分析】（1）令，再证明即得证；（2）令，即证，证明，令，即得证.【详解】（1）证明：令