2024年四川省宜宾市中考数学试题含解析

宜宾市2024年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学（考试时间：120分钟，全卷满分：150分）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黑．2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效．一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.2的绝对值是（）A. B. C. D.22.下列计算正确的是（）A. B. C. D.3.某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（）A.方差为0 B.众数为75 C.中位数为77.5 D.平均数为754.如图，是直径，若，则的度数等于（）A. B. C. D.5.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（）A5天 B.10天 C.15天 D.20天6.如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（）A.8 B.18 C.28 D.327.如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远点是（）A.B点 B.C点 C.D点 D.E点8.某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（）A.8箱 B.9箱 C.10箱 D.11箱9.如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（）A. B. C. D.10.如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（）A. B. C. D.11.如图，在中，，以为边作，，点D与点A在两侧，则的最大值为（）A. B. C.5 D.812.如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．13.分解因式：=_________________________．14.分式方程的解为___________．15.如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是___________．16.如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则_____________．

17.如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是___________（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．18.如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________．三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.（1）计算：；（2）计算：．20.某校为了落实“五育并举”，提升学生综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整；（2）话剧组所对应扇形的圆心角为___________度；（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．21.如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．22.宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）23.如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）利用图象，直接写出不等式的解集；（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．24.如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，求和的长．25.如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围．

宜宾市2024年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学（考试时间：120分钟，全卷满分：150分）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黑．2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效．一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.2的绝对值是（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的意义即可求解．【详解】解：2的绝对值是是2，故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的计算，掌握正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项．根据同底数幂的运算法则以及合并同类项的法则，逐个进行计算，即可解答．【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项符合题意；D、，故本选项不符合题意；故选：C．3.某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（）A.方差为0 B.众数为75 C.中位数为77.5 D.平均数为75【答案】B【解析】【分析】本题主要考查方差，众数，中位数和平均数，分别根据相关定义求解即可．【详解】解：这组数据的平均数为：，故选项D错误，不符合题意；方差为，故选项A错误，不符合题意；这组数据中，75出现次数最多，共出现3次，故众数是75，故选项B正确，符合题意；这组数据按大小顺序排列为：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88．最中间的两个数是75，75，故中位数为，故项C错误，不符合题意，故选：B．4.如图，是的直径，若，则的度数等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答．【详解】解：是的直径，，，，，故选：A．5.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（）A.5天 B.10天 C.15天 D.20天【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程，解出即可．【详解】解：设快马x天可以追上慢马，据题题意：，解得：．答：快马20天可以追上慢马．故选：D．6.如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（）A.8 B.18 C.28 D.32【答案】C【解析】【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案．【详解】解∶∵，，∴8不是完美数，故选项A不符合题意；∵，，∴18不是完美数，故选项B不符合题意；∵，，∴28是完美数，故选项C符合题意；∵，，∴32不是完美数，故选项D不符合题意；故选：C7.如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（）A.B点 B.C点 C.D点 D.E点【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解．【详解】解：把图形围成立方体如图所示：所以与顶点A距离最远的顶点是C，故选：B．8.某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（）A.8箱 B.9箱 C.10箱 D.11箱【答案】C【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用个大箱，个小箱，利用每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案．详解】解：设用个大箱，个小箱，∴，∴，∴方程的正整数解为：或，∴所装的箱数最多为箱；故选C．9.如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅助线为解题的关键．作辅助线如图，先证明，，从而可以得到旋转后的图形，再证明是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果．【详解】解：如图，连接、，∵是的直径，∴，∵平分，∴，∴，∴，在四边形中，，∴，∴绕点逆时针旋转，如图所示∴，∵由旋转可知，∴，∴等腰直角三角形中，，∴．故选：A10.如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，在等腰三角形ABC中，，是中点，设，，由中点为，，故等腰三角形中，∴，∴，∵AC的中点为M，∴，即，由在反比例函数上得，∴，解得：，由题可知，，∴．故选：B．11.如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（）A. B. C.5 D.8【答案】D【解析】【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案．【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，∴，，，∴，∵，（三点共线时取等号），∴的最大值为，故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键．12.如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时，当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④．【详解】解：∵抛物线的图象经过点，∴当时，，故①正确；∵抛物线的图象交x轴于点、，∴抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故②正确；∵对称轴为直线，∴；∵、，∴，∴；在中，当时，，∴，∴，当时，则由勾股定理得，∴，∴或（舍去）；同理当时，可得；综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；当时，，则，如图所示，取点，连接，则，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，在中，由勾股定理得，故④正确，∴正确的有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．13.分解因式：=_________________________．【答案】【解析】【详解】解：==．故答案为．14.分式方程的解为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可．【详解】解：，∴，∴，解得：，经检验：是原方程的根，∴方程的根为，故答案为：．15.如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是___________．【答案】##【解析】【分析】此题考查了正五边形以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．根据正五边形以及等腰三角形的性质得出，再证明，根据相似三角形的性质求出，最后由线段和差即可求出的长．【详解】解：如图，连接交于点，∵五边形是正五边形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得或（舍去），∴，故答案为：．16.如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则_____________．

