2019届江苏专版高考数学大一轮复习第九章立体几何初步49平面的性质与空间直线的位置关系讲义文

第九章立体几何初步知识网络

【考情分析】年份试题知识点备注2014第8,16题柱体的体积，线面平行、面面垂直几何体为圆柱、三棱锥2015第9,16题柱体、锥体的体积、线面平行、线线垂直几何体为圆柱、圆锥、三棱柱2016第16,17题线面平行、面面垂直，立体几何背景的实际问题几何体皆为棱柱【备考策略】1.由于立体几何知识点、定理和方法较多，所以复习时主要从一条主线

“线线→线面→面面”进行梳理和总结，即两个关系(平行与垂直)，其中包括三个平行(线线平行、线面平行、面面平行)，三个垂直(线线垂直、线面垂直、面面垂直)．2.在复习时要注意联系平面图形的知识，利用类比、引申、联想等方法，体会量与位置关系的变与不变，理解平面图形和立体图形的异同，以及两者之间的内在联系，体会到空间问题平面化(即转化与降维思想)．柱、锥、台之间的割与补，是处理立体几何问题的重要手段，但此类问题在近几年并不多见，适当关注即可．第49课平面的性质与空间直线的位置关系课前热身1.(必修2P23练习2改编)用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面α内”为________________．【解析】考查点、线、面之间的符号表示．2.(必修2P26练习2改编)如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB与∠A1O1B1的大小关系为________________．【解析】考虑两种情况．3.(必修2P31习题12改编)在正方体ABCDA′B′C′D′中，对角线AD′与BD所成角的大小为________．【解析】∠DBC′就是对角线AD′与BD所成角的平面角．激活思维P∉l，l⊂α

相等或互补60°4.(必修2P31习题5改编)下列说法中正确的是________．(填序号)①两两相交的三条直线共面；②四条线段首尾相接，所得的图形是平面图形；③平行四边形的四边所在的四条直线共面；④若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD不一定异面．【解析】当三条直线交于一点时有可能不共面；四条线段首尾相接，所得的图形可以构成空间四边形；若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD一定异面，可反证．③1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上

的点都在这个平面内．它是判定直线在平面内的依据．2.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．它是判定两平面相交、作两个平面交线的依据．知识梳理所有3.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相

．5.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别

，那么这两个角相等．平行平行且方向相同6.空间两条直线的位置关系有以下三种：位置关系共面情况公共点相交在同一个平面内

平行在同一个平面内异面不同在任何一个平面内有且只有一个没有没有课堂导学如图(1)，已知△ABC的各顶点均在平面α外，直线AB，AC，BC分别交平面α于点P，Q，R.求证：P，Q，R三点共线．多点共线与多线共点的证明例1(例1(1))

【思维引导】根据公理2，选择恰当的两个平面，只要证明R，Q，P三点都是这两个平面的公共点即可证明这三点在这两个平面的交线上．【解答】如图(2)，设△ABC确定了一个平面β，因为点R∈BC，所以R∈β.(例1(2))

又因为R∈α，所以R在平面α和平面β的交线上．同理，点P，Q也在平面α和平面β的交线上．因为平面α和平面β的交线只有一条，故P，Q，R三点共线．【精要点评】(1)证明点共线的方法：①先考虑两个平面的交线，再证明有关的点都是这两个平面的公共点；②先选择其中两点确定一条直线，再证明其他点也在这条直线上．(2)公理的正确运用，严密的逻辑推理过程，文字、符号、图形语言的转化是立体几何的基本要求，也是高考考查的重点．如图，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，AD，BC，CD上的点，且直线EF和GH交于点P，求证：B，D，P三点在同一直线上．变式(变式)

