福建省南平市建阳第二中学2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析

/福建省南平市建阳第二中学2021-2022学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是

（

▲

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C2.下列选项中，错误的是（）Ａ．“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位Ｂ．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的Ｃ．根据弧度的定义，一定等于弧度Ｄ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关参考答案：D3.已知函数f（x）对任意的x∈R有f（x）+f（﹣x）=0，且当x＞0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】奇偶函数图象的对称性；对数函数的图象与性质．【分析】先由函数的奇偶性排除选项A、B，再由对数函数的图象变换及其性质选出正确选项【解答】解：∵函数f（x）对任意的x∈R有f（x）+f（﹣x）=0，∴函数f（x）为R上的奇函数，图象关于原点对称，排除A、B将y=lnx的图象向左平移1个单位长度，即可得到f（x）=ln（x+1）的图象，由对数函数的图象性质排除C故选D4.如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底，表示为A.

B.C.

D.参考答案：C5.函数在区间[0,2]的最大值是

参考答案：-4

6.数列{an}前n项的和Sn=3n+b（b是常数），若这个数列是等比数列，那么b为(

) A．3 B．0 C．﹣1 D．1参考答案：C考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据数列的前n项的和减去第n﹣1项的和得到数列的第n项的通项公式，即可得到此等比数列的首项与公比，根据首项和公比，利用等比数列的前n项和的公式表示出前n项的和，与已知的Sn=3n+b对比后，即可得到b的值．解答： 解：因为an=Sn﹣Sn﹣1=（3n+b）﹣（3n﹣1+b）=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，所以此数列为首项是2，公比为3的等比数列，则Sn==3n﹣1，所以b=﹣1．故选C点评：此题考查学生会利用an=Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道基础题．7.不等式的解集为（

）A．或

B．C．或

D．参考答案：B结合二次函数的图象解不等式得，∴不等式的解集为．故选B．

8.若，则下列各式正确的是A

B

C

D参考答案：D略9.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（） A． B．1 C． D．﹣1参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数． 【分析】将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，再根据正弦函数在对称轴上取最值可得方程，进而可得答案． 【解答】解：由题意知 y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ） 当时函数y=sin2x+acos2x取到最值± 将代入可得：sin[2×（）]+acos[2×（）]= 解得a=﹣1 故选D． 【点评】本题的考点是正弦型三角函数，主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，考查学生分析解决问题的能力．属基础题． 10.已知2﹣9，2a1，2a2，2﹣1成等比数列，2，log3b1，log3b2，log3b3，0成等差数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．﹣8 B．8 C． D．参考答案：B【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】运用等比数列的通项公式，可得公比q，再由等比数列的定义可得a2﹣a1，再由等差数列中项的性质，结合对数的运算性质可得b2，即可得到所求值．【解答】解：设等比数列的公比为q，由2﹣9，2a1，2a2，2﹣1成等比数列，可得：q3==28，即有q=2，即=q=2，可得a2﹣a1=；2，log3b1，log3b2，log3b3，0成等差数列，可得2log3b2=2+0，解得b2=3，则b2（a2﹣a1）=3×=8．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为参考答案：或12.△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：（1）（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab（2）sinA=2cosBsinC（3）b=acosC，c=acosB（4）2R(sin2A－sin2C)=(a－b)sinB有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题