【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长，截取，连接，，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，再证明，根据相似三角形的性质，求出结果即可．【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：∵四边形为平行四边形，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴当最小时，最小，∵两点之间线段最短，∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，∵，∴，∴，即，解得．故答案为：．17.如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是___________（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．【答案】乙槽【解析】【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是乙槽．本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键．【详解】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽．故答案为：乙槽．18.如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________．【答案】##【解析】【分析】将顺时针旋转得到，再证明，从而得到，再设设，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，从而利用完全平方公式得到，从而得解．【详解】解：∵正方形的边长为1，∴，，将顺时针旋转得到，则，∴，，，，∴点P、B、M、C共线，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，设，，则，，∴，∵，∴，即，整理得：，∴，当且仅当，即，也即时，取最小值，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明和得到是解题的关键．三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.（1）计算：；（2）计算：．【答案】（1）；（2）1．【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算和分式的化简，熟记零指数幂，特殊角的三角函数值，分式化简的步骤是解题的关键．（1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的意义计算；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果．【详解】解：（1）；（2）．20.某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整；（2）话剧组所对应扇形的圆心角为___________度；（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．【答案】（1）40；图见解析（2）72（3）【解析】【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；（2）用360度乘以C组人数所占比例即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：本次调查总人数为（名），C组人数为（名），补全图形如下：；故答案为：40；小问2详解】解：，故答案为：72；【小问3详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种，∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为．21.如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明∶∵是等边三角形，∴，，又，∴，∴．22.宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）【答案】长江口的宽度为米.【解析】【分析】如图，过作于，过作于，过作于，而，可得四边形，都是矩形，由题意可得：，，证明，可得，设，，再利用三角函数建立方程组求解即可.【详解】解：如图，过作于，过作于，过作于，而，∴四边形，都是矩形，∴，，，，∵由题意可得：，，∴，，∵，∴，∴，设，，∴，即，，即，∴，∴，∴，∴，∴；∴长江口的宽度为米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定于性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.23.如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点．（1）求反比例函数和一次函数表达式；（2）利用图象，直接写出不等式的解集；（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．【答案】（1），（2）或（3）或或【解析】【分析】（1）把A坐标代入，可求出k，把代入所求反比例函数解析式，可求n，然后把A、B的坐标代入求解即可；（2）结合一次函数和反比例函数的图像，写出一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量范围即可；（3）设点C的坐标为，，分、为对角线，、为对角线，、为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解．【小问1详解】解∶∵经过，∴，解得，∴，把代入，得，解得，∴，把，代入，得，解得，∴；【小问2详解】解：察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，∴不等式的解集为或；【小问3详解】解：设点C的坐标为，，①以、为对角线，则，解得，∴，∴；②以、为对角线，则，解得，∴，∴；③以、为对角线则，解得，∴，∴；综上，当C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查求一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．24.如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，求和的长．【答案】（1）见解析（2），．【解析】【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论；（2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得．【小问1详解】证明：延长交于点F，连接，∵，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，即是的角平分线，∵，∴，且平分线段，∵，∴，∵是半径，∴是的切线；【小问2详解】解：连接，∵是的直径，∴，∵，，∴，∴，∴，由（1）得，，设，∴，∴，解得，即，∴，∴，∴，设，则，∵是的切线，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，即，解得，∴．【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．25.如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围．【答案】（1）抛物线的表达式为，顶点D的坐标为；（2）点M的坐标为；（3）的取值范围为．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可；（3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可．【小问1详解】解：由于抛物线经过点和点，∴，∴，∴抛物线的表达式为，∴顶点D的坐标为；【小问2详解】解：∵点，对称轴为直线，∴点，∵，，∴长为定值，作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M，则，∴，此时的周长最小，设直线的解析式为，则，解得，，∴直线的解析式为，令，则，∴点M的坐标为；【小问3详解】解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，，∵等边三角形，∴，，，∴，∴，，，∵，∴，∴点在以为圆心，1为半径的上，，当点在线段上时，有最小值为；当点在射线上时，有最大值为；∴的取值范围为．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．

资阳市2024年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟．注意事项：1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．2．第Ⅰ卷每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．3．第Ⅱ卷各题须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答．在试卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.3的相反数为（）A.﹣3 B.﹣ C. D.32.下列计算正确是（）A. B. C. D.3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）

A.长方体 B.棱锥 C.圆锥 D.球体4.6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（）A.5，4 B.6，5 C.6，7 D.7，75.在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（）A. B. C. D.6.如图，，过点作于点．若，则的度数为（）A. B. C. D.7.一个正多边形每个外角度数都等于，则这个多边形的边数为（）A.4 B.5 C.6 D.88.若，则整数m的值为（）A.2 B.3 C.4 D.59.第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（）A. B. C. D.10.已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：①；②；③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．其中，所有正确结论的个数是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11若，则________．12.年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长左右，城镇新增就业万人以上……将数“万”用科学记数法表示为________．13.一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则________．14.小王前往距家2000米公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有________分钟．

