2019届北京专用高考数学一轮复习第八章立体几何第三节空间点直线平面之间的位置关系讲义文

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系总纲目录教材研读1.四个公理考点突破2.空间中两直线的位置关系3.有关角的重要定理考点二空间两直线的位置关系考点一平面的基本性质及应用4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系考点三异面直线所成的角1.四个公理公理1:如果一条直线上的①两点

在一个平面内,那么这条直线上所

有的点都在此平面内.公理2:过②不在同一条直线上

的三点,有且只有一个平面.公理2的三个推论:推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论2:两条③相交

直线确定一个平面.教材研读推论3:两条④平行

直线确定一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有⑤一个

公共点,那么它们有且只有

一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线⑥平行

.2.空间中两直线的位置关系(1)位置关系的分类:

.(2)异面直线所成的角(i)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'

与b'所成的⑩

锐角(或直角)

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(ii)范围:

.3.有关角的重要定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角

相等或互补

.4.空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有

相交

、

平行

、

直线在平面内

三种情况.(2)平面与平面的位置关系有

平行

、

相交

两种情况.

1.下列命题:①经过三点确定一个平面;②梯形可以确定一个平面;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.其中正确命题的个数是

()A.0

B.1

C.2

D.3答案

C对于①,未强调三点不共线,故①错误;易知②③正确;对于④,

未强调三点不共线,若三点共线,则两平面也可能相交,故④错误.故选C.C2.以下四个命题中,正确命题的个数是

()①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.A.0

B.1

C.2

D.3B答案

B①显然是正确的,可用反证法证明;②中若A、B、C三点共

线,则A、B、C、D、E五点不一定共面;③构造长方体或正方体,如图,显

然b、c异面,故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面.故只有①正

确.

3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b

()A.一定是异面直线

B.一定是相交直线C.不可能是平行直线

D.不可能是相交直线答案

C假设c∥b,由公理4可知,a∥b,与a、b是异面直线矛盾,故选C.C4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异

面直线B1C与EF所成的角的大小为

.

答案60°解析连接B1D1,D1C,因B1D1∥EF,故∠D1B1C(或其补角)为所求角,又B1D

1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°.60°典例1已知:空间四边形ABCD(如图所示),E、F分别是AB、AD的中

点,G、H分别是BC、CD上的点,且CG=

BC,CH=

DC.求证:(1)E、F、G、H四点共面;(2)三直线FH、EG、AC共点.

考点一平面的基本性质及应用考点突破∴EF∥BD.又∵CG=

BC,CH=

DC,∴GH∥BD,∴EF∥GH,∴E、F、G、H四点共面.

(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,∴设FH∩AC=M,∴M∈平面EFHG,M∈平面ABC.证明(1)连接EF、GH,∵E、F分别是AB、AD的中点,又∵平面EFHG∩平面ABC=EG,∴M∈EG,∴FH、EG、AC共点.方法指导(1)证明点共线问题:①公理法:先找出两个平面,然后证明这些点都是这

两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在交线上;②同一法:选

择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.(2)证明线共点问题:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过该

点.(3)证明点、直线共面问题:①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关

点、线在此平面内;②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再

证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.1-1如图所示的是正方体和四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则各

图形中,P,Q,R,S四点共面的是

(填序号).

答案①②③①②③解析对于①,顺次连接P、Q、R、S,可证四边形PQRS为梯形;对于②,如图所示,取A1A和BC的中点分别为M,N,顺次连

接P、M、Q、N、R、S,可证明六边形PMQNRS为正六边形;

对于③,顺次连接P、Q、R、S,可证四边形PQRS为平行四边形;对于④,连接PS,PR,SR,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P,Q,R,S四点

不共面.1-2如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC∥AD且BC=

AD;BE∥FA且BE=

FA,G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?

解析(1)证明:由已知可知FG=GA,FH=HD,可得GH∥AD且GH=

AD.又∵BC∥AD且BC=

AD,∴GH

BC,∴四边形BCHG为平行四边形.(2)C、D、F、E四点共面.理由如下:解法一:由BE∥FA且BE=

FA,G为FA的中点知BE

FG,∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG,由(1)可知BG∥CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面.解法二:如图所示,延长FE、DC分别与AB的延长线交于点M、M',

∵BE∥FA且BE=

FA,∴B为MA的中点.∵BC∥AD且BC=

AD,∴B为AM'的中点.∴M与M'重合.即EF与CD相交于点M(M'),∴C、D、F、E四点共面.典例2(1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,

则下列说法错误的是

()

A.MN与CC1垂直

B.MN与AC垂直C.MN与BD平行

D.MN与A1B1平行(2)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,

在原正四面体中,考点二空间两直线的位置关系命题角度一两直线位置关系的判定

①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是

.解析(1)如图,连接C1D,

在△C1DB中,MN∥BD,故C正确;∵CC1⊥平面ABCD,∴CC1⊥BD,∴MN与CC1垂直,故A正确;∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN与AC垂直,故B正确;答案(1)D(2)②③④∵A1B1与BD异面,MN∥BD,∴MN与A1B1不可能平行,故D错误.(2)把正四面体的平面展开图还原,如图所示,GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线.连接GM,易知△GHM为正三角形,则GH与MN成60°角.易知MN∥AF,且AF⊥DE,则DE⊥MN.

命题角度二异面直线的判定典例3(1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则各

图形中直线GH与MN是异面直线的是

.(填序号)

(2)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH

在原正方体中互为异面直线的对数为

.答案(1)②④(2)3解析(1)①中,直线GH∥MN;②中,当G,H,N三点共面时,M∉平面GHN,

因此直线GH与MN异面;③中,连接MG,易知GM∥HN,因此GH与MN共

面;④中,当G,M,N三点共面时,H∉平面GMN,因此直线GH与MN异面.(2)将展开图还原为正方体,如图所示,

显然,AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与

GH相交,CD与EF平行,故互为异面直线的有且只有3对.方法指导空间中两直线的位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对

于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯

形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;对于

垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.2-1给定下列关于异面直线的命题:命题(1):若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,直线c是α与β

的交线,那么c至多与a,b中的一条相交;命题(2):不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线.那么

()A.命题(1)正确,命题(2)不正确B.命题(2)正确,命题(1)不正确C.两个命题都正确D.两个命题都不正确D答案

D当c与a,b都相交,但交点不是同一个点时,平面α上的直线a与

平面β上的b为异面直线,因此判断(1)是假命题,如图所示;对于(2),可以

取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直线,且使这些直线两两不

平行,则这些直线中任意两条都是异面直线,从而(2)是假命题.故选D.

典例4如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=

,AB=2,AC=2

,PA=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.

考点三异面直线所成的角解析(1)因为PA⊥底面ABC,所以PA是三棱锥P-ABC的高.又S△ABC=

×2×2

=2

,所以三棱锥P-ABC的体积为V=

S△ABC·PA=

×2

×2=

.(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是

异面直线BC与AD所成的角.

易知PB=2

,PC=4,BC=4,则在△ADE中,DE=2,AE=

,AD=2