湖北省武汉市常青联合体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 含解析

高考资源网(）您身边的高考专家（AI教学）订购热线汉市常青联合体：2024-2025学年度第一学期期末考试高一数学试卷命题学校：武汉市第十五中学命题教师：徐煊审题教师：冷秋君考试时间：2025年1月15日试卷满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数诱导公式转化为特殊角三角函数值即可解决.【详解】故选：C2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由对数型复合函数定义域和分母不为零求解即可；【详解】由题意得，解得且，所以函数的定义域为，故选：D.3.要得到函数的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的图象变换关系求解.【详解】,所以要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位，故选:D.4.设，，，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函数、、的图象，结合图象可得出、、的大小关系.【详解】作出函数、、的图象如下图所示：因为，，，由图象可得.故选：D.5.函数的零点，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别计算，判断其正负，由零点存在定理判断函数零点所在区间为，可得.【详解】已知，；，所以，可知函数零点所在区间为，故.故选：C.6.已知锐角，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切.【详解】因为为锐角，所以且，所以得，由诱导公式得，.所以.故选:D7.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为，圆心为，墙壁截面为矩形，且劣弧的长等于半径长的倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形面积公式和三角形面积公式即可.【详解】由题意得劣弧的长为2，半径，设，则，即，则扇形的面积为，过点作，则，则，，，则，所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于，故选：D.8.设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可．【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，，所以，即当时，又对任意，都有，则关于对称，且，，即函数的周期为，又由函数且在上恰有个不同的零点，得函数与的图像在上有个不同的交点，又，当时，由图可得，解得；当时，由图可得，解得．综上可得.故选：C．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知，则下列等式正确的是（

）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】运用指数幂运算公式及对数运算公式计算即可.【详解】对于A项，因为（，），所以，即，故A项正确；对于B项，由A项知，所以，故B项正确；对于C项，由A项知，所以，又，所以不一定成立，故C项不成立；对于D项，由A项知，所以，故D项正确.故选：ABD.10.下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】结合正弦函数、余弦函数在各个区间的单调性判断.【详解】因为，且函数在上单调递增，则，故选项A错误；因为，且函数在上单调递减，则，即，故选项B正确；因为，且函数在上单调递减，则，故选项C错误；因为，且函数在上单调递减，则，故选项D正确；故选：BD11.关于函数的下述四个结论，正确的有（）A.若，则B.的图象关于点对称C.函数在上单调递增D.）的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称【答案】ABD【解析】【分析】①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用．【详解】由知点，是图象的两个对称中心，则，A正确；因为，所以点是的对称中心，B正确；由，解得，当时，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，C错误；的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为，是偶函数，所以图象关于y轴对称，D正确，故选：ABD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则的值为__________．【答案】4【解析】【分析】运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】由题意可得，，所以．故答案为：413.函数在的值域________．【答案】【解析】【分析】化简函数，令，结合的单调性求解．【详解】，∵，∴，令，则在递增，在递减，当时，y取最小值1，当时，y取最大值，故函数的值域是，故答案为：．14.已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】判断函数的单调性，利用其解析式推出，则可将不等式对恒成立，转化为，即对恒成立，即可求得答案.【详解】由题意知单调递增，故在R上单调递增，又，故不等式对恒成立，即对恒成立，所以，即对恒成立，当时，，故，即实数a的取值范围是，故答案为：【点睛】本题考查了函数不等式恒成立求解参数范围问题，解答时要注意判断函数的单调性以及函数满足的性质，因而解答的关键是利用函数满足的性质脱去函数符号“f”,将问题转化为，即对恒成立，即可解决.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）15.（1）已知，求.（2）已知，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将原式化为即可求出；（2）由平方可得，即可求出.【详解】（1）∵，原式.（2）∵，∴，∴..∵，∴，∴.16.函数的部分图像如图所示.（1）求及图中的值，并求函数的最小正周期；（2）若在区间上只有一个最小值点，求实数的取值范围.【答案】（1），，最小正周期为2（2）【解析】【分析】（1）将代入解出，进而求解即可；（2）由余弦函数图像和性质求解即可.【小问1详解】将代入得，解得，所以，令得，，解得，，所以图中对称轴为，由对称性得，解得.的最小正周期.【小问2详解】由余弦函数的性质令解得，，由余弦函数的图像在区间上只有一个最小值点，则，即实数的取值范围为.17.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断并用定义法证明函数的单调性：（3）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）单调递增，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得，即可求参数；（2）令，作差法判断大小即可；（3）问题化为时恒成立，由指数、分式性质求的区间值域，即可得参数范围.【小问1详解】由题设，所以，即.【小问2详解】单调递增，证明如下：由（1）知：，令，则，而，，，所以，故单调递增.【小问3详解】由题设，当时恒成立，而，所以即可，故实数的取值范围为.18.已知定义在上的函数满足且，.（1）求的解析式；（2）若不等式恒成立，求实数取值范围；（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据列方程，求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可；（3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可.【小问1详解】由题意知，，即，所以，故【小问2详解】由（1）知，，所以在上单调递增，所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立设，则，，当且仅当，即时，等号成立所以，故实数的取值范围是【小问3详解】因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因为在上单调递增，所以当时，，又的对称轴为，，当时，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，，解得，所以，综上可知，实数的取值范围是【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，，.（1）若，，有成立，则；（2）若，，有成立，则；（3）若，，有成立，则；（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.19.列奥纳多达芬奇（LeonardodaVinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．（1）证明：；（2）求不等式：的解集；（3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）（（3）【解析】【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可；（2）求出的单调性和奇偶性，得到，，求出解集；（3）参变分离得到在有2个实数根，换元得到，由对勾函数单调性得到的值域，与有两个交点，故需满足，即.【小问1详解】．【小问2详解】因为恒成立，故是奇函数．又因为在上严格递增，在上严格递减，故是上的严格增函数，所以，即，所以，解得，即所求不等式的解集为；【小问3详解】因为的图象在区间上与轴有2个交点，所以，即在有2个实数根，所以在有2个实数根，令，易知在上单调递增，所以，则，令，，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，又，作函数草图如图，当时，函数与有两