高考数学模拟大题规范训练(30)含答案及解析

高三数学大题规范训练（30）15.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值．16.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面底面，，，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点．（1）当P是线段的中点时，求点P到平面的距离；（2）当平面与平面的夹角的余弦值为时，求．17.已知等比数列和等差数列，满足，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．18.已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1．（1）求双曲线的标准方程：（2）若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T．（i）证明：射线是的角平分线；（ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围．19.为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第次击中靶心的概率也为p，否则第次击中靶心的概率为．（1）求甲选手得分X的分布列及其数学期望；（2）有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称为X的分布函数，对于任意实数，，有．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间上的概率．（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数．

高三数学大题规范训练（30）15.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值．【答案】（1）单调增区间：，单调减区间：．（2）或．【解答】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；（2）首先求出函数的切线方程，与曲线联立方程，分析得出结论.【小问1详解】易知定义域为R，，所以，，，．故单调增区间：，单调减区间：．小问2详解】因为，，所以曲线在点处的切线为把切线方程代入二次曲线方程，得有唯一解，即且，即解得或．16.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面底面，，，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点．（1）当P是线段中点时，求点P到平面的距离；（2）当平面与平面的夹角的余弦值为时，求．【答案】（1）．（2）【解答】【分析】（1）利用等体积变化的方法进行计算距离；（2）利用空间向量法计算距离；【小问1详解】作的中点D，连接，，连接，，，因为点D，F分别为，的中点，所以，且，又由三棱柱定义，结合点E为的中点可知：，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，所以当P是线段的中点时，点P到平面的距离等于点E到平面的距离；因为， ，因为，所以，由平面平面，且平面平面，因为平面，所以平面，又平面，所以，所以是三棱锥的高，所以，在等边三角形中，,因为，所以直角三角形中又，三角形是等腰三角形，，设点E到平面的距离为d，则，解得．即点P到平面的距离为．【小问2详解】以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，，，，，，所以，，，，设，则，设平面的一个法向量，则有，即，所以，设平面的一个法向量，则有，即，所以，所以，解得或（舍去）．所以，即的长为．17.已知等比数列和等差数列，满足，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．【答案】（1），．（2）证明见解答【解答】【分析】（1）设的公比为，等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可得解；（2）由（1）可得，利用错位相减法求出，即可得到，再由分组求和及裂项相消法计算可得.【小问1详解】等比数列满足，，所以单调递增，设的公比为，等差数列的公差为，依题意可得，解得或（舍去），所以，．【小问2详解】由（1）可得，所以所以，故，又，，即，所以．18.已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1．（1）求双曲线的标准方程：（2）若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T．（i）证明：射线是的角平分线；（ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围．【答案】（1）（2）（i）证明见解答；（ii）．【解答】【分析】（1）由题意可直接求出，从而可求出双曲线的方程；（2）（i）设，切线，代入双曲线方程化简，由判别式等于零可表示出，从而可表示出切线方程，表示出点的坐标，然后通过计算的值可得结论；（ii）过作，设，根据角平分线的性质和三角形中位线定理求出，再表示出面积可求出其范围.【小问1详解】因为实轴长为4所以，即，因为右焦点到渐近线距离为1，所以，故双曲线的标准方程为．【小问2详解】（i）设，切线，则，联立化简得．由，解得：，所以直线，令，得，故，．因为，所以，所以，即，故射线PT是的角平分线．（ii）过作，设．因为为的角平分线，所以所以．因为，，所以，又因O为中点．则是的中位线，故Q是的中点．所以，记，因为，所以为锐角，所以为钝角，所以，所以，所以，由正弦定理得，所以，则．【小结】关键点小结：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的面积问题，第（2）问解题的关键是根据双曲线的性质结合角平分线的性质求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.19.为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3次机会，击中靶心得1分，否则得0分、已知甲选手第一枪击中靶心的概率为，且满足：如果第n次射击击中靶心概率为p，那么当第n次击中靶心时，第次击中靶心的概率也为p，否则第次击中靶心的概率为．（1）求甲选手得分X的分布列及其数学期望；（2）有如下定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数，称为X的分布函数，对于任意实数，，有．因此，若已知X的分布函数，我们就知道X落在任一区间上的概率．（i）写出（1）中甲选手得分X的分布函数（分段函数形式）；（ii）靶子是半径为2的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选手射击都能中靶，以Y表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y的分布函数．【答案】（1）分布列见解答，（2）（i）；（ii）【解答】【分析】（1）列出的可能值，并求出对应的概率，可得的分布列，并求期望.（2）