高考数学模拟大题规范训练(19)含答案及解析

高三数学大题规范训练（19）15.已知，函数，且.（1）求的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.16.面试是求职者进入职场一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分．（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标．现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数．（结果四舍五入保留整数）（2）某进入面试应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望．附：若，则，17.如图，在四棱锥中，，，且是的中点.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值.18.已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为.①求直线的斜率：②求面积的最大值.19.法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且.（1）求；（2）若，求的最大值；（3）若，求实数的最小值.

高三数学大题规范训练（19）15.已知，函数，且.（1）求的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）【解答】【分析】（1）先得到函数的定义域，求导，由解出的值，进而得到，由得到单调递减区间，由得到单调递增区间；（2）若恒成立，则成立，由（1）知，从而可以得到的取值范围.【小问1详解】的定义域为，由已知得，因为，所以，解得，所以.令，解得（舍），.当时，；当时，.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.【小问2详解】因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值.因为在上只有一个极值，所以.因为恒成立，所以，即，得.所以的取值范围是.16.面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分．（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标．现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数．（结果四舍五入保留整数）（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望．附：若，则，【答案】（1）159（2）分布列见解答，【解答】【分析】（1）由正态分布曲线的性质求得对应概率，即得对应人数；（2）由题可知的可能取值为，求得对应的概率以及分布列，进一步由期望公式求解即可.【小问1详解】因为服从正态分布，所以．因为，所以，所以．因此，进入面试的人数约为159．【小问2详解】由题意可知，的可能取值为，则；；．所以的分布列为：012345所以．17.如图，在四棱锥中，，，且是的中点.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解答（2）【解答】【分析】（1）先证明线面垂直再根据面面垂直判定定理证明即可；（2）先根据二面角求参得出点的坐标，再应用线面角向量求法计算.【小问1详解】因为，由余弦定理得，所以.因为，所以，所以.因为，所以四边形为平行四边形，所以.因为，所以，即.因为平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】在平面内，过点作，交于.因为平面平面，平面平面，所以平面.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.由（1）可知为二面角的平面角，即，所以，由，可得.所以.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的余弦值为.18.已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为.①求直线的斜率：②求面积的最大值.【答案】（1）（2）①；②【解答】【分析】（1）设动圆圆心，根据题意结合距离公式运算求解；（2）①设，根据中点利用同构可得为方程的两根，利用韦达定理分析证明；②根据题意可得，结合圆的方程可得，进而可得最值.【小问1详解】设动圆圆心，当时，由已知得，即；当时，点的轨迹为点，满足.综上可知，点的轨迹方程为.【小问2详解】①设.由题意得，的中点在抛物线上，即.又，将代入得，同理可得，可知为方程的两根，所以.所以直线的斜率为0；②由得，所以，又因为，所以.又因为点在圆上，则，且.设的面积为S，则，当时，S有最大值48.所以面积的最大值为48.【小结】方法小结：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．19.法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用以上知识解决下面的问题：已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且.（1）求；（2）若，求的最大值；（3）若，求实数的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解答】【分析】（1）根据倍角公式得到，由正弦定理得到，从而；（2）根据点为的费马点得到，再由及三角形面积公式得到，因为及均值不等式，所以，当且仅当时等号成立；（3）设，所以，在三个小三角形中分别用余弦定理表示出、、AB再结合得到，从而由均值不等式得，从而得到的最小值.【小问1详解】因为，所以，即，由正弦定理得.所以.【小问2详解】由（1）知，所以的三个角都小于，因为点为的费马点，所以.由得：，整理得.又因为，所以，当且仅当时等号成立.所以，所以的最大值为.【小问3详解】由（2）知.设，由得.由余弦定理得：在中，，在中，，在中，，因为，所以，整理得.因为m+n+2=mn≤m+