数学-江苏省南通市、泰州市、镇江市、盐城市（部分学校）2025届高三第一次调研测试（南通一模）试题和答案

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。上指定位置，在其他位置作答一律无效。3.本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本A.[-1,2]B.[1,2]C.数学试卷第1页(共4页)A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a7.已知双曲线C0)的左、右焦点分别为F,F₂,A为C的左A.2B.2√2C.3则C.A与B为互斥事件D.A与B相互独立11.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,E,F分别是棱AB,A₁D₁的中点，则A.CF⊥平面DD₁E数学试卷第2页(共4页)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设(2x-1)⁵=a+a,x+a,x²+a,x³+a,x⁴+ax⁵,则a₁+a₃+a₅=13.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,直线1的倾斜角为45°,且I过点F.若l与C相交14.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，前3个数字构成三位数a,后三个数字构成三位15.(13分)女男未参加跳绳比赛参加跳绳比赛k在△ABC中，已知(2)若AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积为14,求AD.数学试卷第3页(共4页)17.(15分)(1)证明：三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱；(2)证明：AB₁⊥CA₁;平面α的距离为√3,求三棱柱ABC-A₁B₁C,外接球的表面积.18.(17分)已知函数f(x)=x³+ax的图象与x轴的三个交点为A,0,B(0为坐标原点).(1)讨论f(x)的单调性；19.(17分)第n(n∈N*)次操作为：经过C上点A,作斜率为k的直线与C交于另一点Bn,记Bn关于x轴的对称点为An+,若A+与B,重合，则操作停止；否则一直继续下去.(3)若事A₁是C在第一象限与A不重合的一点，证明：△A₂A+IA+2的面积为定值.数学试卷第4页(共4页)南通市2025届高三第一次调研测试数学参考答案与评分建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。12345678BBACBDCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)【解】(1)假设学生参加跳绳比赛与学生的性别无关.所以有99%的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关.(2)利用分层抽样的方法从这100人中抽取12人，则未参加跳绳比赛的有9人，参加跳绳比赛的有3人.老师甲从这12人中随机选取3人，记“至少有1人参加跳绳比赛”为事件A,所以至少有1人参加跳绳比赛的概率是16.(15分)【解】(1)在△ABC因为0<B<π,所以参考答案与评分建议第1页(共7页),,又由,得【解】(1)在直三棱柱ABC-AB₁C₁中，……11分……13分……15分又因为AB₁=BC₁=CA₁,所以△ABB₁≌△BCC₁≌△CAA,所以AB=BC=CA,所以三棱柱ABC-AB₁C₁为正三棱柱.…3分则BD⊥AC.参考答案与评分建议第2页(共7页)A(0,-a,0),B(√3a,0,0),C(0,a,0),A₁(0,18.(17分)【解】(1)由已知得，f(x)=0有三个根，……15分和有三个零点，所以存在x₀∈(0,1),使得g'(x₀)=0.所以g(x)在(x₀,1)上存在唯一的零点.综上a<-4. 得当且仅当,19.(17分)【解】(1)由条件得，解得a=2,b=1,……14分参考答案与评分建议第5页(共7页)所以椭圆C的方程为与C的方程联立，消去y得，所以(4k²+1)x²+8k(y,-kx,)x+(4k²-1)x²-8kx,y=0.因为x=x,是它的一根，若A₁(-2,0),经过3次操作后停止，即为B₃(2,0).将A₁(-2,0)代入(*)式得，因为A₁(-2,0),B₃(2,0)关于原点对称，A₁B₁//A₃B₃,所以B₁与A₃关于原点对称，