高考数学模拟大题规范训练(5)含答案及解析

高三数学大题规范训练（5）1.如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且．（1）求证：四点共面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．2.已知函数，其中为常数.（1）过原点作图象的切线，求直线的方程；（2）若，使成立，求的最小值.3.已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由．4.2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛（1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.5.对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；（2）设数列是首项为、公差为等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.

高三数学大题规范训练（5）15.如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且．（1）求证：四点共面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解答（2）【解答】【分析】（1）易知，由线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明，即可证明；（2）由（1）求出的坐标，利用空间向量法求解线面角即可.【小问1详解】因为平面是菱形，所以，由平面，平面，得，所以两两垂直，建立如图空间直角坐标系，，则，由，得，所以，则，所以共面，又直线的公共点为，所以四点共面；【小问2详解】由（1）知，，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，得，即直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数，其中为常数.（1）过原点作图象切线，求直线的方程；（2）若，使成立，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解答】【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；（2）由题意，将其等价转化为在0,+∞有解，即只需求在0,+∞上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值.【小问1详解】设切点坐标为，则切线方程为，因为切线经过原点，所以，解得，所以切线的斜率为，所以的方程为.【小问2详解】，，即成立，则得在0,+∞有解，故有x∈0,+∞时，.令，，，令ℎ′x>0得；令ℎ′故ℎx在单调递减，单调递增，所以，则，故的最小值为.17.已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，直线MN过定点．【解答】【分析】（1）根据椭圆的对称性，确定椭圆C过的三点，再代入方程求解作答.（2）设出直线MN的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合已知及斜率坐标公式列式求解即可.【小问1详解】由椭圆的对称性知，，，三点在椭圆C上，故，，得，从而椭圆C的方程为．【小问2详解】直线MN过定点，证明如下：假设存在，不妨设直线、、MN的斜率分别为，，k，满足，设直线MN的方程为（），且，，与椭圆C的方程联立，得，则，即（*），且那么，化简得，，即整理得：，解得或，当时，中一点与重合，故舍去，故直线MN过定点．【小结】关键小结：本题第二问的关键是设直线MN的方程为（），且，，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再将斜率之间的关系式整理从而将韦达定理代入，最后化简得，解出值并检验.18.2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛（1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；（2）大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.【答案】（1），（2）（i）；（ii）【解答】【分析】（1）6道题中小王能答对4道，答错2道，结合超几何分布计算即可，再结合条件概率计算即可.（2）由，运用导数研究其极大值即可.（3）分析每名进入决赛的大学生获得的奖金的期望，解不等式即可.【小问1详解】由题意知，的可能取值为，则，，，故的分布列为012则.记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛，则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率.【小问2详解】（i）由题意知，，则，令，解得或（舍），当时，，当时，，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，有极大值，且的极大值为.（ii）由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，则的可能取值为，，，，，所以，所以，即，整理得，经观察可知是方程的根，故，因为恒成立，所以由可得，解得得，又，所以的取值范围为.19.对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；（2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.【答案】（1）是，理由见解答；（2）；（3）当是数列时，与满足的条件为或，证明见解答.【解答】【分析】(1)由数列定义知，仅需验证当时，恒成立即可；(2)写出，的表达式，则对满足的任意都成立，则将此问题转化为不等式恒成立的问题，然后据此去求解的范围；(3)根据数列是数列，可以得到，所以需要分，和，去讨论，和(2)相似，还是去求解使得的取值范围，仍然是将其转化为不等式的恒成立问题，然后在不同的情况下求出对应的的取值范围即可.在证明命题“若且，则不是数列”时，考虑使用反证法：先排除掉数列的项都在数列中、数列的项都在数列中的情况.若数列至少有一项不在数列中，且数列至少有以一项不在数列中,先去掉其公共项得到数列，，设数列的最大项为，且数列的最大项比数列的最大项大，然后根据数列是数列的性质,得到,从而推出矛盾，进而所求证得证.【详解】(1)∵，∴，当时，，故，那么当时，，符合题意，故数列是数列；(2)由题意知，该数列的前项和为，，由数列是数列，可知，故公差，对满足的任意都成立，则，解得，故的取值范围为；(3)①若是数列，则，若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，由，，故，可得；若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立，又当时，当时不成立，故有或，解得，∴当是数列时，与满足的条件为或；②假设是数列，则由①可知，，，且中每一