．参考答案：（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙【分析】若（1）（2）→甲，由（1）利用平方差及完全平方公式变形得到关于a，b及c的关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的关系式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C为60°，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B﹣C）=0，由B和C为三角形的内角，得到B﹣C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B=C，从而得到三角形为等边三角形；若（2）（4）→乙，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B﹣C）=0，由B和C为三角形的内角，得到B﹣C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B=C，再利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，从而得到三角形为等腰直角三角形；若（3）（4）→乙，利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，再利用正弦定理化简（3）中的两等式，分别表示出sinA，两者相等再利用二倍角的正弦函数公式，得到sin2B=sin2C，由B和C都为三角形的内角，可得B=C，从而得到三角形为等腰直角三角形．三者选择一个即可．【解答】解：由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：证明：由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，变形得：a2+b2+2ab﹣c2=3ab，即a2+b2﹣c2=ab，则cosC==，又C为三角形的内角，∴C=60°，又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，即B=C，则A=B=C=60°，∴△ABC是等边三角形；以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：证明：化简得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，即B=C，∴b=c，由正弦定理===2R得：sinA=，sinB=，sinC=，代入得：2R?（﹣）=（a﹣b）?，整理得：a2﹣b2=ab﹣b2，即a2=ab，∴a=b，∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，∴a2=b2+c2，∴∠A=90°，则三角形为等腰直角三角形；以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：证明：由正弦定理===2R得：sinA=，sinB=，sinC=，代入得：2R?（﹣）=（a﹣b）?，整理得：a2﹣b2=ab﹣b2，即a2=ab，∴a=b，∴a2=2b2，又b2+c2=2b2，∴a2=b2+c2，∴∠A=90°，又b=acosC，c=acosB，根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，∴=，即sinBcosB=sinCcosC，∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角，∴2B=2C，即B=C，则三角形为等腰直角三角形．故答案为：（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，勾股定理，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，属于条件开放型题，是一类背景新、解题活、综合性强、无现成模式的题型．解答此类题需要运用观察、类比、猜测、归纳、推理等多种探索活动寻求解题策略．13.已知，若，则_____.参考答案：【分析】利用倍角公式和同角的三角函数的基本关系式化简后即得.【详解】因为，故，因，故，故即.【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．14.函数的单调递减区间是______________．参考答案：(－∞,1)函数有意义，则：，解得：或，二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数是定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可得函数的单调递减区间是.

15.在中，则

.参考答案：16.f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），则a，b，c大小关系是

．参考答案：c＞a＞b【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】对于偶函数，有f（x）=f（|x|），在[0，+∞）上是减函数，所以，只需比较自变量的绝对值的大小即可，即比较3个正数|log23|、|log47|、|0.20.6|的大小，这3个正数中越大的，对应的函数值越小．【解答】解：f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，故f（x）在[0，+∞）上是减函数，∵a=f（log47），b=f（），c=f（0.20.6），∵log47=log2＞1，∵=﹣log23=﹣log49＜﹣1，0＜0.20.6＜1，∴|log23|＞|log47|＞|0.20.6|＞0，∴f（0.20.6）＞f（log47）＞f（），即c＞a＞b，故答案为：c＞a＞b．【点评】本题考查偶函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．17.设函数的定义域为，若存在非零实数，使得对于任意，有，则称为上的高调函数，若定义域是的函数为上的高调函数，则实数的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知命题有两个不相等的负根，命题无实根，若为真，为假，求的取值范围．参考答案：解析：有两个不相等的负根．无实根．由为真，即或得；为假，或为真，为真时，，为真时，或．或为真时，或．所求取值范围为19.（15分）在中,角,,对应的边分别是,,.已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积,,求的值.参考答案：（1）

（6分）（2）由面积可得，再由余弦定理得，再由正弦定理得，(9分)

20.已知数列{an}满足,．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）比较与的大小，并用数学归纳法证明；（Ⅲ）设，数列的前项和为，若对任意成立，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）见证明（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）根据等比数列定义证明，（Ⅱ）先求，再根据数学归纳法证明，（Ⅲ）先化简，再利用裂项相消法求和得，最后根据最大值得结果.【详解】（Ⅰ）且,是以3为首项，为公比的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：,下面用数学归纳法证明（1）当时,（2）假设当时,,当时,,即当时,结论成立，由（1）（2）得,（Ⅲ）因为【点睛】本题考查证等比数列、数学归纳法以及裂项相消法求和，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.21.（本小题满分14分）对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为；那么把（）叫闭函数，且条件②中的区间为的一个“好区间”．（1）求闭函数的“好区间”；（2）若为闭函数的“好区间”，求、的