2019届江苏专用高考数学大一轮复习高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题讲义文苏教版

高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题考点自测课时作业题型分类深度剖析内容索引考点自测1.(2016·江苏镇江中学质检)已知函数y＝2sinωx(ω>0)在

上的最大值为

，则ω的值是____.答案解析由题意得

，即T>π，从而>π，1即0<ω<2，故函数在x＝

时取得最大值，解得ω＝1.2.在△ABC中，AC·cos

A＝3BC·cosB，且cos

C＝

，则A＝_____.答案解析由题意及正弦定理得sinBcos

A＝3sinAcos

B，45°∴tanB＝3tanA，∴0°＜A<90°，0°<B＜90°，又cos

C＝

，故sinC＝

，∴tanC＝2，而A＋B＋C＝180°，∴tan(A＋B)＝－tanC＝－2，即

＝－2，将tanB＝3tanA代入，得

＝－2，∴tanA＝1或tanA＝

，而0°＜A＜90°，则A＝45°.3.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

＝____.答案解析将△ABC的各边均赋予向量，104.(2016·天津改编)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则

的值为____.答案解析如图所示，又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，5.(2017·江苏如东中学月考)若函数f(x)＝sin(ωπx－)(ω>0)在区间(－1，0)上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则ω的最大值是___.答案解析∴当k＝－1时，得y轴左侧第1条对称轴为

；当k＝－2时，得y轴左侧第2条对称轴为

，题型分类深度剖析题型一三角函数的图象和性质例1

已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0).(1)求函数f(x)的值域；解答由－1≤sin(ωx－)≤1，得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3，1].(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为

，求函数y＝f(x)的单调增区间.解答由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以

＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin(2x－)－1，所以函数y＝f(x)的单调增区间为三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解.思维升华跟踪训练1已知函数f(x)＝5sinxcos

x－(其中x∈R)，求：(1)函数f(x)的最小正周期；解答所以函数的周期T＝

＝π.(2)函数f(x)的单调区间；解答所以函数f(x)的单调增区间为所以函数f(x)的单调减区间为(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.解答所以函数f(x)的对称轴方程为所以函数f(x)的对称中心为(，0)(k∈Z).题型二解三角形例2

(2016·苏北四市期中)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB＝2，tanC＝3.(1)求角A的大小；解答因为tanB＝2，tanC＝3，A＋B＋C＝π，所以tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)又A∈(0，π)，所以A＝.(2)若c＝3，求b的长.解答因为tanB＝

＝2，且sin2B＋cos2B＝1，又B∈(0，π)，所以sinB＝

，同理可得，sinC＝.由正弦定理得根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍.思维升华跟踪训练2

(2016·无锡期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin

A＝

.(1)求角B的值；解答因为

，所以bsin

A＝asin

B，(2)若cos

Asin

C＝

，求角A的值.解答因为cos

Asin

C＝

，题型三三角函数和平面向量的综合应用例3

已知向量a＝(cos

x，sinx)，b＝(－cos

x，cos

x)，c＝(－1,0).(1)若x＝

，求向量a与c的夹角；解答设a与c的夹角为θ，(2)当x∈[]时，求函数f(x)＝2a·b＋1的最大值，并求此时x的值.解答f(x)＝2a·b＋1＝2(－cos2x＋sinxcos

x)＋1＝2sinxcos

x－(2cos2x－1)＝sin2x－cos2x(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响.思维升华跟踪训练3在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知

＝2，cos

B＝

，b＝3，求：(1)a和c的值；解答由

＝2，得c·acos

B＝2.又cos

B＝

，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解

得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a>c，所以a＝3，c＝2.(2)cos(B－C)的值.解答因为a＝b>c，所以C为锐角，于是cos(B－C)＝cos

Bcos

C＋sinBsin

C课时作业1.已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且

.(1)求A的值；解答12345解答123452.(2016·山东)设f(x)＝sin(π－x)sinx－(sinx－cos

x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；解答所以f(x)的单调递增区间是12345(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移

个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求

的值.解答由(1)知f(x)＝把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).得到y＝

－1的图象.再把得到的图象向左平移

个单位，得到y＝2sinx＋

－1的图象，即g(x)＝2sinx＋

－1.123453.(2016·江苏南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标是

，点B的纵坐标是.(1)求cos(α－β)的值；解答12345因为锐角α的终边与单位圆交于点A，且点A的横坐标是

，所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos

α＝

，因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是

，cos(α－β)＝cos

αcos

β＋sinαsinβ12345(2)求α＋β的值.解答sin(α＋β)＝sinαcos

β＋cos

αsinβ因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈()，所以α＋β＝.123454.(2016·江苏仪征中学期初测试)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，

，x∈R)的部分图象如图所示.(1)求函数y＝f(x)的解析式；解答12345由图象知，A＝2，所以T＝2π＝

，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点(，2)代入，得

＋φ＝

＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝2sin(x＋).12345(2)当x∈[]时，求f(x)的取值范围.解答123455.已知向量a＝(

)，b＝()，实数k为大于零的常数，函数f(x)＝a·b，x∈R，且函数f(x)的最大值为