15.如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________．16.在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________．三、解答题（本大题共8个小题、共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.先化简，再求值：，其中．18.我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．19.2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？20.如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征．21.如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．22.如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．

（1）求B，C两处的距离；（2）该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．（注：点A，B，C，D同一水平面内；参考数据：，）23.（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明；（2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长；（3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长．24.已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；（3）如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

资阳市2024年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分．考试时间共120分钟．注意事项：1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．2．第Ⅰ卷每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案．3．第Ⅱ卷各题须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答．在试卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.3的相反数为（）A.﹣3 B.﹣ C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．【详解】解：3的相反数是﹣3．故选：A．【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念．2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则解答即可．【详解】解：AB、和不是同类项，不能合并，故AB错误，不符合题意；C、，故C错误，不符合题意；D、，故D正确，符合题意．故选：D．3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）

A.长方体 B.棱锥 C.圆锥 D.球体【答案】A【解析】【分析】本题主要考查由三视图来判断几何体的形状．【详解】解：由三视图可知，该几何体长方体，故选：A．4.6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（）A.5，4 B.6，5 C.6，7 D.7，7【答案】C【解析】【分析】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【详解】中位数：，众数：7故选：C．5.在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．【详解】点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为故选：B．6.如图，，过点作于点．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数．【详解】∵过点作于点，∴，又∵，∴，∵，∴，将代入上式，可得，故选．7.一个正多边形的每个外角度数都等于，则这个多边形的边数为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于，根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于，即可得出答案．【详解】解：∵多边形的外角和等于，且这个每个外角都等于，∴它的边数为.故选：C．8.若，则整数m的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定和的范围，然后求出整数m的值的值即可．【详解】解：∵，即，，即，又∵，∴整数m的值为：3，故选：B．9.第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值．【详解】解：根据题意，设，则，∵，四边形为正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，故选：．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．10.已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论：①；②；③以，，，为顶点的四边形可以为正方形；④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为．其中，所有正确结论的个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④．【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点，，两个函数的对称轴均为直线，即，解得：，故①正确；②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，，由函数的对称性可知，在和中，，，，故正确②；③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，由①可知两个函数的解析式分别为，，，，，点，，，由，此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确；④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为，点的横坐标为，，点的横坐标为，，，，，周长的最小值为，故正确④；故选：D．【点睛】本题是二次函数综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11.若，则________．【答案】2【解析】【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答．【详解】解：∵，∴，解得：，∴，故答案为：2．12.年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长左右，城镇新增就业万人以上……将数“万”用科学记数法表示为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“，其中，是正整数”是解题的关键．【详解】解：万，故答案为：．13.一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据概率公式即可求解．【详解】解：从袋中随机取出一个球是白球的概率为，，解得：，故答案为：．14.小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有________分钟．

【答案】5【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是理解题意，读懂图象中每条线段蕴含的信息，灵活运用所学知识解决问题．根据图象求出，进而得出小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间，即可解答．【详解】解：根据题意可得：（米/分），小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间为：（分），由图可知，会议开始时间为出发后（分），∴若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有（分），故答案为：5．15.如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果．【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，，∴，∴以为直径作半圆时，圆心为点，设弓形，连接，，即，如图：∴为等边三角形，∴，故阴影部分面积为，代入数值可得，故答案为．16.在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解．【详解】解：如图，作高，，是锐角三角形，，在的内部，，，在中，，，，，又，，故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题、共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.先化简，再求值：，其中．【答案】；1【解析】【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．【详解】解：，把代入得：原式．18.我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：（1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．【答案】（1）400，见解析（2）800名（3）见解析，【解析】【分析】（1）利用C等级的人数除以其所占的百分比求得样本总数，再利用样本总人数减去其他等级的人数求得D等级的人数，再补全条形统计图即可；（2）利用B等级的人数除以样本总数求得其所占的百分比，再乘除全校人数即可求解；（3）画树状图可得共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．小问1详解】解：由图可得，（名），∴D等级的人数为：（名），补全条形统计图如下所示：故答案为：400；【小问2详解】解：（名），答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800名；【小问3详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中有8种等可能的结果，∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为．【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体、用树状图或列表法求概率、概率公式，根据统计图中的信息求得样本总数是解题的关键．19.2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？【答案】（1）A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元（2）至少应购买B款纪念品30个【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解．【小问1详解】解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，由题意得，，解得，答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．【小问2详解】解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，由题意得，，解得，，答：至少应购买B款纪念品30个．20.如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数（）的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线在图中的一个特征．【答案】（1）（2），直线上y随x的增大而增大【解析】【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．（1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式；（2）先求出直线的函数解析式为，进而得出，结合图象可得直线的特征．【小问1详解】解：把代入得：，解得：，∴，把代入得：，∴，把，代入：，解得：，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】解：设直线的函数解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为，联立得：，解得：（舍去），，∴，由图可知：直线上y随x的增大而增大．21.如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角和对顶角相等可推出，，结合和三角形内角和，从而推出，得证；（2）由（1）