【解答】因为EF∩GH＝P，所以P∈EF，P∈GH.因为E∈AB，F∈AD，所以EF⊂平面ABD，所以P∈平面ABD.因为G∈BC，H∈CD，所以GH⊂平面BCD，所以P∈平面BCD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，即B，D，P三点在同一直线上． 已知直线l与三条平行直线a，b，c都相交，求证：直线l与直线a，b，c共面．【思维引导】先由两平行直线确定一个平面，再确定另一个平面，最后说明两平面重合且直线l在三条平行直线所确定的平面内即可．【解答】如图，设直线l与直线a，b，c分别交于点A，B，C，因为a∥b，所以过a，b可确定一个平面α.因为b∥c，所以过b，c可确定一个平面β.点、线共面的证明例2因为A∈a，B∈b，C∈c，且A，B，C∈l，所以l⊂α，l⊂β，所以存在两条相交直线b，l既在α内又在β内，所以由公理3及推论知α，β必重合，所以直线l与直线a，b，c共面．【精要点评】证明几条线共面的方法：①先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；②先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．(例2)

如图，A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，求证：直线AD，BD，CD共面．【解答】因为D∉l，所以过点D及直线l可确定一个平面α.因为A∈l，B∈l，C∈l，所以A，B，C∈α，所以直线AD，BD，CD共面于α.变式(变式)

如图(1)，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出直线l的位置；【解答】

如图(2)，延长DM和D1A1交于点O，则点O同时在所求的两个平面内．连接NO，则直线NO即为直线l.两平面交线的画法例3(例3(1))

(例3(2))

(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长．【解答】因为l∩A1B1＝P，则易知直线NO与A1B1的交点即为P.因为A1M∥DD1，且M，N分别是AA1，D1C1的中点，所以A1也是D1O的中点．【精要点评】(1)画两条直线的交点时，容易因为视觉上的错误造成把两条异面直线画出交点来，因而要记住在同一平面的两条相交直线才有交点．(2)题目所给的模型中会出现两个平面只有一个公共点，此时根据公理2对平面进行延展即可得到另一个交点，进而画出交线．

如图(1)，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．【解答】如图(2)，在平面AA1D1D

内，延长D1F，因为D1F与DA不平行，所以D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈D1F，P∈DA.又因为D1F⊂平面BED1F，所以点P∈平面BED1F.变式(变式(1))

(变式(2))

因为AD⊂平面ABCD，所以点P∈平面ABCD，所以P为平面ABCD与平面BED1F的公共点．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，所以连接PB，PB

即为平面BED1F

与平面ABCD的交线．

如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中．(1)哪些棱所在的直线与直线BA′是异面直线？【思维引导】找异面直线要严格依据定义，而要求角，先找角；要找角，先找平行．根据异面直线所成角的定义找到平面角，然后再借助解三角形求角的大小．求异面直线所成的角例1(例4)

【解答】由异面直线的判定方法，可知与直线BA′成异面直线的有B′C′，AD，CC′，DD′，DC，D′C′.(2)求异面直线BA′与CC′所成角的大小．【解答】由BB′∥CC′，可知∠B′BA′等于异面直线BA′与CC′所成的角，所以异面直线BA′与CC′所成的角为45°.(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？【解答】直线AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′与直线AA′都垂直．【精要点评】求异面直线所成的角的关键是借助平行关系找到平面角，然后再放到某个三角形中求解角的大小，即“找角—求角”．虽然在近几年的高考中求角问题不太常见，但仍需适当关注． 如图，已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；【解答】假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线．变式(变式)

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．课堂评价1.下列图形中，不一定是平面图形的是________．(填序号)①三角形；②菱形；③梯形；④四边相等的四边形．2.若α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，那么直线m与点A的位置关系可用集合符号表示为________．3.如图，若正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，则直线BA′和AD′所成的角的大小为________．④A∈m

60°(第3题)

【解析】连接BC′，A′C′，易知△A′B

C′是正三角形，且有BC′∥AD′，所以∠A′B

C′就是直线BA′和AD′所成的角，又∠A′B

C′＝60°，所以直线BA′和AD′所成的角的大小为60°.4.如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